Каким свойством сущность не может обладать

Предыдущие тексты: первый, второй.

Возвращаясь на шаг: доказательство Гёделя — это 5 аксиом плюс 2 понятия, из которых и следует собственно теорема. Аксиомы определяют класс позитивных свойств (а сам бог, существование которого он доказывает, это то, что обладает всеми позитивными свойствами). Понятия — это «сущность» и «необходимое существование». Аксиомы мы перечислили и (поверхностно) прокомментировали в предыдущем тексте. Для доказательства важно, и мы это еще раз увидим ниже, чтобы существовало хотя бы одно позитивное свойство. Это условие, видимо, выполняется, хотя это не так очевидно, как может показаться на первый взгляд.

Теперь несколько слов о понятиях. Первое понятие — «сущность».

Скажем, что некоторое свойство φ является сущностью некоторой вещи x если из этого свойства необходимо вытекают и все прочие свойства, которыми обладает эта вещь.

Иными словами: свойство φ называется сущностью объекта x если любой объект y, который обладает этим свойством, необходимо обладает и всеми другими свойствами, которыми обладает х.

Запишем это определение так:

• φ ess x ↔ ∀ ψ { ψ(x) → □ [ φ → ψ ] }

и переведем эту запись дословно:

• (Свойство) φ является сущностью (объекта) x если для всех (свойств) ψ верно следующее: если x обладает ψ, то необходимо верно, что φ влечет за собой ψ.

Что означает, что «одно свойство (φ) влечет за собой другое (ψ)»? Это означает, что для любого (объекта) y верно, что если y обладает φ, то он обладает и ψ:

• φ → ψ ↔ ∀ y [ φ(y) → ψ(y) ]

В нашем определении это импликация должна выполняться необходимо. Иными словами, ее отрицание должно приводить к логическому противоречию; она должна быть верна в любом мире.

Пример: пусть φ(y) означает, что y тяжелее 100 кг, а ψ(y) — что y тяжелее 50 кг. Тогда в любом мире φ(y) → ψ(y). Это верно с необходимостью.

Другой пример: так случилось, что все мои соседи — моложе 30 лет. Иными словами, если некто — мой сосед, то этому некто — меньше 30 лет. Это также верно, но отнюдь не необходимо (а случайно).

С понятием сущности связан ряд ряд вопросов. Рассмотрим, например, цепочку понятий «сфера —> мяч —> зеленый мяч —> мой зеленый мяч —> мой зеленый мяч с царапиной». Сущность сферы определяется легко, это просто математическое определение. Дальше, с каждым ступенью конкретизации (сообщения большего количества предикатов), становится все сложнее. Мяч — «что-то приблизительно сферическое для игры», зеленый мяч — тоже понятно, затем вступает в действие уже индивидуальная история этого мяча. В конечном пределе определение сущности сводится к называнию, указыванию имени, метки, обозначающей весь комплекс предикатов «Мой зеленый мяч, который лежит на шкафу, с царапиной, которая образовалось когда я в прошлом году попал им в окно соседа». «Мой сосед, тот, которому 25 лет, высокого роста, который живет к квартире напротив, а в прошлом году мы еще вместе ходили на рыбалку…» Сказать так — все равно, что назвать имя. Заметим однако, что сам предел, называние имени («Это — Вася!») предиката не составляет!

Второе понятие: «необходимое существование». Записывается оно так:

• E(x) ↔ ∀ φ [ φ ess x → □ ∃ x φ(x) ] ,

что означает:

• объект x обладает свойством «необходимого существования» (будем говорить «существует необходимо», не путать с последовательностью символов ∃ □ или □ ∃), если для любого свойства φ верно следующее: если φ — сущность х, то необходимо существует объект, который обладает этим свойством φ. Иными словами, такой объект существует в каждом мире. Сущность объекта необходимо экземплифицирована.

Теперь видно, что для того, чтобы проверить обладает ли объект свойством необходимого существования, нужно:

1. Выделить (сформулировать, понять, определить) его сущность, и
2. Убедиться, что объект с такой сущностью существует во всех возможных мирах, то есть что отрицание его существования приводит к противоречию. 

Сложным здесь является пункт первый. Чтобы немного освоиться на новой местности:

Каждый ли объект обладает сущностью? Скорее всего да. Должен ли при этом существовать сам объект? Нет. Можно ли указать сущность любого объекта? Это более тонкий вопрос. Может ли объект существовать, но не быть «необходимо существующим»? Разумеется, сколько угодно. Есть ли примеры необходимо существующих объектов — да.

Объект: мяч (вообще). Что такое сущность мяча? Можно попытаться сказать, что сущность мяча в том, что это приблизительно шарообразной формы объект, который можно использовать для игры. Существует ли мяч необходимо? Нет. Можно вообразить себе миры, где плотность атмосферы или сила тяготения таковы, что игр с мячом просто не придумали. Могут ли у конкретного мяча быть другие, «не существенные» свойства? Разумеется, любое случайное свойство — цвет, материал, наличие царапины, полученной, когда я им выбил соседское окно, и вообще вся его индивидуальная история. Могут ли какие-то случайные свойства рассматриваться как существенные в каких-то ситуациях? Да! Элементом сущности конкретного мяча может быть например то, что именно им была сыграна одна из игр чемпионата мира.

Объект: целое (или вещественное, или комплексное) число (или любой другой математический объект). Существует ли оно необходимо — да. В любом возможном мире, в том числе и в нашем, есть числа и все математические объекты, в том числе и те, которые нами еще не открыты. Таковыми были, скажем, римановы многообразия до рождения Римана или множества Мандельброта — до того, как Мандельброт опубликовал свою первую работу.

Объект: Евгений Онегин. Существует ли он? Нет. Обладает ли он сущностью — несомненно, о чем и писано множество школьных сочинений. Экземплифицирована ли его сущность в нашем мире? Вполне возможно! Есть множество примеров того, что литературные герои писались с реальных прототипов. А в любом другом? Отнюдь! Кстати, кому интересно, можно убедиться, что в нашем мире существует (экземплифицировано) сколько угодно объектов, сущность которых определяется через сущности несуществующих объектов. Пример — портрет Евгения Онегина в книге на полке.

Является ли свойство необходимого существования предикатом (вспоминаем Канта)? Да, и оно высказывает суждение об объекте. Является ли оно позитивным свойством? Разумеется! Должен ли, значит, обладать этим свойством бог по Гёделю? Да, это следует из определения Гёделя.

Объект: бог в смысле Гёделевского определения. Это то, что обладает всеми позитивными качествами. Может ли бог обладать непозитивным качеством? Нет, поскольку согласно третьей аксиоме, если каждое непозитивное качество является отрицанием позитивного. Может ли он обладать качеством, которое не является ни позитивным, ни непозитивным? Видимо, нет. Бог не может быть «красным» поскольку тогда он «не зеленый», а свойства быть красными или зеленым абсолютно равнозначны. Бог не может обладать положительным электрическим зарядом, поскольку это ничем не лучше и не хуже, чем обладать отрицательным. Эти свойства не являются ни позитивными, ни непозитивными. Они случайны. Объект «элементарная частица» может быть заряженной положительно, отрицательно, или иметь нулевой заряд. Часть ее сущности — обладание самим качеством «электрического заряда». Какой именно заряд экземплифицирован в рассматриваемой нами частице — дело случая, смотря какую частицу мы изучаем, скажем, электрон или позитрон. Другой пример — пресловутый корпускулярно-волновой дуализм квантовой механики. Обладает ли электрон качествами частицы? Да, в некоторых ситуациях. Обладает ли он свойствами волны? Да, в некоторых ситуациях! Является ли любое из этих качеств позитивным? Разумеется, нет! Какое свойство является тут позитивным? Это самое свойство «корпускулярно-волнового дуализма», а именно, свойство обуславливающее возможность проявлять как те, так и другие качества.

Вот теперь уже становится понятным, что божественность предопределяет все качества бога, то есть является его сущностью.

И наконец, последний шаг доказательства Гёделя:
Нетрудно видеть, что для любого позитивного качества возможно существование объекта, который этим качеством обладает:

• P(φ) → ◊ ∃  x φ(x)

Действительно, если бы такой объект был бы невозможен, то свойство φ подразумевало бы любые другие, а значит не могло бы быть позитивным. Иными словами, любое позитивное качество экземплифицировано в объекте в каком-то из возможных миров. Как мы уже сказали, необходимое существование является позитивным качеством (это аксиома А5). Значит, в каком-то возможном мире существет объект, обладающий качеством необходимого существования. Значит, он существует и во всех мирах. В том числе и в нашем.

В следующем, надеюсь, последнем тексте на эту тему я просто сформулирую еще раз докательство Гёделя в его более современной нотации.

И снова, как и предыдущие тексты про Гёделя (первый, второй) этот текст еще будет правиться, а возможно (если я найду в нем существенные ошибки) будет удален совсем. Имейте это в виду, если кому-то захочется его прокомментировать. 

Лекция №4

1 .ОНТОЛОГИЯ. УЧЕНИЕ О СУЩНОСТИ.

Онтология, как составная часть метафизики, создана Аристотелем, который развивает учение о сущности. Разработано два варианта учения о сущности – в «Метафизике» и в «Категориях». Учение Аристотеля об онтологии – не история философии. Подход Аристотеля сохранил свое значение и для настоящего времени. Аристотелевский подход является наиболее жизненным, оправдывающимся в истории развития науки.

Рассматривая категории, предложенные Аристотелем, мы будем широко использовать их для анализа формализм, основанный на языке тернарного описания (ЯТО). Зачем? Дело в том, что работы Аристотеля очень трудные. Это записи студентов. Подготовить «Метафизику» к публикации Аристотель не успел – нужно было срочно покидать Афины. Мысли выражены на древнегреческом языке, их перевод на русский – крайне трудная задача. Не всегда находится нужный термин, например, «находиться в подлежащем». Находиться в комнате, в ОГУ – это понятно, но как «находиться в подлежащем»? Если есть формальный аппарат, то можно осуществить формализацию – использовать специальный формальный язык в качеств языка-посредника. В этом языке мы: 1) выразим мысли Аристотеля и 2) обнаружим формальную возможность выразить другие мысли. Существует возможность найти какой-то вариант, какую-то точку зрения, упущенную в содержательном анализе.

Категория сущности – это первая категория, рассмотренная Аристотелем в «Категориях». Вообще говоря, Аристотель выделяет 10 категорий: сущее, количество, соотнесенное, качество, действие или претерпевание, положение, пространство, время и обладание.

Сущее Аристотель делит на четыре типа. Два относятся к усии: 1-ая сущность и 2-ая сущность. Сущность это все то, что имеет самостоятельное существование. Самостоятельное существование – это то, что не находится ни в каком подлежащем. Что значит «находиться в подлежащем?» Это то, что не будучи частью чего-либо, не может существовать без этого. Например, разные качества предметов. Белизна находится в Сократе, не будучи его частью. Белизна сама по себе не существует, а толкло в снеге, Сократе или в других субстанциях.

Но белизна не есть часть ни Сократа, ни снега, ни белой одежды. Сердце Сократа – это его часть. Различие между частью и качеством предметов можно выразить в виде формул на языке тернарного описания (ЯТО). Аристотелевское понятие «находиться в подлежащем» выразим с помощью понятия «интернал», имеющего в ЯТО следующую экспликацию:

( i A ) Интернал [( i i a ) a ] = df ( i A ){ [( i i a ) a ] j {[( a *) i A ] • [( a *) a ]}}                   (1)

Формула [( i i a ) a ] показывает, что речь идет об интернале именно вещи. В дефиниенсе говорится о том, что эта вещь тождественна связному списку свойства i A и еще какого-то свойства a .

Белизна, ум, теплота – это интерналы Сократа. Сократа можно представить в виде совокупности этих свойств. Например, Сократ есть белизна + еще что-то.

Отношение «часть» / «интернат» выразится так:

( i A ) Интернат [( i i a ) a ] = df ( i A ){ [( i i a ) a ] j {[( i A ) a ]

•

[( a ) a ]}}                       (2)

В отличие от формулы (1) интернат ( i A ) представлен не как свойство, а как вещь, наделенная каким-то свойством : [( i A ) a ]. Вместе с какой-то другой вещью, выраженной как [( a ) a ], она даст нам нечто, с чем отождествляется анализируемый объект [( i i a ) a ].

Любая вещь может быть разложена на части двумя (по крайней мере) способами: 1) на части – интернаты; и на 2) на качественные элементы – интерналы. В чем отличие этих типов анализа?

Части или, в общем смысле, интернаты могут существовать отдельно, например, корни, ствол, ветви части дерева и в качестве таковых мы всегда можем их определить и отделить от других частей. Могут ли существовать отдельно качества? Например, умение читать и писать? Нет, оно не существует отдельно, оно находится в душе умеющего читать и писать. Аристотель так пишет: «В самом деле, определенное …умение читать и писать находится в подлежащем – в душе» (1 а 25). Другой пример, – цвет, который находится в теле и отдельно от тела существовать не может. Цвет так же находится в некотором подлежащем.

Кроме «нахождения в подлежащем» Аристотель в классификации типов бытия использует также понятие «сказываться о подлежащем». Сказывается о подлежащем все то, что может быть приписано ему в качестве свойства. Иными словами, – это все то, что может быть сказуемым для какого-нибудь подлежащего:

( i A ) Сказываться о подлежащем i i a = df ( i i a *) i A                                (3)

Эти два признака – «находиться в подлежащем» и «сказываться о подлежащем» Аристотель комбинирует друг с другом. 1-я сущность обладает, следующей комбинацией: «не находится ни в каком подлежащем» и «не сказывается ни о каком подлежащем». 1-я сущность может существовать самостоятельно. Однако, Аристотель упустил одну возможность: 1-я сущность может сказываться о самой себе. 1-я сущность не находился ни в каком подлежащем и сказывается только о самой себе.

2-е сущности – существуют в отдельности, т.е. не находятся ни в каком подлежащем, но могут сказываться о других объектах. 2-е сущности – это не отдельные предметы, которые могут указываться посредством знаков или имен, а сущности, которые по отношению к предметам будут их родами или видами.

Имеет место существенное различие в трактовке сущностей в «Категориях» и в «Метафизике». В последней вообще нет деления сущностей на первые и вторые. И это связано с отходом от платонизма, который проявляется в «Категориях». В самом деле, здесь вторые сущности как и первые не находятся ни в каком подлежащем. В нашей терминологии они не являются интерналам никаких предметов.

В вишне есть сладость, а плода нет. «Плод» – есть вторая сущность. Это – род, который должен существовать помимо вишни, т.е. получается, что общее существует вне единичного. «Плод» – это «идея». Это платонизм. В «Метафизике» появляются овеществленные качества ( то ти эн эйнай) , которые находятся в отдельных предметах. И это отход от платонизма. Все это свидетельствует о том, что «Категории», по-видимому, – более раннее приведение Аристотеля и делает понятным, почему в «Категориях» нет ссылок на другие работы Стагирита.

Но вернемся к «Категориям» Здесь наряду с первой и второй сущностью выделяется также 3-й и 4-й тип существования.

3-я и 4-я сущности – это уже не сущности, а сущее. Они отличаются от сущностей тем, что находятся в каком-то подлежащем. Способность читать и писать находится в душе, т.е. в подлежащем. Это может быть качество определенных предметов, например, конкретное умение читать и писать, которыми обладает данный конкретный человек.

Это может быть данная, конкретная разновидность белизны, которой обладает Сократ. Третий тип существования отличается от первых сущностей тем, что находится в подлежащем. Но в другом плане он подобен первым сущностям, а именно третий тип сущностей не сказывается о чем-либо ином. У каждого конкретного человека конкретное умение читать и писать и иметь свой цвет. Поэтому то, как Сократ умеет читать и писать, может сказываться только о себе самом. Цвет Сократа может принадлежать только Сократу. Таким образом, 3-й тип существования находится в каком-то подлежащем и сказывается только о самом себе.

4-й тип существования обладает следующим набором признаков: 1) она находится в некотором подлежащем и 2) сказывается о некотором подлежащем. Например, умение читать и писать вообще обнаруживается не в отдельном конкретном объекте, а может обнаружиться в целом ряде или классе объектов. Цвет вообще может сказываться об отдельных цветах.

Рассмотрим таблицу распределения признаков у сущностей :

Аристотель считает, что вопрос о сущности – самая древняя проблем, которая постоянно ставится. «Вопрос, который издревле ставился и ныне постоянно ставится и доставляет затруднения, – вопрос о том, что такое сущее, – это вопрос о том, что такое сущность.» (Аристотель. Метафизика. 1028 в 5).

С помощью ЯТО можно выразить формально все четыре категории сущего по Аристотелю. Для этого нужно выразить в НТО то содержание, которое заключается в двух признаках сущности, а именно, «находиться в подлежащем» и «не находиться в каком-то подлежащем», «сказываться о чем-то » и» не сказываться «.

Выше мы уже определили два из этих четырех свойств: «находиться в каком-то подлежащем» (формула (1)) и «сказываться о каком-либо подлежащем» (формула (3)).

«Не находиться ни в каком подлежащем» представляет собой отрицание дефиниенса формулы (1). Это отрицание выражается символом N (от немец. Nicht – ничто), противоположного по своему значению утвердительному символу S (от немецкого Sein – бытие).

( i A ) Ни в чем не находиться = df ( i A ){ ( [( i i a ) a ] j {[( a *) i A ] • [( a *) a ]} ) N }              (4)

Здесь отрицается тот факт, что какая-то вещь [( i i a ) a ] тождественна i A , взятому в качестве свойства с добавлением каких-то еще свойств.

Другое отрицательное свойство — «не сказываться ни о чем» мы уточним так : «сказываться только о самом себе». Выразим это следующим образом:

( i A ) Сказывается только о самом себе = df ( i A ){( i i a *) i A ® i A j i i a }                     (5)

Здесь в фигурных скобках выражена мысль: если i A приписывается какой-либо вещи в качестве свойства, то i A тождественна этой вещи.

Полное определение первой сущности получим, соединив свойство, выраженное формулой (4) со свойством, выраженным формулой (5) :

( i A ) Первая сущность = df ( i A ){ { ( [( a ) a ] j {[( a *) i A ] • [( a *) a ]} )N } • { ( ( i i a *) i A ® i A j i i a ) S } }      (6)

При определении второй сущности первый компонент определения (6) , выражающий то, что вторая сущность «не находится ни в каком подлежащем», остается без изменения. Второй же компонент должен быть заменен на ( ( i A ? *) i A ) S . Здесь символ i A ? обозначает объект, отличный от i A . Таким образом получаем определение второй сущности:

( i A ) Вторая сущность = df ( i A ){ { ( [( a ) a ] j {[( a *) i A ] • [( a *) a ]} )N }• { ( ( i A ? *) i A ) S } }                       (7)

Определяя третий и четвертый тип сущего мы заменяем первый компонент дефиниенсов определений первой и второй сущности на ему противоположный. Противоположность выразим заменой символа небытия N символом бытия S .Таким образом, получим следующие определения :

( i A ) Третий тип сущего = df ( i A ){ { ( [( a ) a ] j {[( a *) i A ] • [( a *) a ]} ) S } • { ( ( i i a *) i A ® i A j i i a ) S } }      (8)

( i A ) Четвертый тип сущего = df ( i A ){ { ( [( a ) a ] j {[( a *) i A ] • [( a *) a ]} ) S }• { ( ( i A ? *) i A ) S } }                 (9)

Заметим, что без символа S в этих определениях можно обойтись. Его нет необходимости ставить после дефиниенса в целом. Это связано с тем, что в определении дефиниенс и дефиниендум являются равновалентными. Поскольку предполагается истинность дефиниендума, дефиниенс так же должен рассматриваться как истинный. Но истинность (бытийностъ) дефиниенса в целом означает истинность каждого его компонента. Таким образом, вместо (8) и (9) мы могли бы иметь более простые выражения:

( i A ) Третий тип сущего = df ( i A ){ { [( a ) a ] j {[( a *) i A ] • [( a *) a ]}• {( i i a *) i A ® i A j i i a } }                     (10-1)

( i A ) Четвертый тип сущего = df ( i A ){ { [( a ) a ] j {[( a *) i A ] • [( a *) a ]}• {( i A ? *) i A } }                            (10-2)

Определив все типы сущего, рассмотрим некоторые особенности их понимания Аристотелем: «Главная особенность сущности, – говорит Аристотель, – это, надо полагать, то, что, будучи, тождественной и одной по числу, она способна принимать противоположности; так, отдельный человек, будучи единым и одним и тем же, иногда бывает бледным, иногда смуглым, а так же теплым и холодным, плохим и хорошим». (4 а 10 – 20). Сущности, принимая противоположности, меняются сами. (4 а 30).

«О сущности же говорится как о способной принимать противоположности потому, что она сама их принимает: она принимает болезнь и здоровье, бледность и смуглость; поскольку она сама принимает каждую из таких противоположностей, о ней говорится как о способной принимать их.» (4 в 10 — 15).

Однако, самой сущности, по Аристотелю, ничто не противоположно. «Сущностям свойственно и то, что им ничего не противоположно; в самом деле, что могло бы быть противоположно первой сущности, например отдельному человеку или отдельному живому существу? Ничто им не противоположно.» (З в 25).

Первая сущность не имеет степени. «Сущность, надо полагать, не допускает большей или меньшей степени… о каждой сущности, как таковой, не говорится как о сущности в большей или в меньшей степени. Так, например, если эта вот сущность есть человек, то не будет человеком в большей или в меньшей мере ни он сам по отношению к себе, ни один по отношению к другому. Ведь один человек не в большей мере человек, чек другой… Сущность же никак не называется сущностью в большей или в меньшей мере» (З в 35 ; 4 а 5).

Сущностям Аристотель приписывает свойство определенности: «Всякая сущность, надо полагать, означает определенное нечто. Что касается первых сущностей, то бесспорно истинно, что каждая из них означает определенное нечто. То, что она выражает, есть нечто единичное и одно по числу» (З в 10).

Если первые сущности не могут быть в большей или меньшей степени сущностями, то вторые сущности утрачивают это качество. Аристотель пишет об этом так: «Из вторых сущностей вид в большей мере сущность, чем род, ибо он ближе к первой сущности. В самой деле, если станут объяснять, что такое первая сущность, то ее объяснят доступнее и более подходяще, указывая вид, чем указывая род; так, указывая отдельного человека, укажут понятнее, что он человек, нежели указывая, что он живое существо (2 в 7- 13).

В чем разница между видом и родом? По Аристотелю, вид непосредственно сказывается о первых сущностях, как, например, человек сказывается о Сократе. Род же сказывается о видах, вид есть подлежащее для рода. Живое существо будет родом, т.к. оно сказывается о видах, таких как «человек», «лошадь», «корова».

Однако, это различение сугубо относительное. Ведь, как говорит Аристотель, и род может сказываться о первых сущностях: «отдельный человек есть и человек и живое существо» (2а 25). Значит, род оказывается видом. С другой стороны, вид «человек» может рассматриваться как род, поскольку он может сказываться не только об индивидуумах, таких как Сократ, но и о видах: «афинянин», «спартанец», «египтянин» и т.д.

Поэтому, различение рода и вида исчезло уже в традиционной, аристотелевской логике, где используется термины «родовое понятие» безразлично как для рода, так и для вида. Отголосок деления вторых сущностей на роды и виды имеет место в теории определений. Здесь виду соответствует понятие «ближайшего рода» ( genus proximum ) как такого понятия, которое по своему объему будет ближайшим к объему определяемого понятия.

В заключение разбора аристотелевского учения о четырех типах бытия отметим его значение для современной науки. Оно может быть положено в основу одного из вариантов классификация наук. Существуют такие науки, для которых главной задачей является изучение первых сущностей. Это история, география, геология, литературоведение. Конечно, и здесь не избежать вторых сущностей, однако их использование имеет вспомогательный характер, они нужны для более глубокого проникновения в первые сущности.

Такие науки как биология и химия прежде всего интересуются вторыми сущностями. Исследование первых сущностей здесь имеет вспомогательный характер.

Науки о первых и вторых сущностях в основном имеют эмпирический характер. Науки с развитым теоретическим аппаратом, образцом которых является математика и физика, изучают третий и четвертый типы сущего. Возьмем в качестве примера физический закон F = mа . Сила, масса и ускорение не существуют самостоятельно. Они находятся в определенных подлежащих – физических телах. Физические величины представляют собой сущее 4-го типа. Они сказываются о своих конкретных значениях. Сами же конкретные значения физических величин ни о чем не сказываются, кроме самих себя. Это сущее 3-го типа.