Каким свойством обладает точка пересечения медиан треугольника

Вы можете спросить, зачем доказывать одну теорему тремя способами. Я бы ответила, что это самоочевидная вещь. Мой любимый образ: составление карты реальности. В типичных ситуациях человек чаще всего действует на автоматизмах, что хорошо, потому что помогает не думать о простых вещах, например, как ложку держать. На этом же механизме основаны все навыки, которыми человек может овладеть. Но, привыкая реагировать определенным образом на внешние раздражители, мы часто упускаем возможности. Поэтому полезно бывает пересобирать карту реальности, чтобы видеть иные решения проблемы.

И начать тренировать этот навык можно с геометрических задач. Благо данная наука позволяет находить десятки способов для решения каждой задачи, двигаясь от одних фактов к другим различными путями.

Сегодня посмотрим на теорему о медианах треугольника, которые, как всем известно, пересекаются и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Обращаю ваше внимание, что в данной теореме требуется доказать два факта: 1) медианы пересекаются; 2) точкой пересечения делятся в заданном отношении. Перейдем к нашим доказательствам.

Начнем с доказательства, основанного на понятии средней линии и параллелограмма. В этом доказательстве, впрочем и во многих других, есть один интересный момент. Утверждается, что две медианы треугольника пересекаются и это очевидно. На мой взгляд, самыми интересными вещами для доказательства являются именно очевидные вещи. Так как же доказать, что две медианы треугольника пересекаются? Например, через полуплоскости. Каждая медиана лежит на прямой, которая делит плоскость на две полуплоскости. Так как вершина треугольника и основание медианы лежать в разных полуплоскостях, то обязательно будет точка пересечения медианы с прямой содержащей другую медиану.

Итак, мы убедились, что две любые медианы треугольника пересекаются, теперь докажем, что точкой пересечения они делятся в отношении 2:1.

Аналогичные рассуждения можно провести для двух других пар медиан. А так как точка, делящая отрезок в заданном отношении единственная, то все медианы проходят через одну точку. Коротко, понятно, по делу. Единственное, что требуется это дополнительное построение.

Рассмотрим следующее доказательство — векторный способ. Будем использовать разложение векторов по базису. Напомним, что на плоскости любые два неколлинеарных вектора можно взять в качестве базиса, тогда любой другой вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов.

Алгебраичненько получилось. И рассмотрим третий способ — физический. Будем использовать понятие центра масс. Я заранее прошу прощения у всех физиков, которые увидят этот текст. Есть математическое определения центра масс, но в данном случае, оно нам не очень интересно, потому что задача опять сведется к векторам. Мы будем понимать под центром масс точку, за которую можно подвесить систему и она будет в равновесии. Также нам понадобятся несколько свойств:
1) Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек имеет центр масс и при том единственный.
2) Центр масс двух точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки и его положение определяется архимедовым правилом: m1d1 = m2d2, где m1, m2 — массы точек, d1, d2 — соответствующие плечи.
3) Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, взять несколько точек и перенести их массу в их центр масс, то положение центра массы всей системы не изменится.

Вот и вся нужная теория, теперь перейдем к решению задачи. Наш треугольник представляет собой систему трех материальных точек А, В, С, которые имеют одинаковую массу. Для простоты возьмем массу равной 1.

По первому свойству, в данной системе существует единственный центр масс, обозначим его буквой O. Согласно второму свойств центр масс точек А и С находится в точек В1. По свойству три мы можем перенести массы точек А и С в точку В1. Тогда O будет центром массы для системы двух точек В и В1, а следовательно будет лежать на медиане треугольника и по второму свойству мы можем точно определить, где он будет находится. 2ОВ1 = 1ОВ => OB : OB1 = 2 : 1. Проведя такие же рассуждения для двух других медиан, мы установим, что центр масс лежит на каждой медиане, а значит они пересекаются в одной точке и делятся ей в заданном отношении. Мило, не правда ли?

Я горжусь вами, если вы дочитали до этого момента, надеюсь нашли что-то полезное для себя. Всем успехов в постижении этого многообразного мира.