Каким свойством обладают высоты одного треугольника

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 14 апреля 2020;
проверки требуют 6 правок.

Высота в треугольниках различного типа

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону).
В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.

Свойства[править | править код]

Свойства ортоцентра[править | править код]

Все 3 высоты треугольника пересекаются в 1 точке, называемой ортоцентром. Доказательства ниже.
Ортоцентр изогонально сопряжен центру описанной окружности.
Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Последний треугольник называют дополнительным треугольником по отношению к первому треугольнику.
Последнее свойство можно сформулировать так: Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром дополнительного треугольника.
Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
Если О — центр описанной окружности ΔABC, то ,
Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
Любой отрезок, проведенный из ортоцентра до пересечения с описанной окружностью всегда делится окружностью Эйлера пополам. Ортоцентр есть центр гомотетии этих двух окружностей.
Теорема Гамильтона. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.
Следствия теоремы Гамильтона:
- Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона, имеющих равные радиусы описанных окружностей.
- Радиусы описанных окружностей трёх треугольников Гамильтона равны радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника; в тупоугольном — вне треугольника; в прямоугольном — в вершине прямого угла.

Свойства высот равнобедренного треугольника[править | править код]

Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья высота одновременно является медианой и биссектрисой того угла, из которого она выходит.
Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две высоты равны, а третья высота одновременно является медианой и биссектрисой.
У равностороннего треугольника все три высоты равны.

Свойства оснований высот треугольника[править | править код]

Основания высот образуют так называемый ортотреугольник, обладающий собственными свойствами.
Описанная около ортотреугольника окружность — окружность Эйлера. На этой окружности также лежат три середины сторон треугольника и три середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника.
Другая формулировка последнего свойства:
- Теорема Эйлера для окружности девяти точек. Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его внутренних медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (на окружности девяти точек).
Теорема. В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.
Теорема. В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащие на двух сторонах, антипараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины третьей упомянутой стороны всегда можно провести окружность.
В 1860 году Шлёмильх доказал теорему: три прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами его соответствующих высот, пересекаются в одной точке. В 1937 году советский математик С. И. Зетель показал, что эта теорема верна не только для высот, но и для любых других чевиан.

Другие свойства[править | править код]

Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его внутренняя биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
Высота треугольника изогонально сопряжена диаметру (радиусу) описанной окружности, проведенному из той же самой вершины.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Свойства минимальной из высот[править | править код]

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.
Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

Читайте также: Какие свойства у селена

Соотношения[править | править код]

где — основание, — боковая сторона.

Теорема о высоте прямоугольного треугольника[править | править код]

Если высота в прямоугольном треугольнике длиной , проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной на отрезки и , соответствующие катетам и , то верны следующие равенства:

Теорема о проекциях[править | править код]

См. с. 51, ф. (1.11-4)[1].
Теорема о проекциях: . Из теоремы о проекциях следует то, что высота, опущенная, например, из вершины , делит противоположную ей сторону на две части и , считая от вершины к .

Мнемоническое стихотворение[править | править код]

Высота похожа на кота,
Который выгнул спину
И под прямым углом
Соединил вершину
И сторону хвостом.[2]

История[править | править код]

Утверждение: «Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке», называемой теперь ортоцентром, в «Началах» Евклида отсутствует. Часть историков приписывает это утверждение Архимеду и называют его теоремой Архимеда[3]. Ортоцентр впервые в греческой математике использован в «Книге лемм» Архимеда, хотя явного доказательства существования ортоцентра Архимед не привёл. Тем не менее до середины девятнадцатого века, ортоцентр нередко называли архимедовой точкой[4]. Другие историки математики считают автором первого доказательства Уильяма Чеппла[en] (Miscellanea Curiosa Mathematica, 1749 год)[5].

Вариации по теме. Высоты в четырёхугольнике[править | править код]

Теорема[6]. Пусть — вписанный четырёхугольник, — основание перпендикуляра (высоты), опущенного из вершины на диагональ ; аналогично определяются точки . Тогда точки лежат на одной окружности.

Это утверждение — следствие леммы о шестой окружности.

Две составные части высоты: предвысота и поствысота [7][править | править код]

Три чевианы, проходящие через общую точку

На рис. справа в треугольнике ABC через точку O проведены 3 высоты: AD, BE и CF. Тогда точка O пересечения 3 высот разбивает каждую высоту на 2 отрезка прямых, один из них (который начинается в вершине, а заканчивается в точке пересечения O) мы назовем довысотой или предвысотой, а второй из них (который начинается в точке пересечения O, а заканчивается в точке его пересечения со стороной, противоположной вершине) мы назовем поствысотой.
Эти 2 термина введены по аналогии с операторами цикла с учетом их изображения на блок-схемах в информатике. Там есть понятия цикла соответственно с пред- и пост-условием в зависимости от того, стоит ли это условие перед или после тела цикла. У нас в роли тела цикла выступает точка O пересечения высот, а в роли условия – первый или второй конец отрезка, вводимого, как понятие для одной из двух частей высоты.
С помощью этих 2 понятий совсем просто формулируются некоторые теоремы геометрии.

Например, в любом треугольнике (в остро-, прямо-, и в тупоугольном) 3 произведения пред- и поствысоты совпадают. Для остро-и прямоугольного треугольников это утверждение легко доказываемое. Оно верно и для любого тупоугольного треугольника, что удивительно, поскольку в таком треугольнике 2 из 3 высот даже не лежат внутри самого треугольника.

Примечания[править | править код]

↑ Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — 832 с.
↑ Сафронова Вера Николаевна,. Урок геометрии в 7-м классе по теме: «Медиана, биссектриса, высота». Открытый урок. Издательский дом «Первое сентября». Дата обращения 19 июля 2017.
↑ Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902. С. 9, п. 16. Высоты треугольника. Теорема Архимеда.
↑ Maureen T. Carroll, Elyn Rykken. Geometry: The Line and the Circle. Дата обращения 10 апреля 2020.
↑ Bogomolny, Alexander, A Possibly First Proof of the Concurrence of Altitudes, <https://www.cut-the-knot.org/triangle/Chapple.shtml>. Проверено 17 ноября 2019.
↑ Вокруг задачи Архимеда. Упр. 7, рис. 11, следствие, c. 5.
↑ Стариков В.Н. 10-е исследование по геометрии (§ До- (пред-)- и пост-чевианы)// Научный рецензируемый электронный журнал МГАУ «Наука и образование». 2020. № 1. 7 с.// https://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/ 1604

Ссылки[править | править код]

Справочник: Треугольники

См. также[править | править код]

Ортоцентр

Источник

Содержание:

Свойства равнобедренного треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника.
Формулы равнобедренного треугольника:
- формулы длины стороны;
- формулы длины равных сторон;
- формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

АВ = ВС — боковые стороны

АС — основание

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

Дан Δ ABC.
Из точки В проведем высоту BD.
Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD. Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
В Δ ABD и Δ BCD ∠ BАD = ∠ BСD (из Теоремы 1).
АВ = ВС — боковые стороны равны.
Стороны АD = СD, т.к. точка D отрезок делит пополам.
Следовательно Δ ABD = ΔBCD.
Биссектриса, высота и медиана это один отрезок — BD

Вывод:

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Дано два Δ ABC и Δ A1B1C1. Стороны AB = A1B1; BC = B1C1; AC = A1C1.

Доказательство от противного.

Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
Пусть Δ A1B1C2 = Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Δ A1C1C2 и Δ B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

Признаки равнобедренного треугольника

Если в треугольнике два угла равны.
Сумма углов треугольника 180°.
Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

b — сторона (основание)
а — равные стороны
a — углы при основании
b — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания — b):

b = 2a sin( beta /2)= a sqrt { 2-2 cos beta }
b = 2a cos alpha

Формулы длины равных сторон — (а):

a=frac { b } { 2 sin(beta /2) } = frac { b } { sqrt { 2-2 cos beta } }
a=frac { b } { 2 cosalpha }

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

L — высота=биссектриса=медиана
b — сторона (основание)
а — равные стороны
a — углы при основании
b — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

L = a sina
L = frac { b } { 2 } *tgalpha
L = a sqrt { (1 + cos beta)/2 } =a cos (beta)/2)

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

L = sqrt { a^ { 2 } -b^ { 2 } /4 }

Площадь равнобедренного треугольника

b — сторона (основание)
а — равные стороны
h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

S=frac { 1 } { 2 } *bh

Смотри также:

Теорема о сумме углов треугольника
Формулы площади поверхности, основания, сечения призмы
Площадь поверхности куба, формулы и примеры
Основные формулы по математике
Справочные материалы ЕГЭ от ФИПИ по математике

Источник

Введение

По определению, прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором есть прямой угол (см. Рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольный треугольник ()

В прямоугольном треугольнике только один прямой угол. Если бы их было два, то тогда сумма этих двух углов уже была бы равна , а значит, на последний угол пришлось бы , чего в треугольнике быть не может (см. Рис. 2), т. к. по теореме о сумме углов треугольника .

Рис. 2. Не существует треугольника с двумя прямыми углами.

Так что можно говорить только о треугольнике, в котором один прямой угол. Вспомним, что стороны, заключающие прямой угол – катеты, а третья сторона – напротив прямого угла – гипотенуза (см. Рис. 3).

Рис. 3. Катеты и гипотенуза

Теперь вспомним, что такое «свойство». Когда объект нам уже известен и мы пытаемся найти его характеристики, то обнаруженные характеристики и являются свойствами данного объекта. Таким образом, нам будет дан треугольник с прямым углом, а мы будем из этого делать какие-то выводы.

Свойство 1 (о сумме двух острых углов)

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна (см. Рис. 4).

Рис. 4.

Разберемся, почему речь идет именно об острых углах. Рассмотрим (см. Рис. 5).

Рис. 5. Прямоугольный

Сумма всех трех углов треугольника . Как мы знаем, один из углов прямоугольного треугольника , значит, сумма оставшихся . Из этого следует, что они острые: раз их сумма равна , то каждый из них меньше . Получили, что , то есть свойство доказано.

Свойство 2 (когда прямоугольный треугольник является равнобедренным)

Если в прямоугольном треугольнике один из углов равен , то такой треугольник – равнобедренный.

Читайте также: Какие свойства у огурца

Доказательство. Пусть (см. Рис. 6).

Рис. 6. Прямоугольный треугольник с углом

Исходя из первого свойства, . Получаем, что . Тогда треугольник равнобедренный по признаку – углы при основании равны (см. Рис. 7). Значит, катеты равны .

Рис. 7. Углы при основании равны – треугольник равнобедренный

Свойство 3 (катет равен половине гипотенузы, если он лежит против угла )

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла , равен половине гипотенузы (см. Рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация свойства 3

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный . Пусть и . Нужно доказать, что (см. Рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к доказательству

Отразим зеркально относительно катета , полученную вершину назовем (см. Рис. 10).

Рис. 10. Отражение относительно катета

Раз треугольник полностью «скопирован», то , . Также заметим, что – высота и медиана образованного . Раз высота совпала с медианой, значит, – равнобедренный () (см. Рис. 11).

Рис. 11. – равнобедренный

Поскольку – равнобедренный, то . Получили, что в все углы равны, а значит, – равносторонний (см. Рис. 12).

Рис. 12. – равносторонний

Тогда , а, в свою очередь, , то есть , откуда . Что и требовалось доказать.

Свойство 4 (против катета лежит угол , если катет равен половине гипотенузы)

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол напротив этого катета равен .

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный . Пусть и . Нужно доказать, что (см. Рис. 13).

Рис. 13. Прямоугольный

Отразим зеркально относительно катета , полученную вершину назовем . Образовался (см. Рис. 14).

Рис. 14. Полученный

В известно, что , , значит, – равнобедренный. Кроме того, из третьего свойства известно, что . Значит, , а , отсюда . Тогда – равносторонний (см. Рис. 15).

Рис. 15. – равносторонний

Из этого следует, что , а тогда , т. к. – высота, медиана и биссектриса . Что и требовалось доказать.

Доказательство (медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине (см. Рис. 16).

Рис. 16. Иллюстрация к свойству прямоугольного треугольника

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный , – медиана. Нужно доказать, что . Удвоим отрезок – получим точку () (см. Рис. 17).

Рис. 17.

Соединим точку с точками и . Тогда несложно доказать, что равны по 1 признаку (соответствующие стороны попарно равны, а углы между сторонами равны как вертикальные) (см. Рис. 18).

Рис. 18. Равенство и, и равенство соответствующих элементов

Рассмотрим . .

Теперь рассмотрим и . (т. к. , – общая, – треугольники равны по первому признаку). Отсюда следует, что , тогда . Что и требовалось доказать.
Обратное тоже верно: если медиана в треугольнике равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник – прямоугольный.

Примеры

1. В прямоугольном : и . Найти угол (см. Рис. 19).

Рис. 19. Иллюстрация к примеру 1

Решение. По свойству сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , значит, .

Ответ: .

2. Один из углов прямоугольного () втрое меньше другого (). Найти острые углы треугольника и (см. Рис. 20).

Рис. 20. Иллюстрация к примеру 2

Решение. Ясно, что искомый угол – один из острых. Тогда он может быть меньше либо другого острого, либо меньше прямого, то есть нужно рассмотреть два варианта.

1. Вариант первый – острый угол втрое меньше прямого. Пусть искомый угол . Тогда . Значит, по свойству 1 .

2. Вариант второй – один острый угол втрое меньше другого острого угла. Пусть , тогда . По свойству 1 . Значит, , а тогда .

Ответ: 1. и ; 2. и .

3. В прямоугольном треугольнике катет см, . Найти катет (см. Рис. 21).

Рис. 21. Иллюстрация к примеру 3

Решение. По свойству , если , то тоже. Значит, – равнобедренный (см. Рис. 22), у которого см.

Рис. 22. – равнобедренный

Ответ: см.

4. В прямоугольном треугольнике () гипотенуза , а катет . Найти (см. Рис. 23).

Рис. 23. Иллюстрация к примеру 4

Решение

Заметим, что . По свойству 4 , т. к. лежит против катета, равного половине гипотенузы. Значит, по свойству .

Ответ: .

Заключение

На этом уроке мы познакомились с основными свойствами прямоугольных треугольников, мы перечислили их и доказали. Кроме того, были решены задачи с применением рассмотренных свойств.

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 7-9 классов. Атанасян Л.С. и др. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.

2. А.Г. Мерзляк. Геометрия 7 класс. – М.: Вентана-Граф, 2015. – 192 с.

3. А.Д. Александров, Геометрия 7 класс. – М.: Просвещение, 2013. – 176 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Инетрнет портал «Я Класс» (Источник)

2. Инетрнет портал «Kursoteka.ru» (Источник)

3. Инетрнет портал «Formula-xyz.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Катет, лежащий против угла в , равен см. Чему равна гипотенуза этого треугольника?

2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике к гипотенузе проведена медиана длиной см. Найдите гипотенузу.

3. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна см, один из острых углов треугольника равен . Найдите катет, лежащий против угла .

Источник