Какими свойствами обладает любой прямоугольник

Тема: Четырехугольники

Урок: Прямоугольник

1. Определение и свойство прямоугольника

Введем определение прямоугольника.

Определение. Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые (см. Рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольник

Замечание. Очевидным эквивалентным определением прямоугольника (иногда его именуют признаком прямоугольника) можно назвать следующее. Прямоугольник – это параллелограмм с одним углом . Это утверждение практически очевидно, и мы оставим его без доказательства, пользуясь далее как определением.

Т.к. прямоугольник, как это видно из определения, является частным случаем параллелограмма, то ему присущи все ранее описанные свойства параллелограмма, однако у него имеются и свои специфические свойства, которые мы сейчас рассмотрим.

Теорема 1. Свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство. Изобразим на Рис. 2 прямоугольник (как и у параллелограмма, противоположные стороны равны и параллельны). Все углы прямые. Необходимо доказать, что диагонали .

Рис. 2

Рассмотрим для доказательства прямоугольные треугольники, в которых присутствуют указанные диагонали и :

прямоугольные треугольники по двум катетам. Следовательно, равны и гипотенузы треугольников , что и требовалось доказать.

Доказано.

Обратим внимание, что это свойство специфическое и относится только к прямоугольнику, ко всем остальным параллелограммам оно не относится.

2. Признак прямоугольника

Теорема 2. Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Доказательство. Изобразим Рис. 3. Нам необходимо доказать, что изображенный параллелограмм с двумя равными диагоналями – прямоугольник, т.е. имеет прямой угол.

Рис. 3

Поскольку – параллелограмм, то можем воспользоваться его свойством: . Кроме этого, – по трем сторонам (), следовательно, . Тогда имеем:

прямоугольник, что и требовалось доказать.

Доказано.

3. Разные задачи на прямоугольники

Рассмотрим примеры.

Пример 1. В прямоугольнике диагонали пересекаются в точке . Найдите периметр треугольника , если .

Решение. Изобразим Рис. 4.

Рис. 4

Сначала будем искать стороны указанного треугольника: ( по свойству диагоналей в любом параллелограмме). Но в прямоугольнике диагонали равны .

Т.к. угол .

Рассмотрим треугольник : (аналогично углу ), равносторонний. Следовательно, его периметр .

Ответ: 18 см.

Пример 2. Найдите периметр прямоугольника , если биссектриса угла делит сторону на отрезки 2 см и 3 см.

Рис. 5 (а), рис. 5 (б)

Решение. Сразу же стоит заметить, что это пример задачи на два варианта решения, наличие которых еще надо заметить. «Изюминка» условия задачи заключается в том, что не указано, в каком именно порядке расположены отрезки, на которые биссектриса прямоугольника разбивает его сторону. В результате имеем два варианта рисунков 5 (а, б).

Т.к. – биссектриса, то , кроме того, – как накрест лежащие углы при параллельных прямых, следовательно, равнобедренный, а из этого следует, что .

Далее разобьем решение на две части, в каждой из которых рассмотрим отдельный случай.

А. Рис. 5 (а). . Сторона прямоугольника (для обоих случаев). Периметр прямоугольника .

Б. Рис. 5 (б). . Периметр прямоугольника .

Ответ: .

Пример 3. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство. Изобразим Рис. 6.

Рис. 6

Необходимо доказать, что . Между прочим, это свойство медианы в прямоугольном треугольнике уже использовалось нами ранее, сейчас мы докажем его, используя свойства прямоугольника.

Продлим медиану на ее длину, расстояние до точки : . Мы получили четырехугольник . В нем и диагонали, и для него мы можем указать следующие факты:

параллелограмм по третьему признаку. Кроме того, известно, что в нем прямоугольник (по указанному вначале урока определению – признаку прямоугольника).

По свойству прямоугольника можно указать, что у него равны диагонали, а следовательно, равны и их половинки, т.е. получаем , что и требовалось доказать.

Доказано.

Пример 4. (обратная задача). В треугольнике медиана . Докажите, что .

Доказательство. Изобразим Рис. 7 и обозначим на нем углы .

Рис. 7

Рассмотрим , он равнобедренный ( по условию) ⇒ .

Рассмотрим , он также равнобедренный ( по условию) ⇒ .

Запишем сумму углов треугольника : . Но угол что и требовалось доказать.

Доказано.

4. Задачи с прямоугольниками, вписанными в треугольники

Пример 5. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.

Решение. Изобразим Рис. 8. Ясно, что можно построить множество различных прямоугольников, вписанных в прямоугольный треугольник, но выясняется, что их периметры будут одинаковы, покажем это и найдем искомый периметр.

Рис. 8

По условию равнобедренный .

Искомый периметр прямоугольника: .

Рассмотрим прямоугольный : .

Тогда периметр прямоугольника : .

Ответ: 12 см.

Пример 6. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Чему равны стороны и периметр прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см?

Решение. Изобразим Рис. 9 и укажем на нем все элементы, которые мы введем в процессе решения задачи.

Рис. 9

По условию равнобедренный и прямоугольный .

Указано, что вписанный прямоугольник имеет заданные пропорции, поэтому его стороны можно ввести, как определенное количество неизвестных нам частей : .

Рассмотрим треугольники и – они прямоугольные и имеют по одному углу , следовательно, второй угол у них тоже по (см. решение предыдущей задачи), т.е. они равнобедренные, и .

Теперь можем выписать длину гипотенузы как сумму длин отрезков, на которые она разбита вписанным прямоугольником (через те части , которые мы ввели): .

Теперь можем посчитать длины сторон прямоугольника и его периметр: .

Ответ: стороны равны .

Сегодня мы рассмотрели прямоугольник, его свойства, признаки и задачи на прямоугольник. На следующем уроке мы познакомимся с такими частными случаями параллелограмма, как ромб и квадрат.

Список литературы

Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Xvatit.com (Источник).
Matmir.ru (Источник).
Логические задачи и головоломки (Источник).

Домашнее задание

Стр. 57, 58: № 53, 54. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
В прямоугольнике диагональ образует со стороной угол, равный . Определить угол между диагоналями, обращенный к меньшей стороне.
В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр этого прямоугольника равен 56 см. Определить его стороны.
Построить прямоугольник по основанию, равному 2,4 см, и диагонали, равной 3,1 см.

Логические задачи и головоломки

Источник

Определение.

Прямоугольник — это четырехугольник у которого две противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковы.

Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.

Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую — шириной прямоугольника.

Стороны прямоугольника одновременно является его высотами.

Основные свойства прямоугольника

Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб.

1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:

AB = CD, BC = AD

2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:

AB||CD, BC||AD

3. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Все четыре угла прямоугольника прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:

AC = BD

7. Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники.

9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:

		AO = BO = CO = DO =	d
			2

10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности

11. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности

12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусов:

∠ABC + ∠CDA = 180° ∠BCD + ∠DAB = 180°

13. В прямоугольник, у которого длина не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (вписать окружность можно только в частный случай прямоугольника — квадрат).

Стороны прямоугольника

Определение.

Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон. Шириной прямоугольника называют длину более короткой пары его сторон.

Формулы определения длин сторон прямоугольника

1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:

a = √d2 — b2

b = √d2 — a2

2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:

3. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через периметр и другую сторону:

4. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол α:

a = d sinα

b = d cosα

5. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол β:

Диагональ прямоугольника

Определение.

Диагональю прямоугольника называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника.

Формулы определения длины диагонали прямоугольника

1. Формула диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника (через теорему Пифагора):

d = √a2 + b2

2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и любую сторону:

d =	√S2 + a4	=	√S2 + b4
	a		b

3. Формула диагонали прямоугольника через периметр и любую сторону:

d =	√P2 — 4Pa + 8a2	=	√P2 — 4Pb + 8b2
	2		2

4. Формула диагонали прямоугольника через радиус описанной окружности:

d = 2R

5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр описанной окружности:

d = Dо

6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:

7. Формула диагонали прямоугольника через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу:

8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника

d = √2S : sin β

Периметр прямоугольника

Определение.

Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.

Формулы определения длины периметру прямоугольника

1. Формула периметру прямоугольника через две стороны прямоугольника:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b)

2. Формула периметру прямоугольника через площадь и любую сторону:

P =	2S + 2a2	=	2S + 2b2
	a		b

3. Формула периметру прямоугольника через диагональ и любую сторону:

P = 2(a + √d2 — a2) = 2(b + √d2 — b2)

4. Формула периметру прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:

P = 2(a + √4R2 — a2) = 2(b + √4R2 — b2)

5. Формула периметру прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:

P = 2(a + √Do2 — a2) = 2(b + √Do2 — b2)

Площадь прямоугольника

Определение.

Площадью прямоугольника называется пространство ограниченный сторонами прямоугольника, то есть в пределах периметра прямоугольника.

Формулы определения площади прямоугольника

1. Формула площади прямоугольника через две стороны:

S = a · b

2. Формула площади прямоугольника через периметр и любую сторону:

S =	Pa — 2a2	=	Pb — 2b2
	2		2

3. Формула площади прямоугольника через диагональ и любую сторону:

S = a√d2 — a2 = b√d2 — b2

4. Формула площади прямоугольника через диагональ и синус острого угла между диагоналями:

5. Формула площади прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:

S = a√4R2 — a2 = b√4R2 — b2

6. Формула площади прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:

S = a√Do2 — a2 = b√Do2 — b2

Окружность описанная вокруг прямоугольника

Определение.

Окружностью описанной вокруг прямоугольника называется круг проходящий через четыре вершины прямоугольника, центр которого лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.

Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника

1. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через две стороны:

2. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через периметр квадрата и любую сторону:

R =	√P2 — 4Pa + 8a2	=	√P2 — 4Pb + 8b2
	4		4

3. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через площадь квадрата:

R =	√S2 + a4	=	√S2 + b4
	2a		2b

4. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через диагональ квадрата:

5. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через диаметр описанной окружности:

6. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:

7. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу:

8. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:

Угол между стороной и диагональю прямоугольника

Формулы определения угла между стороной и диагональю

1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:

2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:

Угол между диагоналями прямоугольника

Формулы определения угла между диагоналями прямоугольника

1. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через угол между стороной и диагональю:

β = 2α

2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ:

Источник

Прямоугольник.

Приступаем к изучению разных видов параллелограмма.

Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

— прямоугольник

Поскольку прямоугольник – это параллелограмм, то он обладаем теми же свойствами, что и параллелограмм. Кроме того, у него есть ещё свои, особые свойства.

Рассмотрим эти свойства.

ТЕОРЕМА (СВОЙСТВО I). У прямоугольника диагонали равны.

Дано: – прямоугольник,

и – диагонали.

Доказать:

Доказательство.

1. Рассмотрим и .

по признаку равенства прямоугольных треугольников (или по I признаку равенства треугольников) все соответствующие стороны и углы у этих треугольников равны, т.е. , ч.т.д.

ТЕОРЕМА (СВОЙСТВО II). У прямоугольника каждая диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника.

Дано: – прямоугольник,

– диагональ.

Доказать:

Доказательство.

Рассмотрим и .

по III признаку равенства треугольников. по определению прямоугольника. Значит, треугольники и – равные и прямоугольные, ч.т.д.

Итак, прямоугольник обладает следующими свойствами:

У прямоугольника противолежащие стороны и углы равны.
У прямоугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У прямоугольника диагонали равны.
У прямоугольника каждая диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника.
Стороны прямоугольника являются его высотами.

Выясним теперь, по каким признакам можно утверждать, что геометрическая фигура является прямоугольником.

ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК I). Если у четырёхугольника три угла прямые, то такой четырёхугольник является прямоугольником.

Дано: – четырёхугольник,

Доказать: – прямоугольник.

Доказательство.

Данный четырёхугольник будет прямоугольником, если мы докажем, что четвёртый угол также равен .

1. Так как , то . Так как , то .

2. по признаку параллельности прямых.

3. по признаку параллельности прямых.

4. Значит, – параллелограмм (по определению). По свойству углов параллелограмма, .

5. Итак, – параллелограмм, у которого все углы прямые. По определению, такой параллелограмм является прямоугольником, ч.т.д.

ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК II). Если у параллелограмма диагонали равны, то такой параллелограмм является прямоугольником.

Дано: – параллелограмм,

– диагонали.

Доказать: – прямоугольник.

Доказательство.

Данный параллелограмм будет прямоугольником, если мы докажем, что у него все углы равны .

1. Рассмотрим и .

по III признаку равенства прямоугольных треугольников, следовательно, .

2. Так как – параллелограмм, то у него стороны попарно параллельны, т.е. . и – внутренние односторонние при параллельных прямых, значит, по свойству параллельных прямых, . Учитывая доказанное равенство этих углов, получаем, что .

3. По свойству углов параллелограмма, и .

4. Итак, у параллелограмма все углы прямые, значит, он является прямоугольником (по определению), ч.т.д.

ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК III). Если у параллелограмма один угол прямой, то такой параллелограмм является прямоугольником.

Дано: – параллелограмм,

Доказать: – прямоугольник.

Доказательство.

Данный параллелограмм будет прямоугольником, если мы докажем, что у него все углы равны .

1. Т.к. – параллелограмм, то по определению, т.е. и .

По свойству углов параллелограмма, .

2. и – внутренние односторонние при параллельных прямых, значит, по свойству параллельных прямых, .

3. Т.к. , то .

4. Итак, , значит, по определению, параллелограмм является прямоугольником, ч.т.д.

Периметр прямоугольника равен см, а одна из его сторон меньше другой на см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
В прямоугольнике один из углов, образованных диагоналями, равен . Меньшая сторона прямоугольника равна см. Найдите диагональ прямоугольника.
В прямоугольнике перпендикуляры, проведённые из точки пересечения диагоналей к его сторонам, равны соответственно см и см. Найдите периметр прямоугольника.
В прямоугольнике диагональ составляет со стороной угол, равный . Найдите больший угол между диагоналями прямоугольника.
В прямоугольнике один из углов, образованных диагоналями, равен . Диагонали прямоугольника равны см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
В прямоугольнике диагонали пересекаются в точке . Точка – середина стороны . Найдите .
В прямоугольнике диагонали пересекаются в точке . Отрезок является высотой треугольника . Найдите .
В параллелограмме с острым углом диагонали пересекаются в точке . На отрезках и взяты точки и соответственно, . Докажите, что четырёхугольник является прямоугольником.
В прямоугольнике – точка пересечения диагоналей, и – высоты треугольников и соответственно, см. Найдите .
В четырёхугольнике диагонали пересекаются в точке . Найдите .
В прямоугольнике – точка пересечения диагоналей, и – перпендикуляры, проведённые из вершин и к прямой . Известно, что . Найдите .
В четырёхугольнике диагонали пересекаются в точке , . Найдите .
В прямоугольнике точки и – середины сторон и соответственно. На прямой взята точка , на прямой – точка . Известно, что . Найдите отношение сторон .
На основании равнобедренного треугольника взята точка , а на сторонах и – соответственно точки и , . Найдите .
В прямоугольнике – точка пересечения диагоналей. Точки и – середины сторон и соответственно. Точка делит отрезок в отношении , считая от точки Найдите отношение .
Некая прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника , пересекает стороны и в отношении , считая от точки . Найдите .
На диагонали прямоугольника взята точка . Известно, что . Докажите, что .
Дан параллелограмм с острым углом . На отрезке , как на диаметре построена окружность, которая пересекает луч в точке , лежащей вне параллелограмма. . Найдите расстояние между прямыми и , если см.
На отрезках и в прямоугольнике взяты точки и соответственно, . Докажите, что .
Дан параллелограмм с тупым углом . На диагонали , как на диаметре, построена окружность, пересекающая отрезок в точке – перпендикуляр к прямой . Найдите , если см.
Биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки равной длины. Найдите периметр этого прямоугольника, если длина меньшей стороны прямоугольника равна см.
Периметр прямоугольника равен см. Найдите сумму расстояний от произвольной внутренней точки прямоугольника до его сторон.
Постройте прямоугольник:

по двум сторонам, имеющим общую вершину;
по стороне и диагонали;
по диагонали и углу между диагоналями;
по диагонали и сумме прилежащих сторон.

Диагональ прямоугольника равна см. Найдите медиану треугольника , проведённую к его большей стороне.
Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника, если одна из них делит угол при вершине прямоугольника в отношении .
Периметр прямоугольника равен см. Найдите стороны прямоугольника, если одна из них в раз больше другой.
Периметр прямоугольника равен см. Найдите его стороны, если одна из них на см меньше другой.
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке . Найдите угол между диагоналями, если .
В прямоугольнике проведена диагональ . Известно, что в 2 раза больше, чем . Чему равны эти углы?
Одна из сторон прямоугольника на см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен см.
Меньшая сторона прямоугольника см, угол между диагоналями равен . Найдите диагонали прямоугольника.
Дан прямоугольник – точка пересечения его диагоналей. Докажите, что и – равные равнобедренные треугольники.
Найдите диагонали прямоугольника, если его периметр равен см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен см.
Докажите, что отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей прямоугольника с серединой стороны, перпендикулярен этой стороне.
В прямоугольнике диагональ в раз больше стороны . Периметр треугольника равен см ( – точка пересечения диагоналей). Найдите длину диагонали .
Из точки , взятой на стороне прямоугольника , опущен перпендикуляр на сторону . Докажите, что четырёхугольник – прямоугольник.
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке , его диагональ равна см. Найдите длины отрезков и .
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке . Докажите, что .
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке . Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен см, а периметры треугольников и равны см и см соответственно.
Дан прямоугольник – точка пересечения его диагоналей. Найдите периметр треугольника , если
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке . Найдите периметр треугольника , если .
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке . Найдите периметр треугольника , если .
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке . Найдите периметр треугольника , если .
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке , сторона равна см, диагональ равна см. Определите вид треугольника (ответ обоснуйте) и найдите его периметр.
В прямоугольнике биссектриса угла пересекает сторону в точке . Докажите, что треугольник – равнобедренный.
В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении . Найдите углы треугольника ( – точка пересечения диагоналей).
Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ делит прямоугольник, равен см.
В прямоугольнике проведена биссектриса угла . Найдите периметр прямоугольника, если см, см.

Расстояния от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его сторон равны см и см. Найдите большую сторону данного прямоугольника.
Диагонали прямоугольника пересекаются под углом . Найдите угол между диагональю прямоугольника и его меньшей стороной.
В прямоугольнике диагональ в два раза больше стороны . Найдите периметр треугольника , если расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до стороны равно см.
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке , образуя тупой угол . Определите, какое расстояние больше: от точки до стороны или от точки до стороны .
В прямоугольном треугольнике ( – прямой) через точку , лежащую на гипотенузе, проведены прямые и , параллельные катетам и соответственно. Периметр треугольника равен см, а периметр треугольника равен см. Найдите периметр треугольника .
На стороне равностороннего треугольника взята точка так, что сумма расстояний от неё до сторон и равна см. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины .
Периметр прямоугольника равен см, а его диагональ равна см. Найдите периметр треугольника .
Найдите периметр прямоугольника , если биссектрисы и углов и делят сторону на три отрезка, длина каждого из которых равна см.

Точка пересечения диагоналей прямоугольника отстоит от его сторон на расстояниях см и см. Найдите меньшую сторону данного прямоугольника.
В прямоугольнике диагональ в два раза больше стороны . Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника.
Меньшая сторона прямоугольника равна см. Угол между его диагоналями равен . Вычислите длину диагонали прямоугольника.
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке . Определите, какое расстояние больше: от точки до стороны или от точки до стороны , если сторона больше стороны .
В прямоугольнике через точку проведены прямая , параллельная сторонам и , и прямая , параллельная сторонами и . Периметр прямоугольника равен см, а периметр прямоугольника равен см. Найдите периметр прямоугольника .
На продолжении стороны равностороннего треугольника взята точка так, что разность расстояний от неё до сторон и равна см. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины .
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке . Периметр треугольника равен см, а периметр треугольника равен см. Найдите периметр треугольника , если диагональ прямоугольника равна см.
Найдите периметр прямоугольника , если биссектрисы и углов и делят сторону на три отрезка, длина каждого из которых равна см.
Сумма расстояний от точки пересечения диагоналей прямоугольника до всех его вершин равна см. Найдите диагональ данного прямоугольника.
Диагональ прямоугольника образует угол с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника.
Диагональ прямоугольника равна см. Угол между его диагоналями равен . Вычислите длину меньшей стороны прямоугольника.
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке , образуя острый угол . Определите, какое расстояние больше: от точки до стороны или от точки до стороны .
В прямоугольном равнобедренном треугольнике ( – прямой) через точки и , лежащие на гипотенузе, проведены прямые и , параллельные катету , и прямые и , параллельные катету . Сравните периметры четырёхугольников и .

На основании равнобедренного треугольника взята точка так, что сумма расстояний от неё до сторон и равна см. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины .
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке . Периметр треугольника равен см, а сторона равна см. Найдите периметр треугольника .
Биссектрисы углов и прямоугольника пересекаются на стороне в точке . Найдите периметр прямоугольника, если длина равна см.

Сумма расстояний от точки пересечения диагоналей прямоугольника до всех его сторон равна см. Найдите периметр данного прямоугольника.
Угол между диагоналями прямоугольника равен . Найдите угол .
В прямоугольнике сторона в два раза меньше диагонали . Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до стороны , если периметр треугольника равен см.
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке . Определите, какое расстояние больше: от точки до стороны или от точки до стороны , если сторона меньше стороны .
В прямоугольном равнобедренном треугольнике ( – прямой) через точку , лежащую на гипотенузе, проведены прямые и , параллельные катетам и соответственно. Найдите периметр прямоугольника , если катет треугольника равен см.

На продолжении основания равнобедренного треугольника взята точка так, что разность расстояний от неё до сторон и равна см. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины .
В прямоугольнике проведена диагональ . Перпендикуляр к диагонали составляет со стороной угол, равный и отсекает от диагонали отрезок , равный см. Найдите периметр прямоугольника, если сторона см.

Дан прямоугольник со стороной . К диагонали проведён перпендикуляр . Найдите периметр прямоугольника, если диагональ составляет со стороной угол, равный .

В прямоугольнике – точка пересечения его диагоналей. Из точки к серединам сторон и проведены отрезки и соответственно. Найдите периметр прямоугольника.

Биссектриса угла прямоугольника отсекает от стороны отрезки и . Найдите периметр прямоугольника.

В прямоугольнике проведена биссектриса угла . Найдите .

В прямоугольнике диагональ составляет с его меньшей стороной угол . Найдите углы и .
В прямоугольнике диагонали пересекаются в точке . Найдите и меньший угол между диагоналями, если известно, что .
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке . Меньший угол между диагоналями равен . Найдите углы треугольника , если известно, что .

В прямоугольнике диагонали пересекаются в точке . Известно, что . Найдите эти углы.
В прямоугольнике . Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен .
В прямоугольнике из угла проведён луч, который пересекает сторону в точке так, что и . Найдите стороны прямоугольника, если известно, что периметр его равен .
Диагональ прямоугольника составляет со стороной угол, равный . Перпендикуляр, опущенный из вершины на эту диагональ отсекает от неё отрезок . Периметр данного прямоугольника равен . Найдите стороны прямоугольника.

Из вершины прямоугольника , с периметром , проведён луч, который пересекает сторону под углом . Разность отсекаемых отрезков равна . Найдите стороны прямоугольника.

Источник