Каким свойством обладает поток

Под потоком событий в
теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за
другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на
телефонной станции; поток включений приборов в бытовой электросети; поток
заказных писем, поступающих в почтовое отделение; поток сбоев (неисправностей)
электронной вычислительной машины; поток выстрелов, направляемых на цель во
время обстрела, и т. п. События, образующие поток, в общем случае могут быть
различными, но здесь мы будем рассматривать лишь поток однородных событий,
различающихся только моментами появления. Такой поток можно изобразить как
последовательность точек  на числовой оси (рис. 19.3.1),
соответствующих моментам появления событий.

Рис. 19.3.1.

Поток событий называется регулярным,
если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки
времени. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но
представляет интерес как предельный случай. Типичным для системы массового
обслуживания является случайный поток заявок.

В настоящем  мы рассмотрим потоки событий,
обладающие некоторыми особенно простыми свойствами. Для этого введем ряд
определений.

1. Поток событий называется стационарным,
если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени
длиной  (рис.
19.3.1) зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси
 расположен
этот участок.

2. Поток событий называется потоком
без последействия, если для любых неперекрывающихся участков времени число
событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на
другие.

3. Поток событий называется ординарным,
если вероятность попадания на элементарный участок  двух или более событий
пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Если поток событий обладает всеми
тремя свойствами (т. е. стационарен, ординарен и не имеет последействия), то он
называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название
«пуассоновский» связано с тем, что при соблюдении условий 1-3 число событий,
попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по
закону Пуассона (см.  5.9).

Рассмотрим подробнее условия 1-3,
посмотрим, чему они соответствуют для потока заявок и за счет чего они могут
нарушаться.

1. Условию стационарности
удовлетворяет поток заявок, вероятностные характеристики которого не зависят от
времени. В частности, для стационарного потока характерна постоянная плотность
(среднее число заявок в единицу времени). На практике часто встречаются потоки
заявок, которые (по крайней мере, на ограниченном отрезке времени) могут
рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов на городской
телефонной станции на участке времени от 12 до 13 часов может считаться
стационарным. Тот же поток в течение целых суток уже не может считаться
стационарным (ночью плотность вызовов значительно меньше, чем днем). Заметим,
что так обстоит дело и со всеми физическими процессами, которые мы называем
«стационарными»: в действительности все они стационарны лишь на ограниченном
участке времени, а распространение этого участка до бесконечности — лишь
удобный прием, применяемый в целях упрощения анализа. Во многих задачах теории
массового обслуживания представляет интерес проанализировать работу системы при
постоянных условиях; тогда задача решается для стационарного потока заявок.

2. Условие отсутствия
последействия — наиболее существенное для простейшего потока — означает, что
заявки поступают в систему независимо друг от друга. Например, поток
пассажиров, входящие на станцию метро, можно считать потоком без последействия
потому, что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в тот, а
не другой момент, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других
пассажиров. Однако условие отсутствия последействия может быть легко нарушено
за счет появления такой зависимости. Например, поток пассажиров, покидающих
станцию метро, уже не может считаться потоком без последействия, так как
моменты выхода пассажиров, прибывших одним и тем же поездом, зависимы между
собой.

Вообще нужно заметить, что
выходной поток (или поток обслуженных заявок), покидающий систему массового
обслуживания, обычно имеет последействие, даже если входной поток его не имеет.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим одноканальную систему массового
обслуживания, для которой время обслуживания одной заявки вполне определено и
равно .
Тогда в потоке обслуженных заявок минимальный интервал времени между заявками,
покидающими систему, будет равен . Нетрудно убедиться, что наличие такого
минимального интервала неизбежно приводит к последействию. Действительно, пусть
стало известно, что в какой-то момент  систему покинула обслуженная заявка.
Тогда можно утверждать с достоверностью, что на любом участке времени , лежащем в пределах , обслуженной заявки
не появится; значит, будет иметь место зависимость между числами событий на
неперекрывающихся участках.

Последействие, присущее выходному
потоку, необходимо учитывать, если этот поток является входным для какой-либо
другой системы массового обслуживания (так называемое «многофазовое
обслуживание», когда одна и та же заявка последовательно переходит из системы в
систему).

Отметим, между прочим, что самый
простой на первый взгляд регулярный поток, в котором события отделены друг от
друга равными интервалами, отнюдь не является «простейшим» в нашем смысле
слова, так как в нем имеется ярко выраженное последействие: моменты появления
следующих друг за другом событий связаны жесткой, функциональной зависимостью.
Именно из-за наличия последействия анализ процессов, протекающих в системе
массового обслуживания при регулярном потоке заявок, гораздо сложнее, чем при
простейшем.

3. Условие ординарности означает,
что заявки приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток
атак, которому подвергается воздушная цель в зоне действия истребительной
авиации, будет ординарным, если истребители атакуют цель поодиночке, и не будет
ординарным, если истребители идут в атаку парами. Поток клиентов, входящих в
парикмахерскую, может считаться практически ординарным, чего нельзя сказать о
потоке клиентов, направляющихся в ЗАГС для регистрации брака.

Если в неординарном потоке заявки
поступают только парами, только тройками и т. д., то неординарный поток легко
свести к ординарному; для этого достаточно вместо потока отдельных заявок
рассмотреть поток пар, троек и т. д. Сложнее будет, если каждая заявка
случайным образом может оказаться двойной, тройной и т. д. Тогда уже приходится
иметь дело с потоком не однородных, а разнородных событий.

В дальнейшем мы для простоты
ограничимся рассмотрением ординарных потоков.

Простейший поток играет среди
потоков событий вообще особую роль, до некоторой степени аналогичную роли
нормального закона среди других законов распределения. Мы знаем, что при
суммировании большого числа независимых случайных величин, подчиненных
практически любым законам распределения, получается величина, приближенно
распределенная по нормальному закону. Аналогично можно доказать, что при
суммировании (взаимном наложении) большого числа ординарных, стационарных
потоков с практически любым последействием получается поток, сколь угодно
близкий к простейшему. Условия, которые должны для этого соблюдаться, аналогичны
условиям центральной предельной теоремы, а именно — складываемые потоки должны
оказывать на сумму приблизительно равномерно малое влияние.

Не доказывая этого положения и
даже не формулируя математически условия, которым должны удовлетворять потоки,
проиллюстрируем его элементарными рассуждениями. Пусть имеется ряд независимых
потоков  (рис.
19.3.2). «Суммирование» потоков состоит в том, что все моменты появления
событий сносятся на одну и ту же ось , как показано на рис. 19.3.2.

Рис. 19.3.2.

Предположим, что потоки  сравнимы по своему
влиянию на суммарный поток (т. е. имеют плотности одного порядка), а число их
достаточно велико. Предположим, кроме того, что эти потоки стационарны и
ординарны, но каждый из них может иметь последействие, и рассмотрим суммарный
поток

                            (19.3.1)

на
оси  (рис.
19.3.2). Очевидно, что поток  должен быть стационарным и ординарным,
так как каждое слагаемое обладает этим свойством и они независимы. Кроме того,
достаточно ясно, что при увеличении числа слагаемых последействие в суммарном
потоке, даже если оно значительно в отдельных потоках, должно постепенно
слабеть. Действительно, рассмотрим на оси  два неперекрывающихся отрезка  и  (рис. 19.3.2). Каждая из
точек, попадающих в эти отрезки, случайным образом может оказаться
принадлежащей тому или иному потоку, и по мере увеличения  удельный вес точек,
принадлежащих одному и тому же потоку (и, значит, зависимых), должен
уменьшаться, а остальные точки принадлежат разным потокам и появляются на
отрезках  независимо
друг от друга. Достаточно естественно ожидать, что при увеличении  суммарный поток будет
терять последействие и приближаться к простейшему.

На практике оказывается обычно
достаточно сложить 4-5 потоков, чтобы получить поток, с которым можно
оперировать как с простейшим.

Простейший поток играет в теории
массового обслуживания особенно важную роль. Во-первых, простейшие и близкие к
простейшим потоки заявок часто встречаются на практике (причины этого изложены
выше). Во-вторых, даже при потоке заявок, отличающемся от простейшего, часто
можно получить удовлетворительные по точности результаты, заменив поток любой
структуры простейшим с той же плотностью. Поэтому займемся подробнее простейшим
потоком и его свойствами.

Рассмотрим на оси  простейший поток событий
 (рис.
19.3.3) как неограниченную последовательность случайных точек.

Рис. 19.3.3.

Выделим произвольный участок
времени длиной .
В главе 5 (5.9)
мы доказали, что при условиях 1, 2 и 3 (стационарность, отсутствие
последействия и ординарность) число точек, попадающих на участок , распределено по
закону Пуассона с математическим ожиданием

,                      (19.3.2)

где
 — плотность
потока (среднее число событий, приходящееся на единицу времени).

Вероятность того, что за время  произойдет ровно  событий, равна

.             (19.3.3)

В
частности, вероятность того, что участок окажется пустым (не произойдет ни
одного события), будет

.                         (19.3.4)

Важной характеристикой потока
является закон распределения длины промежутка между соседними событиями.
Рассмотрим случайную величину  — промежуток времени между произвольными
двумя соседними событиями в простейшем потоке (рис. 19.3.3) и найдем ее функцию
распределения

.

Перейдем
к вероятности противоположного события

.

Это
есть вероятность того, что на участке времени длиной , начинающемся в момент  появления одного из
событий потока, не появится ни одного из последующих событий. Так как
простейший поток не обладает последействием, то наличие в начале участка (в
точке )
какого-то события никак не влияет на вероятность появления тех или других
событий в дальнейшем. Поэтому вероятность  можно вычислить по формуле (19.3.4)

,

откуда

            .                       (19.3.5)

Дифференцируя,
найдем плотность распределения

   .                       (19.3.6)

Закон распределения с плотностью
(19.3.6) называется показательным законом, а величина  — его параметром.
График плотности  представлен
на рис. 19.3.4.

Рис 19.3.4.

Показательный закон, как мы
увидим в дальнейшем, играет большую роль в теории дискретных случайных
процессов с непрерывным временем. Поэтому рассмотрим его подробнее.

Найдем математическое ожидание
величины ,
распределенной по показательному закону:

или,
интегрируя по частям,

.                      (19.3.7)

Дисперсия величины  равна

,

откуда

,                    (19.3.8)

.                      (19.3.9)

Докажем одно замечательное
свойство показательного закона. Оно состоит в следующем: если промежуток
времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время , то это никак не
влияет на закон распределения оставшейся части промежутка: он будет таким же,
как и закон распределения всего промежутка .

Для доказательства рассмотрим
случайный промежуток времени  с функцией распределения

                       (19.3.10)

и
предположим, что этот промежуток уже продолжается некоторое время , т. е. произошло
событие .
Найдем при этом предположении условный закон распределения оставшейся части
промежутка ;
обозначим его

.                        (19.3.11)

Докажем, что условный закон
распределения  не
зависит от  и
равен . Для
того чтобы вычислить , найдем сначала вероятность произведения
двух событий

 и
.

По
теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Но
событие  равносильно
событию ,
вероятность которого равна

.

С
другой стороны,

,

следовательно,

,

откуда,
согласно формуле (19.3.10), получим

,

что
и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что
если промежуток времени  распределен по показательному закону, то
любые сведения о том, сколько времени уже протекал этот промежуток, не влияют
на закон распределения оставшегося времени. Можно доказать, что показательный
закон — единственный, обладающий таким свойством. Это свойство показательного
закона представляет собой, в сущности, другую формулировку для «отсутствия
последействия», которое является основным свойством простейшего потока.