Какими свойствами обладает дисперсия

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величиныD(X) называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

1 свойство. Дисперсия постоянной величины C равна нулю; D(C) = 0.

Доказательство. По определению дисперсии, D(C) = M{[C – M(C)]2}.

Из первого свойства математического ожидания D(C) = M[(C – C)2] = M(0) = 0.

2 свойство. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX) = C2 D(X)

Доказательство. По определению дисперсии, D(CX) = M{[CX – M(CX)]2}

Из второго свойства математического ожидания D(CX)=M{[CX – CM(X)]2}= C2M{[X – M(X)]2}=C2D(X)

3 свойство. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D[X + Y ] = D[X] + D[Y ].

Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем

D(X + Y) = M[(X + Y )2] − [M(X + Y)]2

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим

D(X + Y) = M[X2+ 2XY + Y2] − [M(X) + M(Y )]2 = M(X2) + 2M(X)M(Y) + M(Y2) − M2(X) − 2M(X)M(Y) − M2(Y) = {M(X2) − [M(X)]2}+{M(Y2) − [M(Y)]2} = D(X) + D(Y). Итак, D(X + Y) = D(X) + D(Y)

4 свойство. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X − Y) = D(X) + D(Y)

Доказательство. В силу третьего свойства D(X − Y) = D(X) + D(–Y). По второму свойству

D(X − Y) = D(X) + (–1)2 D(Y) или D(X − Y) = D(X) + D(Y)

Числовые характеристики систем случайных величин. Коэффициент корреляции, свойства коэффициента корреляции.

Корреляционный момент.Характеристикой зависимости между случайными величинами и служит математическое ожидание произведения отклонений и от их центров распределений (так иногда называют математическое ожидание случайной величины), которое называется корреляционным моментом или ковариацией:

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

а для непрерывных величин – формулу:

Коэффициентом корреляции rxy случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению среднеквадратичных отклонений величин:
— коэффициент корреляции;

Свойства коэффициента корреляции:

1. Если Х и У независимые случайные величины, то r =0;

2. -1≤ r ≤1 .При этом, если |r| =1, то между Х и У функциональная, а именно линейная зависимость;

3. r характеризует относительную величину отклонения М(ХУ) от М(Х)М(У), и т.к. отклонение имеет место только для зависимых величин, то rхарактеризует тесноту зависимости.

Линейная функция регрессии.

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y), где X и У — зависимые случайные величины. Представим одну из величин как функцию другой. Ограничимся приближенным представлением (точное приближение, вообще говоря, невозможно) величины Y в виде линейной функции величины X:

где α и β — параметры, подлежащие определению.

Теорема. Линейная средняя квадратическая регрессия Y на X имеет вид

где mx=M(X), my=M(Y), σx=√D(X), σy=√D(Y), r=µxy/(σxσy)—коэффициент корреляции величин X и Y.

Коэффициент β=rσy/σx называют коэффициентом регрессии Y на X, а прямую

называют прямой среднеквадратической регрессии Y на X.

Неравенство Маркова.

Формулировка неравенства Маркова

Если среди значений случайной величины Х нет отрицательных, то вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, превосходящее положительное число А, не больше дроби , т.е.

,

а вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, не превосходящее положительного числа А, не меньше , т.е.

.

Неравенство Чебышева.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε, не меньше, чем 1 −D[X]ε2

P(|X – M(X)| < ε) ≥ 1 –D(X)ε2

Доказательство. Так как события, состоящие в осуществлении неравенств

P(|X−M(X)| < ε) и P(|X – M(X)| ≥ε) противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.

P(|X – M(X)| < ε) + P(|X – M(X)| ≥ ε) = 1.

Отсюда интересующая нас вероятность

P(|X – M(X)| < ε) = 1 − P(|X – M(X)| > ε).

Таким образом, задача сводится к вычислению вероятности P(|X –M(X)| ≥ ε).

Напишем выражение для дисперсии случайной величины X

D(X) = [x1 – M(x)]2p1 + [x2 – M(x)]2p2 + . . . + [xn – M(x)]2pn

Все слагаемые этой суммы неотрицательны. Отбросим те слагаемые, у которых |xi – M(X)| < ε (для оставшихся слагаемых |xj – M(X)| ≥ ε), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,

D(X) ≥ [xk+1 – M(x)]2pk+1 + [xk+2 – M(x)]2pk+2 + . . . + [xn – M(x)]2pn

Обе части неравенства |xj –M(X)| ≥ ε (j = k+1, k+2, . . ., n) положительны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство |xj – M(X)|2 ≥ε2.Заменяя в оставшейся сумме каждый из множителей

|xj – M(X)|2числом ε2(при этом неравенство может лишь усилиться), получим

D(X) ≥ ε2(pk+1 + pk+2 + . . . + pn)

По теореме сложения, сумма вероятностей pk+1+pk+2+. . .+pn есть вероятность того, что X примет одно, безразлично какое, из значений xk+1 +xk+2 +. . .+xn, а при любом из них отклонение удовлетворяет неравенству |xj – M(X)| ≥ ε. Отсюда следует, что сумма pk+1 + pk+2 + . . . + pn выражает вероятность

P(|X – M(X)| ≥ ε).

Это позволяет переписать неравенство для D(X) так

D(X) ≥ ε2P(|X – M(X)| ≥ ε)

или

P(|X – M(X)|≥ ε) ≤D(X)/ε2

Окончательно получим

P(|X – M(X)| < ε) ≥D(X)/ε2

Теорема Чебышева.

Теорема Чебышева. Если — попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число ε, вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы

Доказательство. Введем в рассмотрение новую случайную величину — среднее арифметическое случайных величин

Найдем математическое ожидание Х. Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), получим

Применяя к величине Х неравенство Чебышева, имеем

или, учитывая соотношение (1)

Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых), получим

По условию дисперсии всех случайных величин ограничены постоянным числом С, т.е. имеют место неравенства:

поэтому

Итак,

Подставляя правую часть (2) в неравенство (1) (отчего последнее может быть лишь усилено), имеем

Отсюда, переходя к пределу при n→∞, получим

Наконец, учитывая, что вероятность не может превышать единицу, окончательно можем написать

Теорема доказана.

Теорема Бернулли.

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если ε — сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

Доказательство. Обозначим через X1 дискретную случайную величину — число появлений события в первом испытании, через X2 — во втором, …, Xn — в n-м испытании. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие A наступило) с вероятностью p и 0 (событие не появилось) с вероятностью .

Можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева? Можно, если случайные величины попарно независимы и дисперсии их ограничены. Оба условия выполняются Действительно, попарная независимость величин следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины равна произведению ; так как , то произведение не превышает 1/4и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом .

Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рассматриваемым величинам, имеем

Приняв во внимание, что математическое ожидание a каждой из величин (т.е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно вероятности p наступления события, получим

Остается показать, что дробь

равна относительной частоте появлений события A в испытаниях. Действительно, каждая из величин при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следовательно, сумма равна числу появлений события в испытаниях, а значит,

Учитывая это равенство, окончательно получим