Каким свойством случайная величина не обладает
Цели:
1.
Формирование представление о случайной величине,
дискретных и непрерывных случайных величинах.
2.
Знакомство с законом распределения дискретной
случайной величины, функцией распределения и плотностью распределения
непрерывной случайной величины, числовых характеристиках случайных величин.
План:
1.
Виды случайных величин.
2.
Закон распределения дискретной случайной
величины.
3.
Функция распределения вероятностей случайной
величины.
4.
Плотность распределения вероятностей непрерывной
случайной величины.
5.
Математическое ожидание.
6.
Дисперсия
и среднеквадратическое отклонение.
1. Виды случайных величин.
Случайной величиной
называется такая величина, которая случайно принимает какое-то значение из
множества возможных значений.
Случайные величины обозначаются: X, Y, Z,…
Значения, которые они принимают: x,y,z.
По множеству возможных значений различают дискретные и
непрерывные случайные величины.
Дискретными
называются случайные величины,
значениями которых являются только отдельные точки числовой оси. (Число их
может быть как конечно, так и бесконечно).
Пример: Число
родившихся девочек среди ста новорожденных за последний месяц- это дискретная
случайная величина, которая может принимать значения 1,2,3,…
Непрерывными
называются случайные величины,
которые могут принимать все значения из некоторого числового промежутка.
Пример: Расстояние,
которое пролетит снаряд при выстреле- это непрерывная случайная величина,
значения которой принадлежат некоторому промежутку [а; в].
2. Закон распределения дискретной случайной
величины.
Дискретную случайную величину Х можно характеризовать
законом распределения .
Закон распределения
дискретной случайной величины— это соответствие между возможными значениями
случайной величины и их вероятностями.
Закон распределения можно задать таблично, аналитически,
графически.
При задании закона распределения таблично, в первую строку
таблицы вносятся возможные значения случайно величины, а во вторую- их
вероятности.
х | x1 | x2 | … | xn |
р | p1 | p2 | … | pn |
Пример:
Монету подбросили 3 раза. Запишите закон распределения числа выпадения «герба».
Возможные значения данной случайной
величины: 0, 1, 2, 3.
Найдем вероятность того, что «герб» не
появится (0 раз).
Найдем вероятность того, что «герб»
появится 1 раз.
Найдем вероятность того, что «герб»
появится 2 раза.
Найдем вероятность того, что «герб»
появится 3 раза.
Сделаем проверку:
Тогда закон распределения данной
дискретной случайной величины можно представить таблицей:
х | 1 | 2 | 3 | |
р | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Для наглядности закон распределения
дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в
прямоугольной системе координат строят точки с координатами (xi ; pi), а затем соединяют их
отрезками прямых. Полученная фигура называется многоугольником распределения.
Однако, такой способ задания
(перечисление всех возможных значений случайной величины и их вероятностей) не
подходит для непрерывных случайных величин. Составить перечень их возможных
значений невозможно.
3. Функция распределения вероятностей
случайной величины.
Дадим новый способ задания любых типов
случайных величин. С этой целью введем функцию распределения вероятностей
случайной величины.
Функцией
распределения случайной величины называют функцию F(x), определяющую
вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет
значение меньшее х, т.е. F(x)<P(X<x).
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) –есть вероятность того, что случайная
величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей
левее точки х.
Иногда вместо термина «функция распределения» используется
термин «интегральная функция».
Свойства функции
распределения:
Свойство 1: Значения функции распределения принадлежат
интервалу [0; 1]: .
Свойство 2:F(x)- неубывающая функция,
т.е. при .
Следствие 1: Вероятность того, что
случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а; b), равна приращению
функции распределения на этом интервале:
Пример:
Случайная величина Х задана функцией распределения:
Найдите вероятность того, что в
результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0; 2).
Решение:
Следствие 2:
Свойство 3: Если возможные значения случайной величины
принадлежат интервалу (a;
b), то F(x)=0 при (т.к. ; F(x)=1 при (т.к. — достоверное событие.
Следствие: Если возможные
значения непрерывной случайной величины распределены на всей числовой оси, то
справедливы следующие предельные соотношения:
Рассмотренные выше свойства позволяют представить,
как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины.
3.
График
расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (1 свойство).
4.
При возрастании значения х в интервале (a; b), в котором заключены
все возможные значения случайной
величины, график растет вверх (2 свойство).
5.
При ординаты графика равны 0, при ординаты графика равны 1 (3 свойство).
Замечание: График функции распределения дискретной
случайной величины имеет ступенчатый вид.
Пример: Дискретная
случайная величина Х задана таблицей распределения:
Найдите функцию распределения и постройте ее график.
Решение: Если , то F(x)=0 по 3 свойству. Если , то F(x)= P(X<4)=0,3 (левее 4
существует только одно значение, которое может принять случайная величина-1,
вероятность этого равна 0,3). Если , то F(x)= P(X<8)=0,3+0,1=0,4 (левее
8 существует два значения, которые может принять случайная величина-1 и 2, эти
события несовместны, вероятность наступления одного или второго вычисляется по
теореме умножения и равна 0,3+0,1=0,4).
Если х>8, то F(x)=1. Действительно,
событие Х < 8- достоверное,
следовательно, его вероятность равна 1.
Итак, функция распределения имеет следующий вид:
4. Плотность распределения вероятностей
непрерывной случайной величины.
Непрерывную случайную величину можно также задать,
используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью
вероятности (дифференциальной функцией).
Плотность
распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют
функцию f(x)- первую производную от
функции распределения F(x).
Теорема: Вероятность
того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее
интервалу (a;b), равна определенному интегралу от плотности
распределения, взятому в пределах от а до b.
Пример:
Задана плотность вероятностей случайной величины Х.
Найдите вероятность того, что в
результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).
Решение: .
Свойства
плотности распределения вероятностей:
Свойство 1: Плотность
распределения- неотрицательная функция: f(x) > 0.
Свойство 2: Несобственный интеграл
от плотности распределения в пределах от равен 1: .
Геометрический смысл этого свойства
заключается в следующем: площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ и
кривой распределения, равна 1. В частности, если все возможные значения
случайной величины принадлежат интервалу (a;b), то .
Часто, для того чтобы характеризовать
случайную величину используют числа, которые описывают случайную величину
суммарно. Такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины.
К числу важнейших числовых характеристик относятся математическое ожидание и
дисперсия.
5. Математическое ожидание.
Математическое ожидание приближенно равно
среднему значению случайной величины. Например, если известно, что
математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у
второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и
следовательно стреляет лучше.
Математическое
ожидание дискретной случайной величины Х- это величина , где xi- значения случайной
величины, pi- их вероятности, n- число возможных
значений случайной величины.
Пример:
Найдите математическое ожидание, зная закон распределения
дискретной случайной величины.
Решение:
М(Х)=
Математическое
ожидание непрерывной случайной величины Х – это величина, где f(x)- плотность распределения
вероятностей.
Пример:
Случайная величина Х задана своей плотностью распределения.
Найдите ее математическое ожидание.
Решение:
CСлучайные
величины Х и У называются независимыми, если закон распределении каждой из них
не зависит от того, какое возможное значение приняла другая случайная величина.
Свойства
математического ожидания.
Свойство 1: Математическое ожидание
постоянной величины равно этой величине. М(с)=с.
Свойство 2: Постоянный множитель
можно выносить за знак математического ожидания. М(сХ)=сМ(Х).
Свойство 3: Математическое ожидание
произведения двух независимых случайных величин равно произведению их
математических ожиданий.
Свойство 4: Математическое ожидание
алгебраической суммы двух случайных величин равно алгебраической сумме
математических ожиданий слагаемых.
Происхождение термина «математическое
ожидание» связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей, когда
область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало
среднее значение ожидаемого выигрыша или математическое ожидание выигрыша.
Пример:
Найдите математическое ожидание случайной величины Z=3Х-2У, если Х и У
заданы следующими законами распределения:
Х: У:
Решение:
М(Х)=1*0,4+2*0,6=1,6. М(У)=0*0,2+1*0,3+3*0,5=1,8.
М(Z)=3M(X)-2M(Y)=3*1,6-2*1,8=1,2.
6. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение.
Дисперсия показывает, как рассеяны
возможные значения случайной величины около ее математического ожидания.
Отклонением
случайной величины называют разность между случайной
величиной и ее математическим ожиданием.
Дисперсией
случайной величины Х называется математическое ожидание
квадрата отклонения Х от ее математического ожидания.
Теорема:
Дисперсия случайной величины равна разности между математическим
ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.
Если Х- дискретная случайная величина, то , где xi- значения случайной
величины, pi- их вероятности, n-число возможных
значений случайной величины.
Если Х- непрерывная случайная величина,
то, где f(x)- плотность
распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
Пример:
Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
Найдите дисперсию случайной величины
двумя способами и результаты сравните.
Решение:
1
способ: M(X)= 10,2+20,8=1,8
D(X)=(=(1-1,8*0,2+(2-1,8*0,8)2=0,16
2
способ: М(Х)=1,8; М(X2)==;
Пример:
Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения
вероятностей. Найдите дисперсию случайной величины двумя способами и результаты
сравните.
Решение:
1
способ: М(Х)=2/3; М(X2)=.
Тогда .
2 способ:
D(X)=
Свойства
дисперсии.
Свойство 1: Дисперсия постоянной
величины равна 0. D(X)=0.
Свойство 2: Постоянный множитель
можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат.
Свойство 3: Дисперсия суммы двух
независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. D(X+Y)=D(X)+D(Y).
Свойство 4: Дисперсия разности двух
независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. D(X-Y)=D(X)-D(Y).
Пример:
Дисперсии случайных величин X и
Y
равны соответственно 1 и 2. Найдите дисперсию случайной величины Z=4X-3Y.
Решение:
D(Z)=D(4X-3Y)=D(4X)+D(3Y)=16D(X)+9D(Y)=16*1+9*2=34.
Среднеквадратическим
отклонением случайной величины Х называется величина .
Пример:
Случайная величина Х задана законом распределения.
Найдите среднеквадратическое отклонение.
Решение:
М(Х)=2*0,1+3*0,4+10*0,5=6,4; М(X2)=4*0,1+9*0,4+100*0,5=54;
=54-6,42=54-40,96=13,04
.
Пример:
Случайная величина Х задана законом распределения.
Найдите математическое ожидание, дисперсию и
среднеквадратическое отклонение случайной величины.
Аннотация: Даются основные определения, рассматриваются гистограмма, полигон частот, непрерывное распределение и свойства основных характеристик случайной величины.
Основные определения и понятия
Расширением понятия случайных событий, состоящих в появлении некоторых числовых значений в результате эксперимента, является случайная величина Х.
Определение. Случайной называют величину, принимающую в результате эксперимента одно только значение из некоторой их совокупности и неизвестное заранее, какое именно.
Случайная величина, к примеру, представляет собой обоснованную модель описания геологических данных, учитывающую влияние различных факторов на физическое поле.
Как и результат отдельного эксперимента, точное значение случайной величины предсказать нельзя, можно лишь установить ее статистические закономерности, т.е. определить вероятности значений случайной величины. Например, измерения физических свойств горных пород являются наблюдениями соответствующих случайных величин.
Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться геологу, можно выделить два основных типа: величины дискретные и величины непрерывные.
Определение. Дискретной случайной величиной называется такая, которая может принимать конечное или бесконечное счетное множество значений.
В качестве типичных примеров дискретной случайной величины могут выступать все результаты полевых работ, все результаты экспериментов, привезенные c поля образцы и пр.
Всевозможные 
значений случайной величины образуют полную группу событий, т.е. 
, где — конечное или бесконечное. Поэтому можно говорить, что случайная величина обобщает понятие случайного события.
Пусть в результате исследований был получен следующий ряд данных по количественному составу некоторой породы: 4; 3; 1; 2; 5; 4; 2; 2; 3; 1; 5; 4; 3; 5; 5; 2; 5; 5; 6; 1. Всего было проведено 20 испытаний. Для того, чтобы с данными было удобно работать, их преобразовали: расположили полученные значения по возрастанию и подсчитали количество появления каждого из значений. В результате получили (Таблица 7.1):
| Значение | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Количество появлений | 3 | 4 | 3 | 3 | 6 | 1 |
Определение. Распределение данных по возрастанию называется ранжированием.
Определение. Наблюдаемое значение некоторого признака случайной величины называется вариантом.
Определение. Ряд, составленный из вариант, называется вариационным рядом.
Определение. Изменение некоторого признака случайной величины называется варьированным.
Определение. Число, показывающее сколько раз варьируется данная варианта, называется частотой и обозначается 
.
Определение. Вероятность появления данной варианты равно отношению частоты к общей сумме вариационного ряда
 | ( 1) |
С учетом введенных определений перепишем таблицу 7.1.
| Вариант | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Частота | 3 | 4 | 3 | 3 | 6 | 1 |
| Вероятность | 3/20 | 4/20 | 3/20 | 3/20 | 6/20 | 1/20 |
При статистическом анализе экспериментальных данных главным образом используется дискретные величины. В таблице 7.3 приведены основные числовые характеристики этих величин, имеющих важное практическое значение при обработке экспериментальных данных.
В таблице п. 8 – 12 используются для статистической обработки вариационных рядов. Об их использовании будет материал немного дальше.
В заключении заметим, что, если результат эксперимента описывается двумя и более случайными величинами, то говорят о системе случайных величин. К системе случайных величин, например, могут быть отнесены физические свойства образцов горных пород, характеристики аномальнообразующих тел, наблюдений различных полей, характеристики месторождений и т.д.
Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х
? Пример 2.5. Дан ряд распределения случайной величины
Найти и изобразить графически ее функцию распределения. Решение. В соответствии с определением
F(jc) = 0 при х х
F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 при 4 F{x) = 0,5 + 0,5 = 1 при х > 5.
Итак (см. рис. 2.1):
Рис. 2.1
Свойства функции распределения:
1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:
2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси, т.е. при х2>х
3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности — равна единице, т.е.
4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал [x,,x2) (включая х) равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.
? Пример 2.6. Функция распределения случайной величины X имеет вид:
Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале [ 1 ;3).
Решение. По формуле (2.7)
Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.
Для непрерывной случайной величины X вероятность любого отдельно взятого значения равна нулю, т.е. Р(Х = q)=0, а вероятность попадания X в интервал (q, Х2) не зависит от того, является ли этот интервал открытым или закрытым (т.е., например, Р(х1X 2 ) = P{Xl2)).
Плотностью вероятности (плотностью распределения или просто плотностью) непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения
Плотность вероятности ф(х), как и функция распределения F(x), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин.
Г рафик плотности вероятности называется кривой распределения.
? Пример 2.7. По данным примера 2.6 найти плотность вероятности случайной величины X.
Решение. Плотность вероятности ф (jc) = F'(x), т. е.
Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:
1. Плотность вероятности — неотрицательная функция, т.е. ф(х)> 0.
2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a,b] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до b (см. рис. 2.2), т.е.
Рис. 2.2 Рис. 2.3
3. Функция распределения непрерывной случайной величины (см. рис. 2.3) может быть выражена через плотность вероятности по формуле:
F(x)= Jp (*)*. (2.10)
4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице:
Геометрически свойства / и 4 плотности вероятности означают, что ее график — кривая распределения — лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X) определяются по формулам:
(если интеграл абсолютно сходится); или
(если приведенные интегралы сходятся).
Наряду с отмеченными выше числовыми характеристиками для описания случайной величины используется понятие квантилей и процентных точек.
Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение xqслучайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т. е.
- 100q%-ou точкой называется квантиль X~q.
- ? Пример 2.8.
По данным примера 2.6 найти квантиль xqj и 30%-ную точку случайной величины X.
Решение. По определению (2.16) F(xot3)= 0,3, т. е.
X
~Y~ = 0,3, откуда квантиль х0 3 = 0,6. 30%-ная точка случайной величины X, или квантиль Х)_о,з =xoj» находится аналогично из уравнения ^ = 0,7 . откуда *,= 1,4. ?
Среди числовых характеристик случайной величины выделяют начальные v* и центральные р* моменты к-го порядка, определяемые для дискретных и непрерывных случайных величин по формулам:
