Каким свойством выделяется подмножество квадратов в множестве ромбов
Множества и его элементы
УРОК 5 МНОЖЕСТВА СОБЫТИЙ. КРУГИ ЭЙЛЕРА.
Цель: Знакомство с понятиями «событие», «множество событий»; видами событий. Формировать знания о кругах Эйлера, умения изображать с их помощью отношения между подмножествами.
Повторение, проверка д/з:
Что обозначает слово «множество»? Решить упражнение 1.
Что мы называем элементом множества?
Как различают множества по числу элементов?
Какими способами можно задать множество? (перечисление элементов, характеристическое свойство)
Какое свойство называется характеристическим свойством?
Какие множества называются равными? Решить упражнение 2.
Какие математические «иероглифы» мы используем для сокращенной записи?
Что такое подмножество? Решить упражнение 3.
Проверить упражнения из домашнего задания:
Даны множества А = {10}, В = {10; 15}, С = {5; 10; 15}, М = {5; 10; 15; 20}. Поставить вместо … знак включения (⊂ или ) так, чтобы получилось верное утверждение:
Решение: а) А ⊂ М; б) А ⊂ В; в) С А; г) С В.
Какое множество является подмножеством?
Даны множества: В = {1; 3; 5} и С = {а; и; е; о}. Выписать все подмножества каждого множества.
Упражнение 1: Блиц-опрос:
1. Какие названия применяются для обозначения множества кораблей? (флотилия, эскадра)
2. Как называется множество документов? (архив)
3. Как называется множество картин? (выставка, галерея)
4. Как называется населённых людьми мест? (деревня, село, город, поселок)
5. Как называется множество точек земной поверхности, равноудаленных от обоих полюсов?(экватор)
6. Как называется множество цветов, стоящих в вазе? (букет)
7. Какие названия применяются для обозначения множеств военнослужащих? (рота, полк, взвод, …)
8. Какие названия применяются для обозначения множеств животных?(земноводные, млекопитающие, хладнокровные, …)
Упражнение 2: Запишите множества букв слов «КОНИ» И «КИНО». Что можно сказать об этих множествах? (Решение: А = {К, О, Н, И}, В = {К, И, Н, О}; А = В)
Упражнение 3: Каким свойством в множестве ромбов выделяется подмножество квадратов?
Упражнение 4: Объясните, о чем вам может рассказать следующая картинка. Ответ обосновать.
Упражнение 5: Задать множество с помощью характеристического свойства. Составить его подмножества.
Ответ:
Открытие нового знания:
МНОЖЕСТВА СОБЫТИЙ
О каких множествах мы сегодня говорили? Что является элементами этих множеств? Как одним словом их можно назвать?
Но элементами множеств могут быть не только предметы, но и признаки и даже события.
Составьте множество признаков огурца. (Зеленый, твердый, продолговатый, хрустящий, соленый, … )
Назовите множество признаков заболевания человека гриппом.
Как это можно назвать? (симптомы)
Как видите, наше понятие множества очень общее. Но вернемся к множеству событий. Необходимо помнить, что события непосредственно связано с экспериментом, опытом.
Событием называется любой исход опыта, эксперимента.
Упражнение 1: Двое стреляют по мишеням. Каково при этом множество событий?
А = {попали оба; первый попал, а второй нет; первый не попал, а второй попал; попали оба}
Что является элементами этого множества? Сколько элементов в этом множестве?
Упражнение 2: На пути два светофора. Записать множество событий загорания светофоров.
В = {КК; КЖ; КЗ; ЖК; ЖЖ; ЖЗ; ЗК; ЗЖ; ЗЗ}
Проводим мысленно эксперимент. Почему мысленно, поймете позже.
Суть эксперимента: бросаем чашку со стола на пол. Разберемся, какие события последуют (для чашки, а не для нас).
Чашка разбилась.
Чашка не разбилась.
Чашка испортилась (откололась ручка, появилась трещина и т.д)
Сколько событий может произойти?
Следовательно, множество событий, которое последует за бросанием чашки со стола, содержит три элемента: А = {чашка разбилась, чашка не разбилась, чашка испортилась}.
Каждый элемент множества, т.е. каждое событие, мы будем называть исходом эксперимента.
Сколько же исходов имеет наш эксперимент?
Проведем мысленно еще один эксперимент: бросаем чашку с пятого этажа на асфальт.
Какие события произойдут? Верно, произойдет только одно событие: чашка разобьется.
Сколько элементов имеет множество событий этого эксперимента? В = {чашка разбилась}
Сколько исходов имеет этот эксперимент?
Можно сказать, что исход этого события однозначен. Почему?
Действительно, если множество событий эксперимента состоит из одного единственного элемента, то говорят, что его исход однозначен.
Можно ли сказать, что в предыдущем эксперименте исход однозначен? Почему?
Конечно, в этом эксперименте множество событий содержит не один, а три элемента (3>1). Поэтому исход этого эксперимента неоднозначен.
Если множество событий эксперимента содержит более одного элемента, то говорят, что исход этого эксперимента неоднозначен.
Скажите, в каком эксперименте (из этих двух) мы можем предсказать исход?
Верно, однозначный исход может быть уверенно предсказан.
Что же надо сделать, чтобы определить исход какого-либо эксперимента?
АЛГОРИТМ:
Составить множество событий, являющихся результатом эксперимента;
Подсчитать количество элементов этого множества.
Итак, мы уже выяснили: событие непосредственно связано с экспериментом. Изменяя условия, задавая другой эксперимент, событие может изменить свой вид.
Какими же могут быть события?
Пример 1: Подбрасываем два кубика. Выпало 7 очей. Как можно назвать это событие? (случайное)
Пример 2: Подбрасываем один кубик – эксперимент изменился. А событие прежнее – выпало 7 очей. Как можно назвать это событие? (невозможное)
Налицо изменение вида одного и того же события из случайного в невозможное из-за изменения эксперимента.
КРУГИ ЭЙЛЕРА
Леонард Эйлер (1707 -1783 гг) – один из величайших математиков, петербургский академик. За свою долгую жизнь он написал более 850 научных работ. В одной из них появились эти круги. Эйлер писал, что «они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».
Круги Эйлера – геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Используются они в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов.
Упражнение 1: Рассмотрим рисунки. Составьте рассказ по каждому рисунку.
(Acquaintance – знакомства, community helpers — сообщества, strangers – незнакомцы)
Упражнение 3: Множества: А = {1, 2, 3} и В = {1, 2, 3, 4, 5}. Изобразить при помощи кругов Эйлера, в каком отношении состоят эти множества.
Упражнение 1: Рассмотреть рисунок и ответить на вопрос: является ли каждое из множеств В, С, D и Е подмножеством множества А? Ответ записать с помощью символов.
Ответ:
Вспомните, круги Эйлера мы уже пытались применять на прошлом уроке, когда говорили о множествах чисел. При помощи кругов Эйлера мы в дальнейшем будем решать задачи.
Подведение итогов урока, рефлексия
Сможете ли вы объяснить, что такое «событие», «исход», так, чтобы собеседник понял, о чем идет речь, о чем мы говорим? Объясните!
Что такое исход события? Какие виды исходов вам известны? Объяснить.
Какими могут быть события? Объяснить.
Домашнее задание: конспект, упражнения:
Записать множество событий при бросании трех монет (О – орел, Р – решка).
Сигнал подается поднятием двух цветных флажкоа. Имеется три флажка: красный (К), желтый (Ж), зеленый (З). как можно подать различные сигналы, если порядок цвета флажка учитывается? Записать множество всех исходов.
Попробуйте решить задачу (любым способом): Из 220 школьников 16 играют в баскетбол, 175 в футбол, 24 не играют в эти игры. Сколько человек одновременно играют в баскетбол и в футбол?
Решение:
Лабораторная работа 2
Теория множеств
1. В повседневной жизни постоянно различные совокупности предметов называют одним ловом. Совокупность документов называют архивом, собрание музыкантов – оркестром, группу лошадей – табуном; родителей, детей и их родственников – семьей; большую группу людей – толпой или очередью; собрание книг – библиотекой и т. д.
Математическим понятием, отражающим объедение некоторых объектов, предметов или понятий в единую совокупность, является понятие множества.
Под множеством понимают совокупность предметов (объектов), объединенных некоторым общим признаком.
Обозначение: M = {m}.
Приведем примеры множеств.
1. Множество всех людей, живущих в настоящее время на Земле.
2. Множество всех рыб в Тихом океане.
3. Множество звезд в Галактике.
4. Множество студентов данного вуза.
5. Множество всех натуральных чисел.
Предметы, объекты, образующие данное множество, называются его элементами. Например, Александр 1 является элементом множества российских императоров, а число 9 – элементом множества натуральных чисел. В тоже время Иван 4 не является элементом множества российских императоров, потому что Российское государство получило название «империя» в 1721 г. 5N – 5 принадлежит множеству натуральных чисел. -5N – -5 не принадлежит множеству натуральных чисел.
Задачи:
1. Назовите известные вам названия множеств военнослужащих.
2. Назовите известные вам названия множеств живых существ (например, стая).
3. Назовите известные вам названия множеств людей (например, бригада).
4. Как называется множество царей (фараонов, императоров) данной страны, принадлежащих одному семейству? Приведите примеры.
5. Пусть А – множество всех существ, умеющих летать, В – множество всех насекомых, С – множество всех птиц.
а) Назовите два элемента множества В, не являющихся элементами множества А.
б) Назовите два элемента множества С, не являющихся элементами множества А.
в) Существуют ли элементы, принадлежащие всем трем множествам?
6. Как называются линии на географических картах, изображающие множество точек земной поверхности, имеющих:
а) одинаковую долготу;
б) одинаковую широту;
в) одинаковую среднюю годовую температуру;
г) одинаковое давление в данный момент времени;
д) одинаковую высоту над уровнем моря?
7. Запишите множества, перечислив их элементы:
а) положительные числа, кратные 5 и меньше 37;
б) простые числа, меньшие 30.
8. Какие высказывания справедливы, какие не справедливы?
а) Если М = {четырехугольники}, то:
ромб М;
квадрат М;
шестиугольник М;
окружность М.
б) Если М = {n / n – простые числа меньшие 100}, то:
2 М;
27 М;
13 М;
53 М;
81 М;
97 М.
2. Если множество А не является пустым множеством, то из него можно образовать другие множества, являющиеся его частями. Так, множество птиц является частью множества позвоночных, другой частью этого множества является множество рыб, млекопитающие образуют еще одну часть этого множества. Множество четных чисел, множество простых чисел, множество чисел, кратных трем, – все это различные части множества натуральных чисел.
В математике вместо слова «часть» используют слово «подмножество».
Обозначение: N Z
Задачи:
1. Каким свойством выделяется подмножество квадратов в множестве ромбов?
2. Каким свойством выделяется подмножество млекопитающих в множестве всех живых существ?
3. Назовите 5 подмножеств в множестве слов русского языка.
4. Даны множества. Расположите их так, чтобы каждое предыдущее множество было подмножеством следующего.
а) А – множество всех четырехугольников, В – множество всех ромбов, С – множество всех параллелограммов, D – множество всех многоугольников;
б) А – множество всех позвоночных животных, В – множество всех животных, С – множество всех млекопитающих животных, D – множество всех волков, Е – множество всех хищных млекопитающих, F – множество всех волков, обитающих на Среднерусской возвышенности.
5. Напишите все подмножества множества М, если М = {тетрадь, ручка, карандаш}.
6. Укажите, какие из высказываний правильные, какие неправильные:
а) {ромбы} {параллелограмм};
б) {ромбы} {прямоугольники};
в) {параллелограммы} {четырехугольники};
г) {простые числа} {нечетные числа};
д) {n / n = 2k} {n / n = 2k }, где k = 1, 2, 3, …
2. Суммой нескольких множеств называется множество всех тех и только тех элементов, каждый из которых входит хотя бы в одно из данных множеств.
Пример. А = {a, b, c}
B = {a, c, p, m}
АВ = {a, b, c, p, m}
Разностью множеств А и В (А В) называется множество всех тех и только тех элементов из множества А, которые не содержатся во множестве В.
Пример. А = {a, b, c}
B = {a, c, p, m}
А В = {b}
Пересечением нескольких множеств называется множество всех тех и только тех элементов, которые входят в каждое из данных множеств.
Пример. А = {n / n = 2, 4, 6, 8, …, 2m, …}
B = {n / n = 3, 6, 9, …, 3m, …}
А ∩ В = {n / n = 6, 12, …, 6m, …}, m – натуральное число.
Задачи:
1. Найдите сумму множеств:
а) А = {n / n = 2m}
B = {n / n = 2m}, m – натуральное число;
б) А = {простые числа}
B = нечетные числа}.
2. Если множество А содержит n элементов, а множество В – m элементов, то в каком случае множество АВ будет содержать m + n элементов?
3. Найдите разности А В и В А, если А = {a, b, c, d} и B = {b, d, p, q, r}.
4. Даны два множества А = {a, b, c, d} и B = {b, с, d, p, q, r}, убедитесь в справедливости равенства А (В А) = А. Всегда ли оно справедливо?
5. Найдите пересечение множеств:
а) А = {прямоугольники, периметр которых больше 100},
B = {прямоугольники, периметр которых больше 200};
в) А = {простые числа, меньшие 40},
B = {нечетные числа, большие 14}.
3. Выполнить в электронном виде в таблице.
Задачи
Даны множества на числовой прямой А, В и С — найти множества А и изобразить их на числовой оси.
1. А=, В=, С=
2. А=, В= , С=
3. А=, В=, С=
4. А=, В=, С=
5. А=, В=, С=
6. А=, В=, С=
7. А=, В=, С=
8. А=, В=, С=
9. А=, В=, С=
10.А=, В=, С=
ВНИМАНИЕ! Это раздел УЧЕБНИКОВ, раздел решебников в другом месте.
[ Все учебники ]
[ Букварь ]
[ Математика (1-6 класс) ]
« Алгебра »
[ Геометрия ]
[ Английский язык ]
[ Биология ]
[ Физика ]
[ Химия ]
[ Информатика ]
[ География ]
[ История средних веков ]
[ История Беларуси ]
[ Русский язык ]
[ Украинский язык ]
[ Белорусский язык ]
[ Русская литература ]
[ Белорусская литература ]
[ Украинская литература ]
[ Основы здоровья ]
[ Зарубежная литература ]
[ Природоведение ]
[ Человек, Общество, Государство ]
[ Другие учебники ]
7 класс —
8 класс —
9 класс —
10 класс —
11 класс
Страница № 016.
Учебник: Алгебра для 9 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов, с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев; Под ред. Н. Я. Виленкина. — М.: Просвещение, 1996. — 84 с.: ил.
Страницы учебника:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, «16», 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384
Пример. Рассмотрим множества:
А — множество всех четырехугольников,
В — множество всех трапеций,
С — множество всех параллелограммов,
D — множество всех прямоугольников,
Е — множество всех квадратов.
Какие из этих множеств являются подмножествами других?
Решение. В смысле множеств фигура каждого следующего типа является частным случаем фигуры предыдущего типа (трапеция — частный случай четырехугольника, параллелограмм — трапеции, прямоугольник — параллелограмма, квадрат — прямоугольника). Это означает, что каждое следующее множество является подмножеством предыдущего. Поэтому EczDczCaBczA.
Если множество В является подмножеством множества А (BczA), то принадлежность элемента х множеству В является достаточным условием его принадлежности множеству А, а принадлежность элемента х множеству А — необходимым условием его принадлежности множеству В. Например, если А — множество четных натуральных чисел, В — множество натуральных чисел, кратных 10, то очевидно, что BczA. Поэтому, для того чтобы натуральное число п было четным числом, т. е. n£A, достаточно, чтобы п делилось на 10, т. е. п£В. С другой стороны, для того чтобы п делилось на 10, т. е. п£В, необходимо, чтобы это число было четным, т. е. п£А.
Если множества А и В совпадают, то принадлежность элемента множеству А необходима и достаточна для его принадлежности В. Другими словами, теоремы о том, что некоторое условие является необходимым и достаточным,— это теоремы
о совпадении двух множеств.
Например, множество А всех ромбов совпадает с множеством В всех параллелограммов, имеющих взаимно перпендикулярные диагонали. Поэтому, для того чтобы параллелограмм был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны.
Упражнения
42. Каким свойством выделяется подмножество квадратов в множестве ромбов?
43. Каким свойством выделяется подмножество млекопитающих в множестве всех живых существ?
44. Назовите 5 подмножеств в множестве слов русского языка.
45. Даны множества. Расположите их так, чтобы каждое предыдущее множество было подмножеством следующего.
а) А — множество всех четырехугольников, В — множество всех ромбов, С — множество всех параллелограммов, D — множество всех многоугольников;
Страницы учебника:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, «16», 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384
Учебник: Алгебра для 9 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов, с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев; Под ред. Н. Я. Виленкина. — М.: Просвещение, 1996. — 84 с.: ил.
Все учебники по алгебре:
- Алгебра, 7 класс (Е. П. Кузнецова и др.) 2009
- Алгебра, 7 класс. Часть 1. Учебник (А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев) 2009
- Алгебра, 7 класс. Часть 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев) 2009
- Алгебра, 7 класс. Часть 1. Учебник (А. Г. Мордкович) 2009
- Алгебра, 7 класс. Часть 2. Задачник (А. Г. Мордкович) 2009
- Алгебра, 7 класс (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов) 2008
- Алгебра, 7 класс (К. С. Муравин, Г. К. Муравин, Г. В. Дорофеев) 2001
- Алгебра, 7 класс (Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова) 2009
- Алгебра, 7 класс (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) 2005
- Алгебра, 7 класс. Задачник (А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Б.Е. Тульчинская) 2001
- Алгебра, 7 класс (А. Г. Мордкович) 2001
- Алгебра, 7 класс (Ш. А. Алимов, Ю. М. Калягин, Ю. В. Сидоров и др.) 1991
- Алгебра, 7 класс (А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир) 2012
- Алгебра, 8 класс. Часть 1. Учебник (Мордкович А. Г.) 2010
- Алгебра, 8 класс. Часть 2. Задачник (Мордкович А.Г.) 2010
- Алгебра, 8 класс. Задачник (Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский) 2008
- Алгебра, 8 класс (А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев) 2008
- Алгебра, 8 класс (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов) 2010
- Алгебра, 8 класс (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) 2006
- Алгебра, 8 класс. Часть 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская) 2003
- Алгебра, 8 класс. Учебник (Мордкович А. Г.) 2001
- Алгебра, 8 класс (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова) 1996
- Алгебра, 8 класс (Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.) 2010
- Алгебра. Тесты для промежуточной аттестации. 7 — 8 класс. (Ф. Ф. Лысенко) 2009
- Сборник задач по алгебре, 8-9 класс (М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич) 2001
- Алгебра, 9 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2010
- Алгебра, 9 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.) 2010
- Алгебра, 9 класс. Задачник (Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов) 2008
- Алгебра, 9 класс (А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев) 2008
- Алгебра, 9 класс (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов) 2008
- Алгебра, 9 класс (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова) 2000
- Алгебра, 9 класс (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова) 2009
- Алгебра, 9 класс (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкии) 2006
- Алгебра, 9 класс. Задачник (А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская) 2002
- Алгебра, 9 класс (Мордкович А.Г.) 2002
- Алгебра, 9 класс (Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.) 1995
- Алгебра, 9 класс (Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев) 1996
- Сборник задач по алгебре, 8-9 класс (М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич) 2001
- Алгебра, 9 класс (Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.) 2008
- Алгебра, 9 класс (Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.) 2010
- Алгебра, 9 класс (Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. и др.) 2006
- Сборник заданий для экзамена по алгебре, 9 класс (Л. В. Кузнецова, Е. А. Бунимович, Б. П. Пигарев, С. Б. Суворова) 2008
- Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2009
- Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович и др.) 2009
- Алгебра и начала математического анализа, 10 класс (Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин) 2009
- Алгебра и начала математического анализа, 10 класс (М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) 2009
- Алгебра. Начала математического анализа, 10 класс (М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев) 2007
- Алгебра и начала математического анализа, 10 класс (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) 2009
- Математика, 10-й класс. Тесты для аттестации и контроля (Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова) 2011
- Алгебра и начала анализа, 10 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович и др.) 2007
- Алгебра и начала анализа, 10-11 класс. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Т. А. Корешкова, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская) 2001
- Алгебра и начала анализа, 10-11 класс (Мордкович А.Г.) 2001
- Алгебра и начала анализа, 10—11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990
- Алгебра. Начала математического анализа, 10-11 класс (М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев, Т. А. Олейник, Т. В. Соколова) 2009
- Дидактические материалы по алгебре и математическому анализу с ответами и решениями, 10—11 класс (В. И. Рыжик, Т. X. Черкасова) 2008
- Алгебра и начала математического анализа, 10—11 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович) 2009
- Алгебра и начала математического анализа, 10—11 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович и др.) 2009
- Алгебра и начала анализа, 10 класс (А.Г. Мерзляк, Д.А. Номировский, В.Б. Полонский, М.С. Якир) 2012
- Алгебра и начала анализа, 10-11 класс. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Т. А. Корешкова, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская) 2001
- Алгебра и начала анализа, 10-11 класс (Мордкович А.Г.) 2001
- Алгебра и начала анализа, 10—11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990
- Алгебра. Начала математического анализа, 10-11 класс (М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев, Т. А. Олейник, Т. В. Соколова) 2009
- Дидактические материалы по алгебре и математическому анализу с ответами и решениями, 10—11 класс (В. И. Рыжик, Т. X. Черкасова) 2008
- Алгебра и начала математического анализа, 10—11 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович) 2009
- Алгебра и начала математического анализа, 10—11 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович и др.) 2009
- Алгебра и математический анализ для 11 класса (Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд) 1998
- Алгебра и начала математического анализа, 11 класс (М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) 2010
- Алгебра. Начала математического анализа, 11 класс (М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев) 2008
- Алгебра и начала математического анализа, 11 класс (С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) 2009
- Алгебра и начала анализа, 11 класс. Часть 1 из 2. Учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2007
- Алгебра и начала математического анализа, 11 класс. Часть 2 из 2. Задачник (А. Г. Мордкович и др.) 2009