Каким свойством обладает пара сил

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на твердое тело (рис. 17).

Плоскость , содержащая линии действия сил пары и называется плоскостью действия сил пары. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары называется плечом пары.

Вращающее действие пары на твердое тело зависит от модуля сил пары , плеча , положения плоскости действия пары и направления вращения.

Мерой этого действие пары является ее вектор-момент . Если все силы и пары, приложенные к телу, лежат в одной плоскости, то момент пары можно рассматривать как алгебраическую величину, равную

. (19)

Момент пары считается положительным, если он стремиться вращать тело против хода часовой стрелки и отрицательным, если — по ходу часовой стрелки.

Момент пары, как и момент силы, измеряется в ( система СИ) и в (система МКГСС).

Алгебраическая сумма моментов сил пары относительно произвольной точки в плоскости ее действия не зависит от выбора этой точки и равна моменту пары. Действительно, определим сумму моментов сил и пары (рис. 18) относительно произвольной точки , расположенной в плоскости действия пары.

где .

Так как , то получим:

. (20)

Если силы и пары, приложенные к телу, лежат в разных плоскостях, то момент пары, как и момент силы, необходимо рассматривать как вектор. Вводим в связи с этим общее определение момента пары.

Моментом пары является вектор , равный по модулю произведению модуля сил пары на ее плечо и направленный перпендикулярно плоскости ее действия в ту сторону, откуда поворот, который пара стремится сообщить телу, виден происходящим в направлении против хода часовой стрелки (рис. 17).

Модуль вектора равен

. (21)

Из определения векторов и следует, что момент пары (рис. 17) равен по модулю и направлению моменту любой из сил пары (например, ) относительно точки приложения другой, то есть

Используя формулу 16, имеем:

. (22)

Таким образом, момент пары можно представить в виде векторного произведения (23), в котором – радиус-вектор точки приложения силы относительно точки приложения силы (рис.17).

Свойства пар выражаются следующими теоремами, которые приводятся здесь без доказательств.

1) Действие пары на твердое тело не изменится, если перенести пару в плоскости ее действия в любое другое положение.

2) Действие пары на твердое тело не изменится, если модуль сил пары и ее плечо изменить так, чтобы модуль момента пары сохранился неизменным.

3) Действие пары на твердое тело не изменится, если перенести пару в любую другую плоскость, параллельную плоскости ее действия.

4) Система пар, приложенных к твердому телу, может быть заменена одной результирующей парой с моментом , равным геометрической сумме моментов слагаемых пар:

. (23)

Из теорем следует, что пару, выраженную вектором , в твердом теле можно как угодно перенести в плоскости действия пары, а также перенести в любую параллельную плоскость; поэтому момент пары является свободным вектором, т.е. его можно изобразить приложенным в любой точке твердого тела.

Вопросы для самопроверки к разделу 2

1. Определить момент силы относительно точки как алгебраическую величину, как вектор.

2. В каком случае момент силы относительно точки равен нулю?

3. Что называется моментом силы относительно оси?

4. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю?

5. Можно ли открыть дверь, если все приложенные к ней силы располагаются в плоскости двери?

6. Какова зависимость между моментами силы относительно оси и относительно точки, лежащей на этой оси?

7. Выведите формулы для моментов силы относительно трех координатных осей, используя представление о векторе момента силы относительно точки в виде векторного произведения.

8. Что называется парой сил? Чему равен момент пары?

9. Какие факторы определяют действие пары на твердое тело?

10. Как направлен, где приложен вектор момента пары?

11. Сформулируйте условие равновесия системы пар сил, приложенных к твердому телу.

12. Могут ли уравновесить друг друга две пары сил, лежащие в параллельных плоскостях; в пересекающихся плоскостях?

13. Каким образом можно изменять плечо и модуль сил пары, не изменяя действие пары на твердое тело?

14. Как складываются пары, лежащие в одной плоскости; в пересекающихся плоскостях?

Источник

Макеты страниц

Векторный момент пары сил

Как указывалось, пара сил не имеет равнодействующей. Однако можно указать величину, которая полностью характеризует действие пары и позволяет сравнивать пары, а также судить об эффекте их совместного действия.

Пусть на твердое тело действует сила приложенная в точке А, и сила — приложенная в точке В (рис. 92). Вычислим сумму моментов этих сил относительно произвольной точки О

Но

Следовательно,

Рис. 93

Таким образом, сумма моментов силы, составляющих пару, является вектором, не зависящим от положения точки, относительно которой вычисляется момент силы. Этот вектор называется векторным моментом пары, обозначается символом и является свободным вектором.

Векторный момент пары направлен перпендикулярно плоскости ее действия так, что если смотреть с его конца, то пара будет

стремиться повернуть тело против часовой стрелки (рис. 93). Модуль векторного момента пары равен произведению плеча пары на модуль силы:

Три основных свойства пары сил

Три следующие теоремы, указывающие основные свойства пар сил, доказывают, что векторный момент пары полностью характеризует его.

Теорема 1. Пару сил можно, не изменяя ее действия на тело, перенести в любое место на плоскости ее действия.

Пусть дана некоторая пара сил с плечом Переместим силы по линии их действия, сделав это так, чтобы отрезок АВ, соединяющий точки приложения этих сил, стал плечом пары (рис. 94).

Рис. 94

Рис. 95

Выберем в плоскости действия пары отрезок длиной и приложим к его концам силы перпендикулярные отрезку и равные по модулю. Эта система четырех сил взаимно уравновешена и, следовательно, не изменяет действия пары. Продолжим теперь линии действия всех сил так, чтобы образовался ромб Перенесем силы вдоль их линии действия в точку и найдем их равнодействующую она будет направлена по диагонали ромба от точки к точке Е. Затем точно так же перенесем силы в точку Е и найдем их равнодействующую она также будет направлена по диагонали ромба, но от точки Е к точке Так как модули равнодействующих R и равны, линии их действия совпадают, а направлейия противоположны, то они образуют уравновешенную систему сил, которую можно отбросить. Сделав это, мы вместо первоначальной пары получим пару эквивалентную первоначальной, но расположенной в плоскости наперед заданным образом.

В приведенном доказательстве предполагалось пересечение линий действия сил первоначальной и конечной пары. Однако, рассматривая пару как переходное звено от пары к конечной паре, можно доказать, что пару можно переносить в плоскости так, чтобы линии действия сил конечной пары были параллельны линиям действия сил первоначальной пары.

Теорема 2. Пару сил, не изменяя ее действия на тело, можно перенести в любую плоскость, параллельную плоскости ее действия

Рассмотрим пару сил в плоскости П (рис. 95). Спроектируем отрезок АВ на плоскость П, параллельную П. Приложим в точках С и D взаимно уравновешенные силы равные по модулю силам и имеющие параллельные им линии действия. Тогда получим шесть сил, приложенных в вершинах прямоугольника Но собственно параллельные и равные по модулю силы можно заменить равнодействующей линия действия которой проходит через середину диагонали Аналогично силы дадут равнодействующую такую же по величине и с той же линией действия, но направленную противоположно первой. Две силы R и взаимно уравновешиваются и их можно отбросить. Таким образом, остается пара сил в плоскости , эквивалентная первоначальной: ее силы параллельны силам первоначальной пары, но, согласно теореме 1, мы можем перенести теперь ее в любое место плоскости П. Таким образом, теорема доказана.

Теорема 3. Пары, имеющие равные векторные моменты, эквивалентны.

Пусть дана пара с плечом а и пара с плечом Векторные моменты этих пар одинаковы. В таком случае плоскости этих пар параллельны, и поэтому на основании теоремы 2 их можно считать лежащими в одной плоскости.

Рис. 96

Рис. 97

На основании теоремы 1 пары можно расположить так, что. их плечи будут находиться на одной прямой (рис. 96). Докажем, что пару можно заменить парой . Заменим силу приложенную в точке В (рис. 97), двумя собственно параллельными силами: силой приложенной в точке А, и силой Р, приложенной в точке С. Тогда, так как в точке А приложена сила то, складывая силы с силой

получим силу . Итак, вместо пары мы теперь имеем пару Так как является равнодействующей и Р, то справедливо равенство

откуда

Но следовательно, пары эквивалентны и теорема доказана.

Из трех доказанных теорем следует, что пара полностью характеризуется своим векторным моментом. Этот вектор следует считать свободным, так как пару можно как угодно переносить в плоскости ее действия, а также выносить в любую плоскость, параллельную ее плоскости действия.

Сложение пар

Перейдем теперь к вопросу о сложении пар. Рассмотрим пары расположенные в пересекающихся плоскостях (рис. 98). Выберем произвольный отрезок АВ на линии пересечения плоскостей и преобразуем эти пары в плоскостях их действия так, чтобы отрезок А В служил плечом каждой из них. Силы, составляющие пары, при этом изменятся и станут равными и

Силы и приложенные в точке А, сложим и получим равнодействующую

Рис. 98

Соответственно силы дадут равнодействующую:

Но , следовательно, Таким образом, силы образуют пару. Эта пара эквивалентна двум первоначальным парам и поэтому называется равнодействующей или результирующей парой. Момент ее равен

Заменив вектор суммой можем написать:

Но так как

то

Отсюда имеем следующую теорему. Векторный момент разнодействующей пары равен геометрической сумме векторных моментов составляющих пар.

Этот вывод можно распространить на любое количество пар, действующих в различных плоскостях. Поэтому в общем случае будем иметь:

Если пары лежат в одной плоскости, то их векторные моменты будут коллинеарны и вместо векторной суммы нужно будет брать алгебраическую сумму этих моментов (с учетом знаков). В частном случае пары могут быть уравновешены. Это будет иметь место тогда, когда момент результирующей пары равен нулю.

Источник

В соответствии с теоремой об эквивалентности систем сил, две пары сил эквивалентны тогда и только тогда, когда равны их моменты. Отсюда следует, что, не изменяя действия пары сил на абсолютно твёрдое тело, можно производить следующие преобразования пар сил (Рис. 2.4 – 2.6):

1. переносить и поворачивать пару сил в плоскости её действия;

2. переносить пару сил в любую плоскость, параллельную плоскости

действия пары сил;

3. изменять плечо и модули сил, образующих пару, так чтобы модуль

момента пары оставался неизменным.

Доказанная ранее теорема о сложении пар оказывается справедливой при произвольном расположении пар сил в пространстве, поскольку в случае параллельности плоскостей действия, пары сил можно перенести в одну плоскость.

Рис. 2.7

Таким образом,

Две произвольно расположенные пары сил эквивалентны одной паре сил, момент которой равен сумме моментов слагаемых пар сил.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

Сформулировать необходимые и достаточные условия равновесия системы сил.
Сформулировать необходимые и достаточные условия эквивалентности систем сил.
Сформулировать необходимые и достаточные условия эквивалентности пар сил.
Как можно видоизменять пару сил, не изменяя её действие на абсолютно твёрдое тело?
Сформулировать теорему Вариньона.

ЛЕКЦИЯ 4

3. ОБЪЁМНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ СИЛЫ

До сих пор мы оперировали так называемыми сосредоточенными силами, которые имеют определённую точку приложения (или линию действия). Сосредоточенная сила является одной из абстракций, используемых в механике. Реальные взаимодействия материальных тел всегда представляются распределёнными либо по объёму тела, либо по его поверхности. К поверхностным силам относятся силы давления, т.е. силы контактного действия, а к объёмным – гравитационные и электромагнитные силы. Сосредоточенные силы появляются в теории как равнодействующие поверхностных или объёмных сил.

Центр параллельных сил

При изучении объёмных и поверхностных сил широко используется центр параллельных сил. Это понятие вводится для системы параллельных сил, имеющих равнодействующую, причём точки приложения сил системы считаются фиксированными.

Центром параллельных сил называется точка, вокруг которой поворачивается равнодействующая системы параллельных сил при повороте всех сил системы вокруг своих точек приложения в одну и ту же сторону на один и тот же угол.

Рис.3.1

Найдём положение центра параллельных сил для системы , имеющей равнодействующую . Пусть – единичный вектор, параллельный линиям действия сил системы (Рис. 3.1). Тогда , где – проекция силы на направление единичного вектора . Для равнодействующей получаем:

Для любого центра , используя теорему Вариньона, получаем:

или

Вынося за скобку общий множитель получаем:

или где

Векторное произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю или если сомножители коллинеарны. Но Повернём все силы системы вокруг своих точек приложения в одну и ту же сторону на один и тот же угол (Рис. 3.1). Равнодействующая системы сил повернётся вокруг точки C в ту же сторону на тот же угол. Вместе с силами поворачивается вокруг точки O и вектор . В результате этой операции вектор изменил направление; вектор остался неизменным, но по-прежнему Следовательно, т.е.

Отсюда

(1)

Примем точку O за начало декартовой системы координат. Записывая формулу (1) в проекциях на координатные оси, получаем координаты центра параллельных сил:

Центр тяжести

Центром тяжести называется точка тела, через которую проходит линия действия его силы тяжести при любом положении тела по отношению к Земле.

Экспериментально такую точку можно найти последовательно подвешивая тело на нити за различные точки. При равновесии тело находится под действием двух сил – силы тяжести и реакции нити, которые по аксиоме 2 должны располагать по одной прямой – вдоль нити, т.е. по местной вертикали.

Рассмотрим материальное тело, расположенное вблизи поверхности Земли (в поле силы тяжести). Допустим сначала, что тело состоит из конечного числа материальных точек, другими словами, частиц, размерами которых можно пренебречь. На каждую частицу с номером действует сила тяжести . Если размеры тела малы по сравнению с размерами Земли, то систему сил тяжести частиц можно рассматривать как систему параллельных сил, направленных в одну сторону. Такая система сил всегда имеет равнодействующую , модуль которой часто называют весом тела. При любом изменении ориентации тела по отношению к Земле силы тяжести частиц остаются вертикальными, т.е. они поворачиваются по отношению к телу вокруг своих точек приложения. Линия действия силы тяжести тела при этом всегда будет проходить через определённую точку – центр параллельных сил, который в рассматриваемом случае называется центром тяжести тела. Таким образом, положение центра тяжести тела, состоящего из конечного числа частиц, можно определить по формуле (1):

(2)

При определении положения центра тяжести сплошного тела это тело разбивается сечениями, параллельными координатным плоскостям, на элементарные объёмы (Рис. 3.2) и центр тяжести тела определяется как предел последовательности радиусов-векторов центров тяжести системы элементарных объёмов (частиц) при объёме каждой частицы, стремящемся к нулю:

где — радиус-вектор элементарного объёма; — вес частицы.

Этот предел представляет собой, по определению, интеграл

При вычислении подобных интегралов переходят к интегрированию по объёму, для чего вводится понятие удельного веса

где – элемент объёма.

Рис. 4.2

Таким образом,

(3)

Формула (3) является наиболее общей для определения положения центра тяжести сплошного тела.

Если удельный вес тела не зависит от координат, тело называется однородным. Для однородных тел, полагая в формуле (3) , получаем:

, (4)

где – объём тела.

Если однородное тело представляет собой пластину постоянной толщины , то , , где – площадь поверхности пластины. В этом случае для определения положения центра тяжести тела необходимо вычислить поверхностный интеграл:

(5)

Если однородное тело представляет собой стержень с постоянной площадью поперечного сечения , то , и формула (4.4) принимает вид:

, (6)

где – длина стержня.

Во многих случаях положение центра тяжести тела можно определить при помощи весьма простых методов. Рассмотрим некоторые из них.

Симметрия однородных тел. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости. Для доказательства этого утверждения примем плоскость симметрии за координатную плоскость . Записывая формулу (4) в проекциях на координатную ось , получаем:

поскольку область интегрирования разбивается на две симметричные области и , в первой из которых , а во второй .

Аналогично можно показать, что если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела лежит на этой оси; если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела совпадает с его центром симметрии.

Метод разбиений состоит в том, что тело разбивается на конечное число частей, положение центров тяжести которых известно. Положение центра тяжести тела определяется по формуле (2).

Пример 3.1.

Определить положение центра тяжести однородной пластины,

изображённой на Рис. 3.3.

Рис. 3.3

Разобьём пластину на два прямоугольника с площадями и Прямоугольники обладают осевой симметрией и их центры тяжести находятся в точке пересечения диагоналей

Для однородной пластины постоянной толщины вес пропорционален площади поверхности. В проекциях на координатные оси из формулы (2) получаем:

Метод дополнений или метод отрицательных масс представляет собой частный случай метода разбиений, применяется для тел имеющих вырезы (полости), вес которых ( для однородных тел – объём или площадь) считается отрицательным.

Пример 3.2.

Определить положение центра тяжести однородной пластины, изображённой на Рис. 3.4.

Прежде всего заметим, что пластина имеет ось симметрии, проходящую через центр пластины и центр выреза. Примем эту ось за координатную ось . Тогда

Разобьём пластину на две части: круг без выреза радиуса и вырез радиуса с центром . При этом

Используя формулу (2), получаем:

Пример 3.3.

Определить положение центра тяжести однородной треугольной пластины, изображённой на Рис. 3.5.

Разобьём треугольник на элементарные полоски, параллельные одной из сторон, например, стороне . Центр тяжести каждой полоски в силу симметрии лежит на её середине, а центр тяжести треугольники расположен, следовательно, на медиане . Проводя аналогичное разбиение параллельно другой стороне, например , получаем, что центр тяжести лежит на медиане . Таким образом, центр тяжести однородного треугольника расположен в точке пересечения его медиан.

Пример 3.4.

Определить положение центра тяжести однородной дуги

окружности радиуса с центральным углом (Рис. 3.6).

Начало координат совместим с центром окружности, ось направим перпендикулярно хорде , стягивающей дугу. В этом случае ось будет осью симметрии тела и, следовательно, . Для вычисления используем формулу (6):

причём,

Тогда

Пример 3.5.

Определить положение центра тяжести однородного кругового сектора радиуса с центральным углом (Рис. 3.7).

Разобьём пластину на элементарные круговые секторы. Каждый элементарный сектор можно рассматривать как равнобедренный треугольник, центр тяжести которого расположен в точке пересечения медиан, которые, как известно, делятся точкой пересечения в отношении 2:1. Таким образом, центр тяжести рассматриваемого кругового сектора совпадает с центром тяжести однородной дуги окружности радиуса и таким же центральным углом. Используя результат, полученный в предыдущем примере, находим:

Положение центра тяжести играет важную роль в вопросах устойчивости и предотвращения опрокидывания сооружений.

В заключение заметим, что при определении положения центра тяжести как вид результата, так и трудоёмкость его получения существенно зависят от выбора системы координат.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

Что называется центром параллельных сил?
По каким формулам определяются координаты центра параллельных сил?
Что называется центром тяжести тела?
В чём состоит метод разбиений для вычисления координат центра тяжести тела?
В чём состоит метод отрицательных масс для вычисления координат центра тяжести тела?

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА — теория и практика»: комплект СР-14.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1

Дата добавления: 2018-10-15; просмотров: 397 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов