Каким свойством обладают стороны треугольника описанного около окружности

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1. Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Серединный перпендикуляр свойства

Рис.1

Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Серединный перпендикуляр свойства

Рис.2

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB. Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1). Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство. Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D.

Серединный перпендикуляр свойства

Рис.3

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB. Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Серединный перпендикуляр свойства

Рис.4

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE. Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2. Окружностью, описанной около треугольника, называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником.

Описанная около треугольника окружность треугольник вписанный в окружность

Рис.5

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Фигура	Рисунок	Свойство
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника		Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольника		Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности		Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности		Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности		Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусов		Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов): , где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности. Посмотреть доказательство
Площадь треугольника		Для любого треугольника справедливо равенство: S = 2R2 sin A sin B sin C , где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности. Посмотреть доказательство
Радиус описанной окружности		Для любого треугольника справедливо равенство: где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности. Посмотреть доказательство

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Посмотреть доказательство

Окружность, описанная около треугольника

Описанная около треугольника окружность треугольник вписанный в окружность

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Посмотреть доказательство

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Описанная около прямоугольного треугольника окружность

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Посмотреть доказательство

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Описанная около треугольника окружность центр радиус свойства

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Площадь треугольника

Формула площади треугольника через радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Радиус описанной окружности

Формула для радиуса описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3. Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Описанная около треугольника окружность серединный перпендикуляр свойства доказательства

Рис.6

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

CO = AO .

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

AO = BO .

Следовательно, справедливо равенство:

CO = BO ,

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство. Рассмотрим точку O, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

AO = OB = OC ,

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA, OB, OC проходит через все три вершины треугольника ABC, что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов). Для любого треугольника (рис. 7)

Теорема синусов

Рис.7

справедливы равенства:

Доказательство. Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R, на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Описанная около треугольника окружность серединный перпендикуляр свойства доказательства

Рис.8

Угол MPN, как угол,опирающийся на диаметр, является прямым угломугол,опирающийся на диаметр, является прямым углом, и равенство (1) вытекает из определения синуса угла прямоугольного треугольника.

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Теорема синусов доказана.

На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник

Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать ) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Свойства[править | править код]

Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если около n-угольника описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
Около любого правильного многоугольника (все углы и стороны равны) можно описать окружность, и притом только одну.
Вокруг каждого треугольника может быть описана единственная окружность.

Уравнения окружности[править | править код]

Уравнение описанной окружности можно выразить через декартовы координаты вершин вписанного в неё треугольника. Предположим, что

являются координатами вершин A, B и C. Тогда окружность — геометрическое место точек v = (vx,vy), в декартовой плоскости удовлетворяющих уравнениям

гарантирующих то, что вершины A, B, C, и v находятся на одном и том же расстоянии r от общего центра u окружности. Используя поляризационное тождество, эти уравнения можно свести к условию, что линейное отображение, задаваемое матрицей

имеет ненулевое ядро. Таким образом, описанная окружность может быть описана как множество нулей определителя этой матрицы:

Раскладывая этот определитель по первой строке и вводя обозначения

мы приводим уравнение окружности к виду a|v|2 − 2Sv − b = 0,
или, предполагая, что точки A, B, C не лежали на одной прямой (в противном случае окружность вырождается в прямую линию, которая также может рассматриваться как обобщённая окружность с центром S на бесконечности), |v − S/a|2 = b/a + |S|2/a2,
выражая центр окружности как S / а и её радиус как √(b/a + |S|2/a2). Сходный подход позволяет вывести уравнение сферы, описанной вокруг тетраэдра.

Параметрическое уравнение[править | править код]

Единичный вектор перпендикулярный к плоскости, содержащую круг даётся в виде

Следовательно, с учётом радиуса r с центром Pc, точка на окружности P0 единичная нормаль к плоскости, содержащей окружность: , однопараметрическое уравнение окружности с началом в точке P0 и ориентированной в положительном направлении (то есть дающее векторы для правила правой руки) в этом смысле имеет вид:

Трилинейные и барицентрические координаты окружности[править | править код]

Уравнение окружности в трилинейных координатах x : y : z есть[1]:p. 199a/x + b/y + c/z = 0. Уравнение окружности в барицентрических координатах есть x : y : z is a2/x + b2/y + c2/z = 0.
Изогональное сопряжение окружности есть бесконечно удалённая прямая, записываемая в трилинейных координатах в виде ax + by + cz = 0 и в барицентрических координатах в виде x + y + z = 0.

Координаты центра описанной окружности[править | править код]

Декартовы координаты центра[править | править код]

Декартовы координаты центра описанной окружности есть

где

Без ограничения общности это можно выразить в упрощённом виде после перевода вершины A в начало координат декартовой системы координат, то есть, когда
A′ = A − A = (A′x,A′y) = (0,0). В этом случае координаты вершин B′ = B − A и C′ = C − A представляют собой векторы из вершины A′ к этим вершинам.
Заметим, что этот тривиальный перевод возможен для всех треугольников и координат центра описанной окружности треугольника A′B′C′ в следующем виде:

где

Трилинейные координаты центра[править | править код]

Центр описанной окружности имеет трилинейные координаты[1]:p.19

cos α : cos β : cos γ,

где α, β, γ внутренние углы треугольника.
В терминах сторон треугольника a, b, c трилинейные координаты центра описанной окружности имеют вид[2]

Барицентрические координаты центра[править | править код]

Барицентрические координаты центра описанной окружности имеют вид

[3],

где a, b, c длины сторон (BC, CA, AB соответственно) треугольника.
В терминах углов треугольника барицентрические координаты центра описанной окружности имеют вид[2]

Вектор центра описанной окружности[править | править код]

Так как декартовы координаты любой точки являются средневзвешенным тех вершин, со своими весами, то барицентрические координаты точки нормируются в сумме единицей, тогда вектор центра описанной окружности, можно записать в виде

Здесь U есть вектор центра описанной окружности, A, B, C являются векторами вершин. Делитель здесь равен 16S 2, где S — площадь треугольника.

Для треугольника[править | править код]

Окружность, описанная около треугольника

Около треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров или медиатрис.

Углы[править | править код]

Равные углы у вписанного треугольника

На рисунке показаны равные углы у треугольника, вписанного в окружность.

Углы, образуемые описанной окружностью со сторонами треугольника, совпадают с углами, которые образуют стороны треугольника, соединяясь друг с другом в вершинах. Сторона, противоположная углу α, дважды касается окружности: один раз на каждом конце; в каждом случае под одинаковым углом α (см. рис.) (аналогично для двух других углов). Это связано с теоремой об отрезке круга, дополнительном данному (the alternate segment theorem,), в которой говорится, что угол между касательной и хордой равен вписанному в окружность углу, опирающемуся на эту хорду.

Треугольные центры на окружности, описанной около треугольника ABC[править | править код]

В этом параграфе вершины углов обозначены, как A, B, C и все координаты являются трилинейными координатами.
Следующие точки на окружности, описанной около треугольника ABC:

Точка Штейнера = bc / (b2 − c2) : ca / (c2 − a2) : ab / (a2 − b2) = невершинная точка пересечения описанной окружности с эллипсом Штейнера. (Эллипс Штейнера с центром, расположенном в центроиде треугольника ABC представляет собой эллипс с наименьшей площадью из всех, что проходят через вершины A, B и C. Уравнение эллипса Штейнера имеет вид: 1/(ax) + 1/(by) + 1/(cz) = 0.)
Точка Тарри (Tarry point) = sec (A + ω) : sec (B + ω) : sec (C + ω) = диметрально противоположная точке Штейнера
Фокус параболы Киперта (Kiepert parabola) = csc (B − C) : csc (C − A) : csc (A − B). (см. рис.)

Свойства вписанной параболы

Перспекторы вписанных в треугольник парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера[4]. Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр[5]. Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера.

Теорема Лестера[6]. В любом разностороннем треугольнике две точки Торричелли, центр девяти точек и центр описанной окружности лежат на одной окружности (окружности Лестера).

Свойства центра описанной окружности треугольника[править | править код]

У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.

Остроугольный
Тупоугольный
Прямоугольный

Обозначаем буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведём отрезки ОА, ОВ и ОС.
Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА = OB = ОС.
Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и,
значит, является описанной около треугольника ABC.

Центр описанной окружности изогонально сопряжен ортоцентру.
3 из 4 окружностей, описанных относительно серединных треугольников (образованных средними линиями треугольника), пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности основного треугольника.
Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника (называемого дополнительным треугольником).
Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
Математически последнее утверждение означает, что

расстояние от центра описанной окружности например до стороны треугольника равно:

расстояние от ортоцентра например до вершины треугольника равно:

Из последних трёх утверждений следует то, что сумма расстояний от ортоцентра остроугольного треугольника до трёх его вершин в два раза больше, чем сумма расстояний от центра описанной окружности до трёх его сторон, и равна . В тупоугольном треугольнике надо брать знак «-» в случае, если перпендикуляр из центра описанной окружности на сторону целиком лежит вне треугольника или если отрезок, проведённый из ортоцентра к вершине, целиком лежит вне треугольника. Остальные члены берутся со знаком «+».
Математически последнее утверждение (Формула Карно) означает, что[7]:

где — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон треугольника;
— расстояния от ортоцентра соответственно до вершин треугольника.

Радиус[править | править код]

Формулы радиуса описанной окружности

,
где:
— стороны треугольника,
— углы, лежащие против сторон соответственно,
— площадь треугольника.
— полупериметр треугольника, то есть .

Положение центра описанной окружности[править | править код]

Пусть радиус-векторы вершин треугольника,
— радиус-вектор центра описанной окружности. Тогда

где

При этом — длины сторон треугольника, противоположных вершинам .

Уравнение описанной окружности[править | править код]

Пусть
координаты вершин треугольника в некоторой декартовой системе координат на плоскости,
— координаты центра описанной окружности.
Тогда уравнение описанной окружности

Координаты центра описанной окружности могут быть вычислены

где

В явном виде координаты центра окружности определяются по формулам:

Теоремы, связанные с описанной окружностью[править | править код]

Теорема о трезубце или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если — точка пересечения биссектрисы угла с описанной окружностью треугольника , и — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны , тогда .
Теорема Мансиона. Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.
Теорема Мансиона (продолжение). Середина дуги описанной окружности треугольника , не содержащая вершину , равноудалена от вершин и , центра вписанной окружности и центра вневписанной окружности. Середина дуги описанной окружности треугольника , содержащая вершину , равноудалена от вершин и , и центров и вневписанных окружностей.
Окружностно-чевианным треугольником называют треугольник с вершинами во вторых точках пересечения трёх прямых, проведённых через вершины подерного треугольника и данную точку , с описанной окружностью.Теорема. Окружностно-чевианный треугольник подобен подерному (Доказательство в: https://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=108130).
Теорема Симсона: Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.
Согласно теореме Лестера центр девяти точек лежит на одной окружности (на окружности Лестера) вместе с тремя другими точками — двумя точками Торричелли и центром описанной окружности [6].
Прямая Эйлера проходит через: 1) Центроид треугольника, 2) Ортоцентр треугольника, 3) центр описанной окружности, 4) Центр окружности девяти точек и другие известные точки (см. Прямая Эйлера).

Связь описанной окружности со вписанной окружностью, с ортоцентром и другими точками[править | править код]

Или через стороны треугольника:

где — радиус описанной окружности (см. Окружность Фурмана).

Расстояние от центра O до ортоцентра H есть[9][10]:p. 449

Для центроида G и центра девяти точек N имеем:

Произведение радиусов описанной и вписанной окружностей треугольника связано со сторонами a, b и c в виде[11]: p. 189, #298(d):

Если медиана m, высота h и внутренняя биссектриса t выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса R, тогда[12]:p.122,#96

Центр описанной окружности изогонально сопряжён с ортоцентром.
Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[13].
В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности.

Теорема Тебо 3 утверждает (см. рис.):

Формула Карно утверждает, что в треугольнике ABC сумма расстояний от центра D описанной окружности до сторон треугольника ABC, взятых со знаком «-», когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника (иначе со знаком «+»), будет равна , где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей[12]:p.83.

Формула Карно:

Например для рисунка формула Карно примет вид: .

В другой формулировке формула Карно утверждает, что[7]:

где — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон треугольника,
— расстояния от ортоцентра соответственно до вершин треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны треугольника равно:

расстояние от ортоцентра например до вершины треугольника равно:

Определения к последней теореме[править | править код]

Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.
Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником.

Вариации по теме[править | править код]

Японская теорема (Japanese theorem)

Теорема[14]. Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центры четырёх образовавшихся окружностей являются вершинами прямоугольника (то есть лежат на одной окружности). Эту теорему называют японской теоремой (Japanese theorem). (см. рис.).

Для четырёхугольника[править | править код]

Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник является выпуклым.
Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180° ( радиан).
Можно описать окружность около:

любого антипараллелограмма
любого прямоугольника (частный случай квадрат)
любой равнобедренной трапеции
любого четырёхугольника, у которого два противоположных угла прямые
любого четырёхугольника, у которого сумма противоположных углов равна 180 градусов
любого четырёхугольника, у которого пересекаются в одной точке четыре серединных перпендикуляра его сторон (или медиатрисы его сторон, то есть перпендикуляры к сторонам, проходящие через их середины)
Первая теорема Птолемея. У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон:[15]:

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство.[16] :

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, можно вычислить по формуле Брахмагупты:

Та же Формула Брахмагупты для площади вписанного в окружность четырёхугольника может быть записана через определитель[17]:

Подробнее о четырёхугольниках, вписанных в окружность, можно прочитать в статье «Вписанный четырёхугольник».

Для вписано-описанного четырехугольника[править | править код]

Аналог теоремы Эйлера для вписано-описанного четырёхугольника[править | править код]

Для радиусов R и r соответственно описанной и вписанной окружностей данного вписано-описанного четырёхугольника и расстояния d между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

или

Для многоугольника[править | править код]

Если из отрезков составить многоугольник, то его площадь будет максимальна, когда он вписанный.

Если точка равноудалена от вершин многоугольника, то она совпадает с центром окружности, описанной около этого многоугольника.

В сферическом треугольнике[править | править код]

Описанная окружность для сферического треугольника — это окружность, содержащая все его вершины.

Если A, B, C — углы сферического треугольника, P — их полусумма, то тангенс радиуса[18] описанной окружности будет равен[19]:78,83

Описанная окружность принадлежит сфере. Радиус, проведённый из центра сферы через центр описанной окружности пересечёт сферу в точке пересечения серединных перпендикуляров (больших кругов сферы, перпендикулярных сторонам в их середине) к сторонам сферического треугольника[19]:21-22.

См. также[править | править код]

Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
Вписанная окружность
Вневписанная окружность
Окружность
Ортоцентр
Серединный перпендикуляр
Четырехугольник
Четырехугольники, вписанные в окружность
Центр описанной окружности

Примечания[править | править код]

↑ 1 2 Whitworth, William Allen. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions, Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866). https://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books
↑ 1 2 Clark Kimberling’s Encyclopedia of Triangles https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
↑ Wolfram page on barycentric coordinates
↑ Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 110.
↑ Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 27—28.
↑ 1 2 Yiu, 2010, с. 175–209.
↑ 1 2 Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.
↑ The Orthopole (21 January 2017). (англ.)
↑ Marie-Nicole Gras, «Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers»,
Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. https://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
↑ Smith, Geoff, and Leversha, Gerry, «Euler and triangle geometry», Mathematical Gazette 91, November 2007, 436—452.
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover, 2007 (orig. 1929).
↑ 1 2 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
↑ Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“». М.:МЦНМО,2002. c. 11, п. 5.
↑ Вокруг задачи Архимеда. Упр. 8, рис. 13, c. 6 // geometry.ru
↑ Теорема Птолемея
↑ Четырёхугольники. Вписанные четырёхугольники .
↑ Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл. ред. Романова И. В. Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
↑ Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведённого из центра сферы через центр окружности, со сферой и вершину треугольника.
↑ 1 2 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

Литература[править | править код]

Paul Yiu. The Circles of Lester, Evans, Parry, and Their Generalizations // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.

Ссылки[править | править код]

На Викискладе есть медиафайлы по теме Описанная окружность

Источник