Каким свойством пространства обуславливается закон сохранения импульса
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 2 ноября 2017;
проверки требуют 17 правок.
Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) — закон, утверждающий, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю[1].
В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении системы в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии внешнего воздействия скорость изменения импульса определяется суммой приложенных сил.
Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной из фундаментальных симметрий, — однородностью пространства[2].
Закон сохранения импульса впервые был сформулирован Р. Декартом[3].
Вывод в механике Ньютона[править | править код]
Согласно второму закону Ньютона, для системы из N частиц выполняется соотношение
где — импульс системы:
— импульс материальной точки, а — равнодействующая всех сил, приложенных к частицам системы:
Здесь — сила (или сумма сил, если таковых несколько), действующая на n-ю частицу со стороны m-ой, а — равнодействующая всех внешних сил, приложенных к k-й частице.
Согласно третьему закону Ньютона, силы вида и равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть . Поэтому вторая сумма в правой части выражения для будет равна нулю, внутренние силы исключаются, и получаем, что производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему:
Для системы из N частиц, в которой сумма всех внешних сил равна нулю:
и тем более для системы, на частицы которой не действуют внешние силы
( для всех k от 1 до N), имеем
Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:
(постоянный вектор).
То есть суммарный импульс системы из N частиц является постоянной величиной. При N = 1 получаем выражение для случая одной частицы. Таким образом, следует вывод[1]:
Если векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется, то есть не меняется со временем.
Закон сохранения импульса выполняется не только для систем, на которые не действуют внешние силы, он справедлив и в тех случаях, когда сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю. То есть отсутствие внешних сил, действующих на систему, достаточно, но не необходимо для выполнения закона сохранения импульса.
Если проекция суммы внешних сил на какое-либо направление или координатную ось равна нулю, то в этом случае говорят о законе сохранения проекции импульса на данное направление или координатную ось.
Связь с однородностью пространства[править | править код]
Согласно теореме Нётер каждому закону сохранения ставится в соответствие некая симметрия уравнений, описывающих систему. В частности, закон сохранения импульса эквивалентен однородности пространства, то есть независимости всех законов, описывающих систему, от положения системы в пространстве. Простейший вывод этого утверждения основан на применении лагранжева подхода к описанию системы.
Вывод из закона сохранения энергии[править | править код]
Рассмотрим систему нескольких соударяющихся упругим образом (без превращения части механической энергии в другие формы) частиц с массами и скоростями до столкновений и после столкновений. Закон сохранения энергии имеет вид
Перейдём в систему отсчёта, равномерно и прямолинейно движущуюся со скоростью . Скорости частиц с точки зрения этой системы отсчёта будут до столкновений и после столкновений. Закон сохранения энергии с точки зрения этой системы имеет вид
или
Следовательно , откуда следует . Поскольку скорость произвольна, то последнее равенство будет справедливым только в случае выполнения закона сохранения импульса
[4]
Вывод из формализма Лагранжа[править | править код]
Рассмотрим функцию Лагранжа свободного тела зависящую от обобщённых координат обобщённых скоростей и времени . Здесь точка над обозначает дифференцирование по времени, Выберем для рассмотрения прямоугольную декартову систему координат, тогда для каждой -той частицы. Используя однородность пространства, мы можем дать всем радиус-векторам частиц одинаковое приращение, которое не будет влиять на уравнения движения: где В случае постоянства скорости функция Лагранжа изменится следующим образом:
,
где суммирование идет по всем частицам системы. Так как приращение не влияет на уравнения движения, вариация функции Лагранжа должна быть равной нулю: С учётом того, что вектор — произвольный, последнее требование выполняется при:
Воспользуемся уравнением Лагранжа
Это означает, что сумма, стоящая под знаком дифференциала, — постоянная величина для рассматриваемой системы. Сама сумма и есть суммарный импульс системы:
.
Учитывая, что лагранжиан свободной частицы имеет вид: нетрудно видеть, что последнее выражение совпадает с выражением в ньютоновом формализме:
Для релятивистской свободной частицы лагранжиан имеет несколько другую форму: что приводит к релятивистскому определению импульса
В настоящее время не существует каких-либо экспериментальных фактов, свидетельствующих о невыполнении закона сохранения импульса.
Закон сохранения импульса в квантовой механике[править | править код]
Закон сохранения импульса в изолированных системах выполняется и в квантовой механике[5][6]. В тех явлениях, когда проявляются корпускулярные свойства частиц, их импульс, как и в классической механике, равен , а когда проявляются волновые свойства частиц, их импульс равен , где — длина волны[7]. В квантовой механике закон сохранения импульса является следствием симметрии относительно сдвигов по координатам[8].
Закон сохранения импульса в теории относительности[править | править код]
Закон сохранения импульса выполняется и в теории относительности. Отличие от классической механики состоит лишь в том, что в теории относительности зависимость импульса от
скорости имеет вид
[9][6]
В общей теории относительности, аналогично ситуации с законом сохранения энергии, при переходе к искривлённому пространству-времени закон сохранения импульса, выражаемый пространственными компонентами соотношения для тензора энергии-импульса
где точка с запятой выражает ковариантную производную, приводит лишь к локально сохраняющимся величинам. Это связано с отсутствием глобальной однородности пространства в пространстве-времени общего вида.
Можно придумать такие определения импульса гравитационного поля, что глобальный закон сохранения импульса будет выполняться при движении во времени системы тел и полей, но все такие определения содержат элемент произвола, так как вводимый импульс гравитационного поля не может быть тензорной величиной при произвольных преобразованиях координат.
См. также[править | править код]
- Закон сохранения момента импульса
- Теорема о движении центра масс системы
- Теорема об изменении количества движения системы
Ссылки[править | править код]
- Опыт с шарами по демонстрации закона сохранения импульса (видео)
Литература[править | править код]
- Кузнецов Б. Г. Принципы классической физики. — М.: АН СССР, 1958. — 321 с.
- Фейнман Р. Ф. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 1 Современная наука о природе. Законы механики.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 440 с. — ISBN 5-354-00699-6.
- Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — 670 с.
- Готт В. С. Философские вопросы современной физики. — М.: Высшая школа, 1972. — 416 с.
- Ферми Э. Квантовая механика. — М.: Мир, 1968. — 367 с.
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 282. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
- ↑ Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — 4-е изд., испр. — М.: «Наука», 1988. — Т. I. Механика. — С. 26. — 215 с. — ISBN 5-02-013850-9.
- ↑ Готт, 1972, с. 222.
- ↑ Кузнецов, 1958, с. 135.
- ↑ Перкинс Д.[en] Введение в физику высоких энергий. — М., Мир, 1975. — c. 94
- ↑ 1 2 Широков, 1972, с. 276.
- ↑ Фейнман, 2004, с. 194.
- ↑ Ферми, 1968, с. 183.
- ↑ Фейнман, 2004, с. 193.
В предыдущих разделах рассмотрены три фундаментальных закона природы: закон сохранения импульса, момента импульса и энергии. Следует
понимать, что эти законы выполняются только в инерциальных системах отсчета.
В самом деле, при выводе этих законов мы пользовались вторым и третьим законами Ньютона, а они применимы только в инерциальных
системах. Напомним также, что импульс и момент импульса сохраняются в том случае, если система замкнутая (сумма всех внешних сил и
всех моментов сил равна нулю). Для сохранения же энергии тела условия замкнутости недостаточно – тело должно быть еще и адиабатически
изолированным (т.е. не участвовать в теплообмене).
Во всей истории развития физики законы сохранения оказались чуть ли не единственными законами, сохранившими свое значение при
замене одних теорий другими. Эти законы тесно связаны с основными свойствами пространства и времени.
равнозначность всех моментов времени (симметрия по отношению к сдвигу начала отсчета времени). Равнозначность следует понимать в
том смысле, что замена момента времени t1 на момент времени t2, без изменения значений
координат и скорости частиц, не изменяет механические свойства системы. Это означает то, что после указанной замены, координаты
и скорости частиц имеют в любой момент времени t2 + t такие же значения, какие имели
до замены, в момент времени t1 + t.
одинаковость свойств пространства во всех точках (симметрия по отношению к сдвигу начала координат). Одинаковость следует понимать
в том смысле, что параллельный перенос замкнутой системы из одного места пространства в другое, без изменения взаимного расположения
и скоростей частиц, не изменяет механические свойства системы.
одинаковость свойств пространства по всем направлениям (симметрия по отношению к повороту осей координат). Одинаковость следует
понимать в том смысле, что поворот замкнутой системы, как целого, не отражается на её механических свойствах.
Между законами типа основного уравнения динамики и законами сохранения имеется принципиальная разница. Законы динамики дают нам
представление о детальном ходе процесса. Так, если задана сила, действующая на материальную точку и начальные условия, то можно
найти закон движения, траекторию, величину и направление скорости в любой момент времени и т. п. Законы же сохранения не дают
нам прямых указаний на то, как должен идти тот или иной процесс. Они говорят лишь о том, какие процессы запрещены и потому в
природе не происходят.
Таким образом, законы сохранения проявляются как принципы запрета: любое явление, при котором не выполняется хотя бы один из
законов сохранения, запрещено, и в природе такие явления никогда не наблюдаются. Всякое явление, при котором не нарушается ни
один из законов сохранения, в принципе может происходить.
Рассмотрим следующий пример. Может ли покоящееся тело за счет внутренней энергии начать двигаться? Этот процесс не противоречит
закону сохранения энергии. Нужно лишь, чтобы возникающая кинетическая энергия точно равнялась убыли внутренней энергии.
На самом деле такой процесс никогда не происходит, ибо он противоречит закону сохранения импульса. Раз тело покоилось, то его
импульс был равен нулю. А если оно станет двигаться, то его импульс сам собой увеличится, что невозможно. Поэтому внутренняя
энергия тела не может превратиться в кинетическую, если тело не распадётся на части.
Если же допустить возможность распада этого тела на части, то запрет, налагаемый законом сохранения импульса, снимается. При этом
возникшие осколки могут двигаться так, чтобы их центр масс оставался в покое, – а только этого и требует закон сохранения импульса.
Итак, для того чтобы внутренняя энергия покоящегося тела могла превратиться в кинетическую, это тело должно распасться на части.
Если же есть еще один какой-либо закон, запрещающий распад этого тела на части, то его внутренняя энергия и масса покоя будут
постоянными величинами.
Фундаментальность законов сохранения заключается в их универсальности. Они справедливы при изучении любых физических
процессов (механических, тепловых, электромагнитных и др.). Они одинаково применимы в релятивистском и нерелятивистском движении,
в микромире, где справедливы квантовые представления, и в макромире, с его классическими представлениями.
Закон сохранения импульса
Закон сохранения импульса можно наблюдать повсюду. Он достаточно точно выполняется в реальных условиях, если пренебречь сопротивлением воздуха, силами трения и т.д. Примеры проявления этого закона:
- стрелок ощущает отдачу при выстреле из ружья;
- рыбак переходит с кормы на нос лодки, а лодка при этом движется в противоположную сторону;
- шары сталкиваются на бильярдном столе.
Однако, прежде чем говорить о законе сохранении импульса, рассмотрим понятие замкнутой системы.
Замкнутая система — система тел, на которую со стороны других тел не действуют внешние силы.
Формулировка закона сохранения импульса (ЗСИ)
Векторная сумма импульсов всех тел, входящих в замкнутую систему, остается постоянной при любых взаимодействиях этих тел между собой внутри системы.
Данный закон является следствием из второго и третьего законов Ньютона. Покажем это.
Возьмем замкнутую систему из двух взаимодействующих тел. Силы F1→ и F2→ — это силы взаимодействия между телами. Третий закон Ньютона гласит, что F2→=-F1→. Пусть тела взаимодействуют во течение времени t. Тогда импульсы сил одинаковы по модулю и противоположны по направлению, как и сами силы.
F2t→=-F1→t.
По второму закону Ньютона:
F1→t=m1v1’→-m1v1→; F2→t=m1v2’→-m1v2→
Здесь v1’→ и v2’→ — скорости тел в конце взаимодействия. Соответственно, скорости без штрихов обозначают эти величины в начальный момент взаимодействия.
Из записанного выше следует соотношение:
m1v1→+m2v2→=m1v1’→+m2v2’→
Это равенство — математическая форма записи закона сохранения импульса. Оно означает, что суммарный импульс системы в результате какого-то взаимодействия не изменился.
Проиллюстрируем закон сохранения импульса на примере соударения шаров разных масс. Один из шаров до удара покоился.
Как видим, после удара векторная сумма импульсов двух шаров равна первоначальному импульсу движущегося шара.
Важно! Закон сохранения выполняется и для проекций векторов на координатные оси.
Закон сохранения импульса позволяет решать задачи и находить скорости тел не зная значений действующих сил.
Рассмотрим снаряд, вылетающий из пушки.
В данном случае взаимодействующие тела — это снаряд и пушка. Сначала тела не движутся. При выстреле снаряд приобретает скорость v→ и летит вперед, а пушка откатывается назад со скоростью V→. Откатывание пушки называется отдачей от выстрела.
По закону сохранения импульса в проекции на ось OX можно записать:
mv-MV=0
V=mvM.
Реактивное движение
Реактивное движение также основано на принципе отдачи. Нагретые газы выбрасываются из сопла реактивного двигателя со скоростью u→. Пусть масса газов равна m, а масса ракеты после истечения газов — M. Рассматривая замкнутую систему «ракета-газы» и применяя к ней закон сохранения импульса, можно вычислить скорость ракеты V после истечения газов.
V=muM
Формула для пушки и снаряда не применима к ракете, так как дает лишь приблизительное представление о движении ракеты, На самом деле вся масса газов выходит из сопла не сразу, а постепенно.
Рассмотрим этот процесс подробнее. Пусть масса ракеты в момент времени t равна M, а сама ракета движется со скоростью v→. В течение малого промежутка времени ∆t из сопла ракеты выбрасывается порция газа с относительной скоростью u→. По истечении времени ∆t ракета будет двигаться со скоростью v+∆v, а масса ракеты станет равной M-∆M.
В момент t+∆t импульс ракеты равен:
M-∆M·v→+∆v→.
Импульс реактивных газов:
∆M·v→+u→.
По закону сохранения импульса:
Mv→=M-∆M·v→+∆v→+∆M·v→+u→.
Или
M∆v→=∆M·u→-∆M·∆v→.
Величиной ∆M·∆v→ можно пренебречь, так как ∆M намного меньше M.
Разделим последнее равенство на ∆t и перейдем к пределу ∆t→0.
M∆v→∆t=∆M·u→∆t (∆t→0)
Ma→=-μu→.
Здесь μ — расход топлива в единицу времени, а -μu→ — реактивная сила тяги. Направление этой силы совпадает с направлением движения ракеты.
Формула Ma→=-μu→ выражает второй закон Ньютона для тела переменной массы. В скалярном виде ее можно переписать так:
Ma=μu.
Конечная скорость ракеты определяется по формуле:
v=ulnM0M.
Это так называемая формула Циолковского, согласно которой конечная скорость ракеты может превышать скорость истечения газов из сопла двигателя. Правда, достижение такой скорости связано с определенными сложностями. Во-первых такими, как значительный расход топлива.
Для того, чтобы развить первую космическую скорость v=v1=7,9·103 мс при скорости истечения газов u=3·103 мс стартовая масса ракеты должна быть примерно в 14 раз больше конечной массы.
Современное ракетостроение развивается в направлении экономичных многоступенчатых ракет. Сброс отсеков с отработанным топливом позволяет значительно сократить массу ракеты и оптимизировать дальнейший расход топлива для ее разгона.
Сумма импульсов частиц, образующих систему, называется импульсом системы Р:
Полный импульс замкнутой системы не меняется с течением времени ни по величине, ни по направлению:
Данный закон сохранения импульса обусловлен однородностью пространства, т.е. одинаковостью свойств пространства во всех точках. Параллельный перенос замкнутой системы из одного места в другое без изменения конфигурации и скоростей частиц не изменяет механических свойств системы.
Что же может изменить импульс системы? Только внешние силы, потому что сумма внутренних сил, действующих на тела системы, всегда равна нулю из-за действия третьего закона Ньютона, потому что внутренние силы всегда возникают попарно:
Читается формула так: производная по времени от суммарного импульса системы равна сумме внешних сил, действующих на тела системы.
Важно отметить, что применимость закона сохранения импульса не ограничивается только замкнутыми системами:
- 1) импульс остается постоянным и для незамкнутой системы, если внешние силы в сумме дают все время нуль;
- 2) например, если тела движутся по гладкой горизонтальной поверхности, то силы тяжести и силы реакции со стороны поверхности, действующие на эти тела и являющиеся внешними, все время равны и противоположны;
- 3) если сумма проекций внешних сил на какое-либо направление (например, на ось X) равна нулю в любой момент времени, то проекция импульса на это направление остается постоянной, хотя проекции импульса на другие направления могут при этом изменяться;
- 4) при кратковременном воздействии внешних сил изменение импульса системы может оказаться столь малым, что им можно пренебречь по сравнению с уже имеющимся у системы импульсом. В этом случае могут сохраняться все три проекции импульса системы, как и для замкнутой системы.
Сначала дадим определения ряду необходимых понятий.
Моментом силы относительно точки О называется векторное произведение радиус-вектора из этой точки в точку приложения силы и вектора силы:
Радиус-вектором называется вектор, проведенный из начала координат в данную точку. Величина вектора N определяется, как и для любого векторного произведения, выражением
где а — угол между векторами г и F.
Направление вектора N определяется также в соответствии с определением векторного произведения, т.е. по правилу правого буравчика: расположив рукоятку буравчика вдоль направления первого вектора в произведении (в данном случае вдоль г), вращаем ее по кратчайшему направлению до совмещения с направлением второго вектора (F). Куда при этом будет поступательно двигаться правый буравчик, туда и направляем вектор N. Пусть, например, на рис. 13 векторы г и F лежат в плоскости листа. Тогда вектор N перпендикулярен к поверхности листа и направлен за него, т.е. входит в лист, что отмечено знаком ®. Длина I перпендикуляра из точки на прямую вдоль действия силы называется плечом силы относительно точки: I = г sin а.
Рис. 13
Проекция вектора N на некоторую ось Z, проходящую через точку О, относительно которой определен N, называется моментом силы относительно этой оси:
На рис. 13 Nz = 0, так как вектор N направлен перпендикулярно к оси Z.
Аналогично определяется и момент импульса.
Для одной материальной точки моментом импульса относительно точки 0 называется вектор
Моментом импульса материальной точки относительно оси называется проекция вектора L на эту ось:
Моментом импульса системы материальных точек относительно какой-либо точки (или оси) называется сумма моментов импульсов относительно этой точки (или оси) всех материальных точек системы:
Рис 14
Можно показать, что момент импульса системы могут изменить только моменты внешних сил. Действительно, рассмотрим две точки системы на рис. 14. Внутренние силы между ними действуют вдоль одной прямой, поэтому их моменты относительно произвольной точки О равны по величине и противоположны по направлению. Следовательно, моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц (в частности, и для твердого тела) всегда равна нулю. Можно записать:
Производная по времени момента импульса системы относительно какой-либо точки (или оси) равна сумме моментов относительно той же точки (или оси) всех внешних сил, действующих на точки системы.
Выражение (2.10) и приведенную формулировку часто называют законом изменения момента импульса или уравнением моментов.
Если система замкнута, то dL/dt = 0 и
Момент импульса замкнутой системы не изменяется с течением времени. Это и есть закон сохранения момента импульса.
Важно отметить, что величина момента импульса системы относительно разных точек (или осей) может быть различной. Но если мы выбрали любую произвольную точку и относительно нее подсчитали момент импульса системы, то эта величина для замкнутой системы со временем меняться не будет. В качестве примера действия закона сохранения момента импульса можно привести изменение скорости вращения фигуриста при сведении или разведении рук.
Закон сохранения момента импульса обусловлен изотропией пространства, что означает одинаковость свойств пространства по всем направлениям. Поворот замкнутой системы частиц без изменения их взаимного расположения и относительных скоростей не изменяет механических свойств системы.