Какими свойствами обладает натуральный ряд

Натуральные числа и их свойства

Для счёта предметов в жизни используют натуральные числа. В записи любого натурального числа используются цифры $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Последовательность натуральных чисел, каждое следующее число в котором на $1$ больше предыдущего, образует натуральный ряд, который начинается с единицы (т.к. единица- самое маленькое натуральное число) и не имеет наибольшего значения, т.е. бесконечен.

Нуль не относят к натуральным числам.

Свойства отношения следования

Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в $1891$ г. Д.Пеано:

Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.
За каждым натуральным числом следует одно и только одно число
Каждое натуральное число, отличное от $1$, следует за одним и только одним натуральным числом
Подмножество натуральных чисел, содержащее число $1$, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.

Готовые работы на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость

Если запись натурального числа состоит из одной цифры его называют однозначным (например, $2,6.9$ и т.д.), если запись состоит из двух цифр-двузначным(например,$12,18,45$) и т.д. по аналогии. Двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа называют в математике многозначными.

Свойство сложения натуральных чисел

Переместительное свойство: $a+b=b+a$
Сумма не изменяется при перестановке слагаемых
Сочетательное свойство: $a+ (b+c) =(a+b) +c$
Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом, к полученной сумме- второе слагаемое
От прибавления нуля число не измениться и если прибавить к нулю какое- нибудь число, то получится прибавленное число.

Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа $a-(b+c) =a-b-c$ если $b+c ≤ a$
Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности- второе слагаемое
Свойство вычитания числа из суммы $(a+b) -c=a+(b-c)$, если $c ≤ b$
Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое
Если из числа вычесть нуль, то число не изменится
Если из числа вычесть его само, то получится нуль

Свойства умножения

Переместительное $acdot b=bcdot a$
Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей
Сочетательное $acdot (bcdot c)=(acdot b)cdot c$
Чтобы умножить число на произведение двух чисел,можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель
При умножении на единицу произведение не изменяется $mcdot 1=m$
При умножении на нуль произведение равно нулю
Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо

Свойства умножения относительно сложения и вычитания

Распределительное свойство умножения относительно сложения
$(a+b)cdot c=ac+bc$
Для того чтобы умножить сумму на число,можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения
Например, $5(x+y)=5x+5y$
Распределительное свойство умножение относительно вычитания
$(a-b)cdot c=ac-bc$
Для того,чтобы умножить разность на число,множно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе
Например, $5(x-y)=5x-5y$

Сравнение натуральных чисел

Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ может выполняться только одно из трех соотношений $a=b$, $a
Меньшим считается число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим, которое появляется позже. Нуль меньше любого натурального числа.
если $a
Пример 1
Сравнить числа $a$ и $555$, если известно, что существует некоторое число $b$, причем выполняются соотношения: $a
Решение: На основании указанного свойства ,т.к. по условию $a
в любом подмножестве натуральных чисел, содержащем хотя бы одно число, есть наименьшее число
Подмножеством в математике называют часть множества. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества
если $a
Если $c

Часто для сравнения чисел находят их разность и сравнивают ее с нулем. Если разность больше $0$, но первое число больше второго, если разность меньше $0$, то первое число меньше второго.

Округление натуральных чисел

Когда полная точность не нужна, или не возможна ,числа округляют,т.е заменяют их близкими числами с нулями на конце.

Натуральные числа округляют до десятков, сотен,тысяч и т.д

При округлеии числа до десятков его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых десятков; у такого числа в разряде единиц стоит цифра $0$

При округлеии числа до сотен его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых сотен; у такого числа в разряде десятков и единиц должна стоять цифра $0$. И т.д

Числа,до которых округляют данное называют приближенным значением числа с точностью до указанных разрядов.Например если округлять число $564$ до десятков то получим, что округлить его можно с недостатком и получить $560$, или с избытком и получить $570$.

Правило округления натуральных чисел

Если справа от разряда, до которого округляют число, стоит цифра $5$ или цифра,большая $5$, то к цифре этого разряда прибавляют $1$; в противном случае эту цифру оставляют без изменения
Все цифры, расположенные правее разряда, до которого округляют число ,заменяют нулями

Источник

Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.)

Натуральные числа (от лат. naturalis «естественный») — числа, возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, …[1]). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом[2].

Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся натуральное число, большее чем . Отрицательные и нецелые числа к натуральным не относят.

Свойства натуральных чисел и операций с ними изучают арифметика и (более углублённо) теория чисел.

Место нуля[править | править код]

Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

числа, возникающие при подсчёте (нумерации) предметов: первый, второй, третий, четвёртый, пятый…;
числа, возникающие при обозначении количества предметов: 0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3 предмета, 4 предмета, 5 предметов…

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход[3]. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств. Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда, включающего ноль[3].

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом . Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения[4]:

В русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается и т. д.[3]

Аксиомы, позволяющие определить множество натуральных чисел[править | править код]

Аксиомы Пеано для натуральных чисел[править | править код]

Множество будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксированы некоторый элемент 1 (единица), функция c областью определения , называемая функцией следования (), и выполнены следующие условия:

элемент единица принадлежит этому множеству (), то есть является натуральным числом;
число, следующее за натуральным, также является натуральным (если , то или, в более короткой записи, );
единица не следует ни за каким натуральным числом ();
если натуральное число непосредственно следует как за натуральным числом , так и за натуральным числом , то и — это одно и то же число (если и , то );
(аксиома индукции) если какое-либо предложение (высказывание) доказано для натурального числа (база индукции) и если из допущения, что оно верно для другого натурального числа , вытекает, что оно верно для следующего за натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел (пусть — некоторый одноместный (унарный) предикат, параметром которого является натуральное число . Тогда, если и , то ).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии.

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.[5], а также краткое доказательство[6]), что если и — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует обратимое отображение (биекция) такая, что и для всех .

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют единицу на ноль. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств ноль является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать ноль натуральным числом является то, что при этом образует моноид. Как уже упоминалось выше, в русской литературе традиционно ноль исключён из числа натуральных чисел.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге — Рассела)[править | править код]

Положение натуральных чисел в иерархии числовых множеств

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

Величина множества натуральных чисел[править | править код]

Величина бесконечного множества характеризуется понятием «мощность множества», которое является обобщением числа элементов конечного множества на бесконечные множества. По величине (то есть мощности) множество натуральных чисел больше любого конечного множества, но меньше любого интервала, например, интервала . Множество натуральных чисел по мощности такое же, как множество рациональных чисел. Множество такой же мощности, как множество натуральных чисел, называется счётным множеством. Так, множество членов любой последовательности счётно. В то же время, существует последовательность, в которую каждое натуральное число входит бесконечное число раз, поскольку множество натуральных чисел можно представить как счётное объединение непересекающихся счётных множеств (например[7], ).

Операции над натуральными числами[править | править код]

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства[править | править код]

Коммутативность сложения:

Коммутативность умножения:

Ассоциативность сложения:

Ассоциативность умножения:

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

Алгебраическая структура[править | править код]

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет . Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел и рациональных положительных чисел соответственно.

Теоретико-множественные определения[править | править код]

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Если обозначить класс эквивалентности множества A, порождённый биекциями, с помощью квадратных скобок: [A], основные арифметические операции определятся следующим образом:

где:

Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
Eves, Howard (1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Thomson, ISBN 978-0-03-029558-4, <https://books.google.com/books?id=PXvwAAAAMAAJ>
Halmos, Paul (1960), Naive Set Theory, Springer Science & Business Media, ISBN 978-0-387-90092-6, <https://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC&lpg=PP1&pg=PP1#v=onepage&q=peano%20axioms&f=false>
Hamilton, A. G. (1988), Logic for Mathematicians (Revised ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36865-0, <https://books.google.com/books?id=TO098EjWT38C&q=peano%27s+postulates#v=snippet&q=peano%27s%20postulates&f=false>
James, Robert C. & James, Glenn (1992), Mathematics Dictionary (Fifth ed.), Chapman & Hall, ISBN 978-0-412-99041-0, <https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC>
Landau, Edmund (1966), Foundations of Analysis (Third ed.), Chelsea Pub Co, ISBN 978-0-8218-2693-5, <https://books.google.com/books?id=DvIJBAAAQBAJ>
Mac Lane, Saunders & Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1646-2, <https://books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC&lpg=PA15&vq=natural%20numbers&pg=PA15#v=onepage&q=%22the%20natural%20numbers%22&f=false>
Mendelson, Elliott (2008), Number Systems and the Foundations of Analysis, Dover Publications, ISBN 978-0-486-45792-5, <https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC>
Morash, Ronald P. (1991), Bridge to Abstract Mathematics: Mathematical Proof and Structures (Second ed.), Mcgraw-Hill College, ISBN 978-0-07-043043-3, <https://books.google.com/books?id=fH9YAAAAYAAJ>
Musser, Gary L.; Peterson, Blake E. & Burger, William F. (2013), Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach (10th ed.), Wiley Global Education, ISBN 978-1-118-45744-3, <https://books.google.com/books?id=b3dbAgAAQBAJ>

Ссылки[править | править код]

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Natural number, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Szczepanski, Amy F. & Kositsky, Andrew P. (2008), The Complete Idiot’s Guide to Pre-algebra, Penguin Group, ISBN 978-1-59257-772-9, <https://books.google.com/books?id=wLA2tlR_LYYC>
Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B. & Bruckner, Andrew M. (2008), Elementary Real Analysis (Second ed.), ClassicalRealAnalysis.com, ISBN 978-1-4348-4367-8, <https://books.google.com/books?id=vA9d57GxCKgC>

Источник

Натуральные числа и нуль

Этапы развития понятия натурального числа

Числа, которые используются при счете: 1, 2, 3, …, называются натуральными. Понятие натурального числа является одним из основных математических понятий. К возникновению понятия числа человека привели два вида деятельности: счет и измерение. Понятие числа возникло из практической потребности человека и прошло длительный путь в своем развитии.

Чтобы прийти к современному представлению о числе, человек прошел несколько этапов.

I этап.

Множества сравниваются непосредственно путем установления взаимно однозначного соответствия между их элементами. («Яблок столько, сколько человек за столом»). Аналогично дошкольники сравнивают множества способом наложения и приложения.

Неудобство заключается в том, что оба множества должны быть одновременно обозримы.

II этап.

Вводятся множества-посредники (камешки, зарубки, узелки, пальцы и др.). Человек не отвлекается от конкретных предметов, но уже выделяет общие свойства рассматриваемых множеств (например, «иметь поровну элементов»). Для ответа на вопрос «сколько?» малыши часто используют пальцы на руках как множества-посредники.

III этап.

Происходит отвлечение от природы множеств-посредников, возникает понятие натурального числа. При счете человек уже не говорит: «Один камешек, два камешка, …», а называет числа: «Один, два, три, …». Это важнейший этап в развитии понятия числа. Человек научился абстрагироваться от других свойств множества, выделяя только количество элементов в нем.

IV этап.

Числа стали не только называть, но записывать и выполнять с ними действия. Появились различные системы счисления. Создание десятичной системы, понятия нуля в Древней Индии (V – VI вв. н.э.) решило многие проблемы в этой области и получило всемирное распространение.

V этап.

Числа становятся предметом изучения, и зарождается наука арифметика (от греческого arithmos – число). Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте, развивалась учеными Древней Греции, стран арабского мира, европейскими учеными. Термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый А. Боэций (около 480 – 524).

В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучаются в разделе математики, который называется теорией чисел.

Задание 62

Проведите аналогию между этапами развития понятия натурального числа и деятельностью детей при формировании количественных представлений.

Процесс формирования представлений о числе у дошкольников в общих чертах повторяет основные этапы исторического развития этого понятия. Сначала дети сравнивают множества приемами наложения и приложения, затем соотносят с числом пальцев на руке, потом используют натуральные числа при счете, учатся их записывать и выполнять арифметические действия.

Примечание.

Заслушиваются сообщения, предварительно подготовленные студентами на тему: «Как люди научились считать».

Натуральный ряд и его свойства. Счет

Натуральное число имеет много функций, с некоторыми из них дети знакомятся довольно рано.

Некоторые функции натурального числа

— количественная характеристика множества (при ответе на вопрос «сколько?»);

— характеристика порядка (при ответе на вопрос «который?»);

— численное значение величины (при измерении);

— компонент вычислений.

Множество натуральных чисел называют натуральным рядом.

Свойство натурального ряда рассматриваются в курсе математики. Некоторые из них доступны уже дошкольникам.

Некоторые свойства натурального ряда

— натуральный ряд начинается с единицы;

— за каждым натуральным числом непосредственно следует только одно натуральное число;

— элемент натурального ряда;

— каждое последующее число на 1 больше предыдущего, а каждое предыдущее на 1 меньше последующего п ± 1).

При счете используются не все натуральные числа, а только их часть, достаточная для определения числа элементов в множестве.

Например, чтобы определить число элементов в множестве {a , b , c , d , e}, нужен отрезок натурального ряда {1, 2, 3, 4, 5}.

Отрезок натурального ряда Na называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Например: N 5= {1, 2, 3, 4, 5}.

Множество называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку натурального ряда N а .

Для определения числа элементов в конечном множестве используется счет. Во время счета следуют некоторым правилам: считают каждый элемент только один раз, не пропуская ни одного, числа называют последовательно, начиная с единицы, не пропуская ни одного и не используя дважды.

Счетом элементов множества А называется установление взаимно однозначного соответствия между множеством А и отрезком натурального числа N а .

Число а называют числом элементов в множестве А, оно единственное для данного множества и является количественной характеристикой элементов в множестве А или, короче, количественным натуральным числом.

В процессе счета происходит также упорядочивание элементов множества А (первый элемент, второй, третий, …), то есть натуральное число можно рассматривать и как характеристику порядка элементов в множестве А или, короче, как порядковое число. В этой роли натуральное число выступает, когда, хотят узнать, каким по счету является тот или иной элемент множества.

Количественные и порядковые числа тесно связаны, и возможен переход от одного к другому, в зависимости от цели счета. Сам счет служит для упорядочивания элементов множества и для определения их количества.

Задание 63

1. запишите все элементы множества N7. Приведите пример множества, для счета элементов которого можно использовать данный отрезок натурального ряда.

2. Являются ли данные множества отрезками натурального ряда:{0, 1, 2, 3, 4, 5}, {2, 4, 6, 8}, {1, 2, 3}, {3, 4, 5}?

3. Предложите правила счета для дошкольника, которые помогут сформировать счетную деятельность у ребенка и избежать ошибок.

4. Приведите примеры заданий для детей, в процессе выполнения которых они будут использовать количественные и порядковые числа.

Натуральное число как результат счета не зависит от того, в каком порядке пересчитывались элементы множества, важно, чтобы соблюдались правила счета.

Многие родители заблуждаются, говоря, что их ребенок умеет считать до ста, когда тот может только называть числа от 1 до 100, то есть запомнил последовательность чисел. При обучении дошкольника счету необходимо научить его устанавливать взаимно однозначное соответствие между предметами и числами, выделять итоговое число. Специальные правила (счет вслух, прикасание к каждому предмету рукой слева направо, обобщающий жест) помогут избежать ошибок (пропуск предметов, сосчитывание одного предмета несколько раз, непонимание, сколько же всего предметов, и др.).

Специальные упражнения дают возможность понять ребенку закон сохранения количества (независимость количества элементов множества от их расположения и от направления счета) и зависимость порядкового номера элемента множества от направления счета.

При построении теории натуральных чисел одним и основных понятий принято отношение «непосредственно следовать за», также используются теоретико-множественные понятия и правила логики.

При изучении числового ряда детей учат называть следующее число, предшествующее число, соединение числа.

Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим числу b .

Числа a и b называются соседними числами.

Если к числу прибавить 1, то получится следующее число.

Старшие дошкольники знакомятся с отношениями между числами «больше» и «меньше», операциями над натуральными числами сложением и вычитанием, а младшие школьники – с названиями компонентов этих действий.

Дата добавления: 2018-10-15; просмотров: 752 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов