Какими свойствами характеризуется качество оценок параметров

Проблемы статистических выводов традиционно делятся на проблемы оценивания и проверку гипотез. Главное различие между этими двумя проблемами состоит в том, что при оценивании мы должны определить величину параметра или нескольких параметров. В то время как при проверке гипотез мы должны решить: принять или отвергнуть специфическую величину (или ряд специфических величин) параметра или нескольких параметров.

В общем виде задача оценки параметров формулируется следующим образом.

Пусть распределение признака Х — генеральной совокупности — задается функцией вероятности f(xi, θ) = P(X=xi) для дискретной случайной величины или плотностью вероятностей f(x, θ) для непрерывной случайной величины, которая содержит неизвестный параметр θ.

Для вычисления параметра θ используют выборку x1, x2, …, xn, каждая из которых имеет один и тот же закон распределения, что и признак Х.

Оценкой θn параметра θ называют всякую функцию результатов наблюдений (иначе — статистику), с помощью которой делают вывод о значении параметра θ:

θn = θn(x1, x2, …, xn).

Так как x1, x2, …, xn — случайные величины, то и оценка θn является случайной величиной, которая зависит от закона распределения и объема выборки n. Оцениваемый параметр θ является постоянной величиной.

Всегда существует множество функций от результатов наблюдений x1, x2, …xn, которые можно предложить в качестве оценки параметра θ. Например, для математического ожидания в качестве оценки θn по выборке можно взять среднюю арифметическую результатов наблюдений , моду M0, медиану Me и т. д.

Так как θn — случайная величина, то невозможно предсказать индивидуальное значение оценки в данном частном случае. Поэтому о качестве оценки следует судить не по ее индивидуальным значениям, а по распределению ее значений при достаточно большом числе испытаний, т. е. по выборочному распределению оценки.

Cвойства оценок:

1. Оценка θn параметра θ называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т. е. M(θn) = θ.

В противном случае оценка называется смещенной. Если это равенство не выполняется, то оценка θn, полученная по разным выборкам, будет либо завышать θ, если M(θn) > θ, либо занижать его, если M(θn) < θ. Таким образом, требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

2. Оценка θn параметра θ называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т. е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру

Если оценка состоятельна, то практически достоверно, что при достаточно большом n θn ≈ θ.

3. Несмещенная оценка θn параметра θ является эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра θ, вычисленных по выборкам одного и того же объема n. Так как для несмещенной оценки M(θn – θ)2 есть дисперсия , то эффективность является решающим свойством, определяющим качество оценки.

В качестве статистических оценок параметров генеральной совокупности желательно использовать оценки, удовлетворяющие одновременно требованиям несмещенности, состоятельности и эффективности.

4. Оценка θn параметра θ является достаточной, если при заданном ее значении распределение наблюдения Х не зависит от параметра θ. Иначе, оценка θnобеспечивает оценку параметра без потери информации, содержащейся в выборке.

Однако на практике не всегда оценки удовлетворяют всем трем требованиям. Может оказаться, что даже если эффективная оценка существует, то формулы для ее вычисления оказываются слишком сложными, и тогда используют оценку, дисперсия которой несколько больше. Иногда, в интересах простоты расчетов, применяются незначительно смещенные оценки. Выбору оценки всегда должно предшествовать ее критическое рассмотрение.

Свойства оценок.

Источник

Элементы теории оценок неизвестных параметров

Оценки неизвестных параметров

Понятие оценки параметров

Пусть изучается случайная величина X с законом распределения, зависящим от одного или нескольких параметров. Например, это параметр а в распределении Пуассона или параметры а и σ для нормального закона распределения.

Требуется по выборке , полученной в результате n наблюдений (опытов), оценить неизвестный параметр .

Напомним, что — случайные величины: Х1 — результат первого наблюдения, X2 — второго и т.д., причем случайные величины , , имеют такое же распределение, что и случайная величина X. Конкретная выборка — это значения (реализация) независимых случайных величин .

Статистической оценкой (просто оценкой ) параметра теоретического распределения называют его приближенное значение, зависящее от данных выбора.

Очевидно, что оценка есть значение некоторой функции результатов наблюдений над случайной величиной, т.е.

(9.1)

Функцию результатов наблюдений (т.е. функцию выборки) называют статистикой.

Можно сказать, что оценка параметра есть статистика, которая в определенном смысле близка к истинному значению .

Так, есть оценка , гистограмма — плотности .

Оценка является случайной величиной, так как является функцией независимых случайных величин . Если произвести другую выборку, то функция примет другое значение.

Если число опытов (наблюдений) невелико, то замена неизвестного параметра его оценкой , например математического ожидания средним арифметическим, приводит к ошибке. Это ошибка в среднем тем больше, чем меньше число опытов.

К оценке любого параметра предъявляется ряд требований, которым она должна удовлетворять, чтобы быть «близкой» к истинному значению параметра, т.е. быть в каком-то смысле «доброкачественной» оценкой.

Свойства статистических оценок

Качество оценки определяют, проверяя, обладает ли она свойствами несмещенности, состоятельности, эффективности.

Оценка параметра называется несмещенной, если . Если , то оценка называется смещенной.

Чтобы оценка не давала систематической ошибки (ошибки одного знака) в сторону завышения ( ) или занижения ( ), надо потребовать, чтобы математическое ожидание оценки было равно оцениваемому параметру.

Если , то оценка называется асимптотически несмещенной.

Требование несмещенности особенно важно при малом числе наблюдений (опытов).

Оценка параметра называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру:

т.е. для любого выполнено

Это означает, что с увеличением объема выборки мы все ближе приближаемся к истинному значению параметра , т.е. практически достоверно .

Свойство состоятельности обязательно для любого правила оценивания (несостоятельные оценки не используются).

Состоятельность оценки может быть установлена с помощью следующей теоремы.

Теорема 9.1. Если оценка параметра является несмещенной и при , то — состоятельная оценка.

Доказательство. Запишем неравенство Чебышева для случайной величины для любого :

Так как по условию , то . Но вероятность любого события не превышает 1 и, следовательно,

т. е. — состоятельная оценка параметра .

Несмещенная оценка параметра называетсяэффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра , т.е. оценка эффективна, если ее дисперсия минимальна.

Эффективную оценку в ряде случаев можно найти, используя неравенство Рао-Крамера:

где — информация Фишера, определяющаяся формулой

— для дискретных величин:

где ,

— для непрерывных величин:

где — плотность распределения непрерывной случайной величины X.

Эффективность оценки определяется отношением

где — эффективная оценка. Чем ближе к 1, тем эффективнее оценка . Если при , то оценка называется асимптотически эффективной.

Отметим, что на практике не всегда удается удовлетворить всем перечисленным выше требованиям (несмещенность, состоятельность, эффективность), и поэтому приходится довольствоваться оценками, не обладающими сразу всеми тремя свойствами. Все же три свойства, как правило, выделяют оценку однозначно.

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

Источник

Сформулируем
задачу оценки параметров в общем виде.
Пусть распределение признака Х —
генеральной совокупности — задается
функцией вер-тей
(для дискретной СВ Х) или плотностью
вер-ти(для непрерывной СВ Х), к-ая содержит
неизвестный параметр.
Напр, это параметр λ в распределении
Пуассона или параметры а идля нормального закона распределения
и т.д.

Для вычисления
параметра
исследовать все элементы генеральной
совокупности не представляется возможным.
Поэтому о параметрепытаются судить по выборке, состоящей
из значений (вариантов).
Эти значения можно рассматривать как
частные значения (реализации) n независимых
случайных величинкаждая из к-ых имеет тот же закон
распределения, что и сама СВ Х.

Определение.
Оценкой
параметраназывают всякую функцию результатов
наблюдений над СВ Х (иначе — статистику),
с помощью к-ой судят о значении параметра:

Поскольку
— случайные величины, то и оценка(в отличие от оцениваемого параметра— величины неслучайной, детерминированной)
является случайной величиной, зависящей
от закона распределения СВ Х и числа n.

О качестве оценки
следует судить не по индивидуальным ее
значениям, а лишь по распределению ее
значений в большой сети испытаний, т.е.
по выборочному распределению оценки.

Если значения
оценки
концентрируются около истинного значения
параметра,
т.е. основная часть массы выборочного
распределения оценки сосредоточена в
малой окрестности оцениваемого параметра,
то с большой вер-тью можно считать, что
оценкаотличается от параметралишь на малую величину. Поэтому, чтобы
значениебыло близко к,
надо, очевидно, потребовать, чтобы
рассеяние случайной величиныотносительно,
выражаемое, например, матем-ким ожиданием
квадрата отклонения оценки от оцениваемого
параметра,
было по возможности меньшим. Таково
основное условие, к-му должна удовлетворять
«наилучшая» оценка.

Свойства
оценок.

Определение.
Оценка
параметраназываетсянесмещенной,
если ее мат-кое ожидание равно оцениваемому
параметру, т.е.
.

в противном случае
оценка называется смещенной.

Если это равенство
не выполняется, то оценка
,
полученная по разным выборкам, будет в
среднем либо завышать значение(если,
либо занижать его (если).
Требование несмещенности гарантирует
отсутствие систематических ошибок при
оценивании.

Если при конечном
объеме выборки n
,
т.е. смещение оценки,
но,
то такая оценканазываетсяасимптотически
несмещенной.

Определение.
Оценка
параметраназываетсясостоятельной,
если она удовлетворяет закону больших
чисел, т.е. сходится по вер-ти к оцениваемому
параметру:

,
или
.

В случае использования
состоятельных оценок оправдывается
увеличение объема выборки, т.к. при этом
становятся маловероятными значительные
ошибки при оценивании. Поэтому практический
смысл имеют только состоятельные оценки.
Если оценка состоятельна, то практически
достоверно, что при достаточно большом
n
.

Если оценка
параметраявляется несмещенной, а ее дисперсияпри
n → ∞, то оценкаявляется и состоятельной. Это
непосредственно вытекает из неравенства
Чебышева:

Какими свойствами характеризуется качество оценок параметров .

Определение.
Несмещенная оценка
параметра
сназываетсяэффективной,
если она имеет наименьшую дисперсию
среди всех возможных несмещенных оценок
параметра
,
вычисленных по выборкам одного и того
же объема n.

Т.к. для не смещенной
оценки
есть ее дисперсия,
то эф-ть являетсярешающим
свойством,
определяющим качество оценки.

Эффективность
оценки определяют отношением: Какими свойствами характеризуется качество оценок параметров .

где и
— соот-но дисперсии эффективной и данной
оценок. Чем ближе е к 1, тем эффективнее
оценка. Если е → 1 при n → ∞, то такая
оценка называется асuмптотически
эффективной.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 26 ноября 2014;
проверки требуют 12 правок.

Показатель качества (продукции) — это количественная характеристика одного или нескольких свойств продукции, входящих в её качество, рассматриваемая применительно к определённым условиям её создания и эксплуатации или потребления[1].

Каждая продукция обладает своей номенклатурой показателей, которая зависит от назначения продукции, условий её производства и эксплуатации и многих других факторов. Показатель качества может выражаться в различных физических единицах измерения (например, секунда, метр, м², м³, км/ч, грамм, вольт, ватт, и др.), условных единицах измерения (балл, рубль, FLOPS, процент избирателей и др.), а также быть безразмерным (вероятность наступления ожидаемого события, и др.). В виде технических требований показатели входят в состав технического задания на разрабатываемую продукцию и технических условий.

Общая характеристика показателей[править | править код]

Номенклатура показателей окончательно формируется на этапе проектирования продукции, так как здесь они закладываются в конструкцию. Далее, на этапе производства эти показатели находят своё воплощение. А на этапе эксплуатации (потребления) показатели становятся индивидуальной характеристикой продукции, выделяют её из других видов продукции (товара), составляют её потребительские свойства и, следовательно, делают привлекательной и конкурентоспособной.
Стремление учесть как можно больше показателей в желании максимально полно охарактеризовать продукцию делает задачу проектирования практически нерешаемой. Важно выделять главные показатели, отражающие наиболее существенные потребительские свойства объекта. Также следует иметь в виду, что для определённых условий производства и эксплуатации существуют обязательные к учёту показатели. В основном это касается безопасности, когда минимально приемлемый уровень требований устанавливают нормативные документы федеральных органов исполнительной власти, осуществляющих контроль за качеством и безопасностью товаров, такие как Ростехнадзор, Роспотребнадзор и другие. Также, если продукция предназначается для реализации отдельным гражданам или каким-то образом может быть им продана, то она должна удовлетворять дополнительным требованиям, устанавливаемыми Законом Российской Федерации «О защите прав потребителей».

К показателям предъявляются следующие требования:

монотонная связь с качеством при условии постоянства остальных показателей;
простота определения, измерения и контроля;
наглядность отображения свойств объекта или процесса;
соответствие рассматриваемым свойствам;
хорошая чувствительность к изменению этих свойств;
устойчивость к случайным помехам.

Классификация показателей[править | править код]

По месту в жизненном цикле[править | править код]

Прогнозируемые
Проектные
Производственные
Эксплуатационные

По потребительским свойствам[править | править код]

Для наглядности и удобства все показатели обычно делят на две группы, условно называемые «цена» и «качество». Первая группа объединяет экономические требования, вторая — технические. С другой стороны, при решении практических задач это облегчает использование методов оптимизации и выбор целевой функции.

Технические показатели[править | править код]

Показатели назначения (функциональные требования). Характеризуют способность продукции эффективно выполнять свою функцию. Их можно разделить на следующие группы:
- требования производительности. Включают показатели необходимой мощности, грузоподъемности, развиваемой скорости и другие, которые характеризуют выполняемую функцию;
- требования эффективности. Характеризуют степень эффективности использования изделия по назначению, например, показатели энергетические (КПД, потери), кинематические (точность перемещения), силовые (стабильность нагрузки) и т. п.;
- конструктивные требования. Характеризуют достоинства выбранной конструкции, например, масса и габариты;
Показатели надёжности. Состоят из сочетаний следующих свойств:
- безотказности;
- долговечности;
- ремонтопригодности;
- сохраняемости;
Показатели эргономичности. Характеризуют социальные свойства продукции как части человеко-машинной системы: сохранение здоровья людей посредством повышенного удобства эксплуатации (соответствие антропометрическим, социально-психологическим, психологическим, психолого-физиологическим и гигиеническим показателям), всестороннее развитие человеческой личности.
Многофункциональность. Возможность применять изделие для выполнения различных работ и видов деятельности.
Показатели безопасности. Характеризуют исключение возможных несчастных случаев при нормальной и неквалифицированной работе, при случайных действиях человека и воздействии внешней среды, в аварийных и экстремальных ситуациях, а также в процессе изготовлении изделия (на обычном и, особенно, опасном производстве). Виды безопасности: химическая, радиационная, механическая, электрическая, магнитная, электромагнитная, термическая, санитарно-гигиеническая, противопожарная;
Экологические показатели. Характеризуют приспособленность изделия к сосуществованию с окружающей природой и средой обитания живых организмов, к обмену с ними энергией (например, отдача в окружающее пространство тепла), веществом (например, засорение среды продуктами износа, утечками смазочных масел) и сигналами (например, создание свиста, шума);
Показатели эстетичности. Характеризуют проявление прекрасного во внешних образах изделия: информационная выразительность, рациональность формы, совершенство исполнения, стабильность товарного вида, целостность вида;
Показатели утилизации. Характеризуют способы ликвидации изделия по завершении его эксплуатации во время демонтажа и собственно утилизации;
Проектно-технологические показатели. Характеризуют эффективность технических решений. Включают следующие показатели:
- уровни стандартизации, унификации и преемственности;
- показатели технологичности. Характеризуют возможность выпуска изделия (изготовления и сборки с заданным уровнем качества) с наименьшими производственными затратами и в кратчайшие сроки;
- показатели транспортабельности. Характеризуют свойство изделия с минимальными затратами перемещать его в пространстве (внутри производственных цехов, от производителя к продавцу и, далее, к потребителю), например, средняя продолжительность разгрузки партии продукции из вагона, максимально возможное использование ёмкости транспортного средства;
- показатели сохранности. Характеризуют способность изделия не зависеть (быть защищенной) от неблагоприятных воздействий внешней среды (климатических, случайных или преднамеренных);
Патентно-правовые показатели. Характеризуют патентную чистоту (степень использования технических решений, не попадающих под действие патентов РФ и стран предполагаемого экспорта) и патентную защиту продукции (степень защиты патентами РФ и стран предполагаемого экспорта).

Экономические показатели[править | править код]

Прибыль производителя и продавца продукции;
Себестоимость продукции, включающая затраты производителя, связанные с её выпуском, реализацией, последующим обслуживанием;
Цена продукции. Различается на оптовую и розничную;
Эксплуатационные расходы потребителя продукции. В общем случае складываются из следующих статей:
- стоимость потребляемой энергии, количество и эффективность её использования (например, КПД продукции);
- стоимость расходуемых материалов (например, смазка, элементы питания), запасных деталей и инструмента;
- стоимость обслуживания: плата за обучение правилам эксплуатации изделия, обслуживающему персоналу, охране и т. п.;
- стоимость ремонта и утилизации: оплата специалистов-ремонтников и гарантийных мастерских, демонтажа изделия и его вывоз на свалку или перерабатывающий завод;
- различные отчисления: страховые, оплата налогов, плата за вредные выбросы и другие.

По применению для оценки[править | править код]

Базовые (абсолютные), имеющие физический смысл. Например, показатель мощности характеризуется мощностью Р;
Относительные, например, рентабельность.

По количеству характеризуемых свойств[править | править код]

Единичные показатели, когда качество является функцией одного параметра. Например, показатель мощности Р;
Комплексные (в том числе относительные) показатели, объединяющие ряд свойств, каждое из которых описывается своим параметром. Позволяют получить новые характеристики. Например, показатель удельной мощности, равный отношению мощности системы к её массе. Такой показатель формально является целевой функцией и позволяет сократить число первоначально рассматриваемых показателей (максимум мощности и минимум массы);
Интегральные показатели, объединяющие ряд комплексных показателей.

По возможности оценки[править | править код]

Формализованные показатели. Имеют количественную оценку, выраженную неким численным значением;
Неформализованные показатели. Имеют качественную оценку субъективного характера (например, максимум удобства, красоты). С целью повышения степени объективности таких показателей и возможности получения численной оценки широко применяют экспертные оценки.

Методы измерения показателей качества[править | править код]

Субъективные:

экспертный
опросы
органолептические

Объективные:

регистрационные
инструментальные

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Хорошев А.Н. Введение в управление проектированием механических систем: Учебное пособие. — Белгород, 1999. — 372 с. — ISBN 5-217-00016-3. Электронная версия 2011 г.
Боридько С. И., Дементьев Н. В., Тихонов Б. Н. Метрология и электрорадиоизмерения в телекоммуникационных системах. — М.: Горячая линия -Телеком, 2007. — 374 с. — ISBN 5-93517-338-7.
Терелянский П.В. Непараметрическая экспертиза объектов сложной структуры: моногр. М.: Изд.-торг. корп. «Дашков и Ко», 2009.

Источник