Какими свойствами обладает данное отношение
Свойства отношений:
1) рефлексивность;
2)симметричность;
3)транзитивность.
4)связанность.
Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой: хRх. Если отношение рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. И обратно, граф, каждая вершина которого содержит петлю, представляет собой граф рефлексивного отношения.
Примерами рефлексивных отношений являются и отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое число кратно самому себе), и отношение подобия треугольников (каждый треугольник подобен самому себе), и отношение «равенства» (каждое число равно самому себе) и др.
Существуют отношения, не обладающие свойством рефлексивности, например, отношение перпендикулярности отрезков: ab, ba (нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе). Поэтому на графе данного отношения нет ни одной петли.
Не обладает свойством рефлексивности и отношение «длиннее» для отрезков, «больше на 2» для натуральных чисел и др.
Отношение R на множестве Х называется антирефлексивным, если для любого элемента из множества Х всегда ложно хRх: .
Существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Примером такого отношения может служить отношение «точка х симметрична точке у относительно прямой l», заданное на множестве точек плоскости. Действительно, все точки прямой l симметричны сами себе, а точки, не лежащие на прямой l, себе не симметричны.
Отношение R на множестве Х называется симметричным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении с элементом y, следует, что и элемент y находится в отношении R с элементом х: xRyyRx .
Граф симметричного отношения обладает следующей особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к y, граф содержит стрелку, идущую от y к х (рис. 35).
Примерами симметричных отношений могут быть следующие: отношение «параллельности» отрезков, отношение «перпендикулярности» отрезков, отношение «равенства» отрезков, отношение подобия треугольников, отношение «равенства» дробей и др.
Существуют отношения, которые не обладают свойством симметричности.
Действительно, если отрезок х длиннее отрезка у, то отрезок у не может быть длиннее отрезка х. Граф этого отношения обладает особенностью: стрелка, соединяющая вершины, направлена только в одну сторону.
Отношение R называют антисимметричным, если для любых элементов х и y из истинности xRy следует ложностьyRx: : xRyyRx.
Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков существуют и другие антисимметричные отношения. Например, отношение «больше» для чисел (если х больше у, то у не может быть больше х), отношение «больше на» и др.
Существуют отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.
Отношение R на множестве Х называют транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом y, а элемент y находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z: xRy и yRzxRz.
Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к y и от y к z, содержит стрелку, идущую от х к z.
Свойством транзитивности обладает и отношение «длиннее» на множестве отрезков: если отрезок а длиннее отрезка b, отрезок b длиннее отрезка с, то отрезок а длиннее отрезка с. Отношение «равенства» на множестве отрезков также обладает свойством транзитивности: (а=b, b=с)(а=с).
Существуют отношения, которые не обладают свойством транзитивности. Таким отношением является, например, отношение перпендикулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку b, а отрезок b перпендикулярен отрезку с, то отрезки а и с не перпендикулярны!
Существует еще одно свойство отношений, которое называется свойством связанности, а отношение, обладающее им, называют связанным.
Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и y из данного множества выполняется условие: если х и y различны, то либо х находится в отношении R с элементом y, либо элемент y находится в отношении R с элементом х. С помощью символов это определение можно записать так: xy xRy или yRx.
Например, свойством связанности обладает отношение «больше» для натуральных чисел: для любых различных чисел х и y можно утверждать, либо x>y, либо y>x.
На графе связанного отношения любые две вершины соединены стрелкой. Справедливо и обратное утверждение.
Существуют отношения, которые не обладают свойством связанности. Таким отношением, например, является отношение делимости на множестве натуральных чисел: можно назвать такие числа х и y, что ни число х не является делителем числа y, ни число y не является делителем числа х (числа 17 и 11, 3 и 10 и т.д.).
Рассмотрим несколько примеров. На множестве Х={1, 2, 4, 8, 12} задано отношение «число х кратно числу y». Построим граф данного отношения и сформулируем его свойства.
Про отношение равенства дробей говорят, оно является отношением эквивалентности.
Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Примерами отношений эквивалентности могут служить: отношения равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными).
В рассмотренном выше отношении «равенства дробей», множество Х разбилось на три подмножества: {; ; }, {;}, {}. Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х, т.е. имеем разбиение множества на классы.
Итак, если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества – классы эквивалентности.
Так, мы установили, что отношению равенства на множестве
Х={ ;; ; ; ; } соответствует разбиение этого множества на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из равных между собой дробей.
Принцип разбиения множества на классы при помощи некоторого отношения эквивалентности является важным принципом математики. Почему?
Во-первых, эквивалентный – это значит равносильный, взаимозаменяемый. Поэтому элементы одного класса эквивалентности взаимозаменяемы. Так, дроби, оказавшиеся в одном классе эквивалентности {; ; }, неразличимы с точки зрения отношения равенства, и дробь может быть заменена другой, например . И эта замена не изменит результата вычислений.
Во-вторых, поскольку в классе эквивалентности оказываются элементы, неразличимые с точки зрения некоторого отношения, то считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом класса. Так, любой класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу. Определение класса эквивалентности по одному представителю позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность представителей из классов эквивалентности. Например, отношение эквивалентности «иметь одинаковое число вершин», заданное на множестве многоугольников, порождает разбиение этого множества на классы треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т.д. свойства, присущие некоторому классу, рассматриваются на одном его представителе.
В-третьих, разбиение множества на классы с помощью отношения эквивалентности используется для введения новых понятий. Например, понятие «пучок прямых» можно определить как то общее, что имеют параллельные прямые между собой.
Другим важным видом отношений являются отношения порядка. Рассмотрим задачу.На множестве Х={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Это отношение порождает разбиение множества Х на классы: в один попадут все числа, при делении которых на 3 получается в остатке (это числа 3, 6, 9). Во второй – числа, при делении которых на 3 в остатке получается 1 (это числа 4, 7, 10). В третий попадут все числа, при делении которых на 3 в остатке получается 2 (это числа 5, 8). Действительно, полученные множества не пересекаются и их объединение совпадает с множеством Х. Следовательно, отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3», заданное на множестве Х, является отношением эквивалентности.
Возьмем еще пример: множество учащихся класса можно упорядочить по росту или возрасту. Заметим, что это отношение обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Или всем известен порядок следования букв в алфавите. Его обеспечивает отношение «следует».
Отношение R на множестве Х называется отношением строгого порядка, если оно одновременно обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Например, отношение «х<y».
Если же отношение обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, то такое оно будет являться отношением нестрогого порядка. Например, отношение «хy».
Примерами отношения порядка могут служить: отношение «меньше» на множестве натуральных чисел, отношение «короче» на множестве отрезков. Если отношение порядка обладает еще и свойством связанности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка. Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел.
Множество Х называется упорядоченным, если на нем задано отношение порядка.
Например, множество Х={2, 8, 12, 32} можно упорядочить при помощи отношения «меньше» (рис. 41), а можно это сделать при помощи отношения «кратно» (рис. 42). Но, являясь отношением порядка, отношения «меньше» и «кратно» упорядочивают множество натуральных чисел по-разному. Отношение «меньше» позволяет сравнивать два любых числа из множества Х, а отношение «кратно» таким свойством не обладает. Так, пара чисел 8 и 12 отношением «кратно» не связана: нельзя сказать, что 8 кратно 12 либо 12 кратно 8.
Не следует думать, что все отношения делятся на отношения эквивалентности и отношения порядка. Существует огромное число отношений, не являющихся ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.
Отношение, заданное на множестве, может обладать рядом свойств, а именно:
2. Рефлексивность
Определение. Отношение R намножестве Х называется рефлексивным, если каждый элемент х множества Х находится в отношении R с самим собой.
Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:
R рефлексивно на Х Û(«х Î Х) х R х
Пример. Отношение равенства на множестве отрезков рефлексивно, т.к. каждый отрезок равен себе самому.
Граф рефлексивного отношения во всех вершинах имеет петли.
2. Антирефлексивность
Определение. Отношение R намножестве Х называется антирефлексивным, если ни один элемент х множества Х не находится в отношении R с самим собой.
R антирефлексивно на Х Û(«х Î Х)
Пример. Отношение «прямая х перпендикулярна прямой у» на множестве прямых плоскости антирефлексивно, т.к. ни одна прямая плоскости не перпендикулярна самой себе.
Граф антирефлексивного отношения не содержит ни одной петли.
Заметим, что существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Например, рассмотрим отношение «точка х симметрична точке у» на множестве точек плоскости.
· у
l
х
Точка х симметрична точке х – истинно; точка у симметрична точке у – ложно, следовательно, мы не можем утверждать, что все точки плоскости симметричны сами себе, также мы не можем и утверждать, что ни одна точка плоскости не симметрична сама себе.
3. Симметричность
Определение. Отношение R намножестве Х называется симметричным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х.
R симметричнона Х Û(«х, у Î Х) х R у Þ у R х
Пример. Отношение «прямая х пересекает прямую у на множестве прямых плоскости» симметрично, т.к. если прямая х пересекает прямую у, то и прямая у обязательно будет пересекать прямую х.
Граф симметричного отношения вместе с каждой стрелкой из точки х в точку у должен содержать стрелку, соединяющую те же точки, но в обратном направлении.
4. Асимметричность
Определение. Отношение R намножестве Х называется асимметричным, если ни для каких элементов х, у из множества Х не может случиться, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом х.
R асимметричнона Х Û(«х, у Î Х) х R у Þ
Пример. Отношение «х < у» асимметрично, т.к. ни для какой пары элементов х, у нельзя сказать, что одновременно х < у и у < х.
Граф асимметричного отношения не имеет петель и если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна.
5. Антисимметричность
Определение. Отношение R намножестве Х называется антисимметричным, если из того что х находится в отношении с у, а у находится в отношении с х следует, что х = у.
R антисимметричнона Х Û(«х, у Î Х) х R у Ù у R х Þ х = у
Пример. Отношение «х £ у» антисимметрично, т.к. условия х £ у и у £ х одновременно выполняются только тогда, когда х = у.
Граф антисимметричного отношения имеет петли и если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна.
6. Транзитивность
Определение. Отношение R намножестве Х называется транзитивным, если для любых элементов х, у, z из множества Х из того, что х находится в отношении с у, а у находится в отношении с z следует, что х находится в отношении с z.
R транзитивнона Х Û(«х, у, z Î Х) х R у Ù у R z Þ х R z
Пример. Отношение «х кратно у» транзитивно, т.к. если первое число кратно второму, а второе кратно третьему, то первое число будет кратно третьему.
Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок от х к у и от у к z содержит стрелку, идущую от х к z.
7. Связность
Определение. Отношение R намножестве Х называется связным, если для любых элементов х, у из множества Х х находится в отношении с у или у находится в отношении с х или х = у.
R связнона Х Û(«х, у, z Î Х) х R у Ú у R z Ú х = у
Другими словами: отношение R намножестве Х называется связным, если для любых различных элементов х, у из множества Х х находится в отношении с у или у находится в отношении с х или х = у.
Пример. Отношение «х < у» связно, т.к. какие бы мы действительные числа не взяли, обязательно одно из них будет больше другого или они равны.
На графе связного отношения все вершины соединены между собой стрелками.
Пример. Проверить, какими свойствами обладает
отношение «х – делитель у», заданное на множестве
Х = {2; 3; 4; 6; 8}.
Построим граф данного отношения:
1) данное отношение рефлексивно, т.к. каждое число из данного множества является делителем самого себя;
2) свойством антирефлексивности данное отношение не обладает;
3) свойство симметричности не выполняется, т.к. например, 2 является делителем числа 4, но 4 делителем числа 2 не является;
4) данное отношение антисимметрично: два числа могут быть одновременно делителями друг друга только в том случае, если эти числа равны;
5) отношение транзитивно, т.к. если одно число является делителем второго, а второе – делителем третьего, то первое число обязательно будет делителем третьего;
6) отношение свойством связности не обладает, т.к. например, числа 2 и 3 на графе стрелкой не соединены, т.к. два различных числа 2 и 3 делителями друг друга не являются.
Таким образом, данное отношение обладает свойствами рефлексивности, асимметричности и транзитивности.
§ 3. Отношение эквивалентности.
Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы
Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Пример. Рассмотрим отношение «х однокурсник у» на множестве студентов педфака. Оно обладает свойствами:
1) рефлексивности, т.к. каждый студент является однокурсником самому себе;
2) симметричности, т.к. если студент х является однокурсником студента у, то и студент у является однокурсником студента х;
3) транзитивности, т.к. если студент х — однокурсник у, а студент у – однокурсник z, то студент х будет однокурсником студента z.
Таким образом, данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, а значит, является отношением эквивалентности. При этом множество студентов педфака можно разбить на подмножества, состоящие из студентов, обучающихся на одном курсе. Получаем 5 подмножеств.
Отношением эквивалентности являются также, например, отношение параллельности прямых, отношение равенства фигур. Каждое такое отношение связано с разбиением множества на классы.
Теорема. Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно разбивает это множество на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).
Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве Х, порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности.
Пример. На множестве Х = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Является ли оно отношением эквивалентности?
Построим граф данного отношения:
Данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, является отношение эквивалентности и разбивает множество Х на классыэквивалентности. В каждом классе эквивалентности будут числа, которые при делении на 3 дают один и тот же остаток: Х1 = {3; 6}, Х2 = {1; 4; 7}, Х3 = {2; 5; 8}.
Считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом этого класса. Так, класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу.
В начальном курсе математики также встречаются отношения эквивалентности, например, «выражения х и у имеют одинаковые числовые значения», «фигура х равна фигуре у».
Введение в теорию множеств и комбинаторику
Практическая работа № 6. Бинарные отношения
Вопросы к работе
1. Что такое “бинарное отношение на множестве”?
2. Как можно записать бинарное отношение?
3. Какое отношение называют рефлексивным?
4. Какое отношение не является рефлексивным?
5. Какое отношение называют симметричным?
6. Какое отношение не является симметричным?
7. Какое отношение называют транзитивным?
8. Какое отношение не является транзитивным?
9. Что такое «эквивалентность на множестве»?
10.Какое отношение называют порядком?
11.Какие вы знаете еще специальные типы отношений?
Образцы решения заданий
Пример 1. Дано множество A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} 
N. На нем задано бинарное отношение 
«больше», т. е. (x, y) 
<=> x > у. Построить граф и график этого отношения. Какими свойствами обладает это отношение?
Решение. 1) Граф указанного отношения:
2) строим график этого отношения:
3) Рефлексивность. Если бы это отношение было рефлексивным, то x > x для 
А. Например, было бы верно 2 > 2 (ложь ). Значит отношение «>» на А не является рефлексивным.
Симметричность. Если бы это отношение было симметричным на множестве А, то x > у => у > х. Например, 3 > 2 => 2 > 3(ложь). Значит, отношение « > » на А не является симметричным.
Транзитивность. Если бы это отношение было транзитивным на множестве А, то x > у, у > z => x > z. Это утверждение истинно для любых натуральных чисел, т. е. и чисел из А. Значит, отношение « > » на А является транзитивным.
Асимметричность: Ни для каких чисел A не может быть одновременно истинным 
, т. е. отношение «>» на A асимметрично. Отношение « > » на множестве A является отношением строгого порядка, т. к. оно асимметрично и транзитивно.
отношение «>» на множестве A является связным. Т. к. отношение «>» на множестве А связное и является отношением строгого порядка, то оно есть отношение строгого линейного порядка.
Пример 2. На множестве людей Земли введено бинарное отношение «быть родственником по крови». Будет ли это отношение отношением эквивалентности?
Решение. Обозначим через A множество людей Земли, а заданное отношение буквой 
. Тогда x
у <=> человек x является родственником человека у. Что бы отношение 
было отношением эквивалентности, оно должно быть рефлексивным, симметричным, транзитивным.
Рефлексивность. Если бы 
было рефлексивным, то было бы верно: 
x
x, т. е. любой человек Земли является родственником самому себе (истина), т. е. отношение 
на A рефлексивно.
Симметричность. Если бы 
было симметрично. (x
y => y
x), т. е. если бы человек x был родственником человека у, то у был бы родственником человека x (истина). Значит, отношение 
на A симметрично.
Транзитивность. Если бы 
было транзитивно на A, то если бы человек x был бы родственником человека у, а у был родственником человека z, то x был бы родственником z. Но это не обязательно. Например, человек x родственник для y по матери, а у – родственник для z по отцу. Тогда x и у могут не быть родственниками по крови. Значит, отношение 
на А не является транзитивным.
Следовательно, отношение «быть родственником по крови» на множестве людей Земли не является отношением эквивалентности.
Пример 3. Построить граф отношения «легче, чем» на множестве A = {кролик, заяц, собака, поросёнок}, если известно, что заяц тяжелее собаки, кролик легче поросёнка, а собака тяжелее поросёнка. Кто из животных самый легкий, кто – самый тяжелый.
Решение. Строим граф указанного отношения:
Итог: кролик – самый легкий, заяц – самый тяжелый.
Упражнения
1. Найдите область определения рr1
и область значений рr2
каждого из следующих отношений, заданных на множестве
А = {1; 2; 3; …,10} 
N, и укажите, какими свойствами оно обладает:
1) а
b <=> а — b = 8;
2) а
b <=> b = а2;
3) а
b <=> аb = 12;
4) а
b <=> b > а2.
2. На множестве А = {3; 5; 7; 9; 11} 
N задано отношение x > у. Выпишите все пары элементов, находящиеся в этом отношении.
3. Построить граф отношения 
:
x
у <=> x = у + 2 на множестве
{–3; –1; 1; 2; 3; 4} 
Z.
4. На множестве Y ={ у | у 
Z , –13 ≤ у ≤ –2 } задано отношение R:
xRу <=> x = 2у.
Какие из следующих записей верны:
а) (–6; –3) 
R; б) (–3; –6) 
R;
в) (–4; –2) 
R; г) (–8; 4) 
R.
5.На множестве М = {–8; –6; –4; –2; 0; 2; 4} 
Z задано отношение 
: x
у <=> число x кратно числу у. Запишите множество 
, перечислив все его элементы. Принадлежит ли 
пара (– 4;– 4)? Найдите 
(2), 
(–8), 
(0). Найдите 
-1(4), 
-1(–6), 
-1(0). Что значит отношение х
у? Найдите 
(–4), 
(–2).
6. Дано множество числовых выражений
М = {10; –2
•3; (8 – 5
)•3;
11
•2 – 15,9(16
)}. Постройте граф этого отношения «меньше, чем» на этом множестве.
7.Множество М членов семьи Смирновых состоит из отца (Ивана Михайловича), матери (Елены Андреевны) и четырёх детей: Миши, Тани, Васи и Оли. Между членами семьи существуют отношения родства, которые можно выразить словами: «быть мужем», «быть братом» и т. д.
а) укажите всевозможные отношения на множестве М;
б) запишите отношения «быть дочерью» с указанием всех его элементов и построить граф этого отношения;
в) постройте графы отношений «быть братом», «быть матерью».
8. На рис. 16 изображен граф отношения «а брат в» на множестве детей нашего двора {А; Б; В; Г; Д; Е; Ж; 3; И}. Кто из них является мальчиком? Кто девочкой? О ком нельзя по этому графу ничего сказать?
Рис. 16
9. Класс выставил на соревнования по плаванию команду мальчиков. В нее входили: Витя, Коля, Андрей и Саша. Коля проплыл дистанцию быстрее Андрея, но медленнее Саши, Андрей затратил на ту же дистанцию времени больше, чем Витя, который плавал медленнее Коли. Как распределились места на соревнованиях.(3адачу решите с помощью построения графа соответствующего бинарного отношения).
10. М – множество озер Канады. На М задано бинарное отношение «иметь одинаковый объем воды». Будет ли это отношение эквивалентностью?
9. Класс выставил на соревнования по плаванию команду мальчиков. В нее входили: Витя, Коля, Андрей и Саша. Коля проплыл дистанцию быстрее Андрея, но медленнее Саши, Андрей затратил на ту же дистанцию времени больше, чем Витя, который плавал медленнее Коли. Как распределились места на соревнованиях.(3адачу решите с помощью построения графа соответствующего бинарного отношения).
10. М – множество озер Канады. На М задано бинарное отношение «иметь одинаковый объем воды». Будет ли это отношение эквивалентностью?
Индивидуальные задания
1. На множестве N для каждого из следующих отношений найдите область определения рr1
и область значений рr2
и укажите, какими свойствами оно обладает:
1) х
у 
НОД (х; у) = 1;
2) х
у 
у < 2х;
3) х
у 
х = у2;
4) х
у 
х ≤ у;
5) х
у 
у — х = 12;
6) х
у
|у — х| = 12;
7) х
у 
(х — у) : 3;
8) х
у 
х у = 30;
9) х
у 
х < у + 1;
10) ху 
у = 2х + 1.
2. Будет ли заданное отношение эквивалентностью на указанном множестве:
1) «иметь одинаковую высоту» (на множестве гор в Европе);
2) «находиться на одинаковой высоте над уровнем моря» (для всех населенных пунктов Тибета);
3) «иметь одинаковую протяженность» (для всех рек России);
4) «иметь одинаковую загрязненность санитарной зоны предприятия» (для всех предприятий Смоленска);
5) «иметь численность населения не менее 5000 человек» (для всех населенных пунктов Подмосковья);
6) «иметь одинаковую степень риска извержения» (для всех вулканов Земли);
7) «иметь общую границу» (для всех государств Европы);
8) «иметь общие экономические интересы на Ближнем Востоке» (для всех государств – членов ООН);
9) «иметь одинаковую глубину» (для всех ущелий Кавказа);
10) «быть равноудаленными от Москвы» (на множестве городов России).
Задания для самоконтроля
1. Пусть 
и σ отношения эквивалентности на множестве М. Докажите или опровергните, что 
σ и 
σ – есть отношения эквивалентности.
2. Известно, что отношение 
– отношение эквивалентности. Дополните граф этого отношения.
