Каким свойством обладает неполное частное при делении с остатком
ВОПРОСЫ
1. Каким свойством обладает неполное частное при делении с остатком?
Неполное частное — это наибольшее число, произведение которого на делитель меньше делимого.
2. Сравните остаток и делитель.
Остаток всегда меньше делителя.
3. Сформулируйте правило нахождения делимого при делении с остатком.
Правило нахождения делимого при делении с остатком: чтобы найти делимое, надо делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток.
4. Как записывают в буквенном виде правило нахождения делимого?
5. В каких случаях говорят, что одно натуральное число делится нацело на другое?
Говорят, что одно натуральное число делится нацело на другое, если при делении первого числа на второе остаток равен нулю.
РЕШАЕМ УСТНО
1. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:
2. В числе 72 560 000 зачеркнули три последних нуля. Как изменилось, увеличилось или уменьшилось, это число и во сколько раз?
Число уменьшилось в 1000 раз.
3. Один насос за 1 мин перекачивает 120 л воды, а второй — 180 л. За какое время они вместе могут наполнить водой цистерну, ёмкость которой равна 6 000 л?
4. Уменьшаемое на 129 больше вычитаемого. Чему равна разность?
Разность данных чисел равна 129.
5. Делитель в 48 раз меньше делимого. Чему равно частное?
Частное данных чисел равно 48.
6. В первый день турист был в дороге 7 ч, а во второй — 4 ч, двигаясь с такой же скоростью, как и в первый день. Во второй день турист прошёл на 12 км меньше, чем в первый. С какой скоростью двигался турист?
УПРАЖНЕНИЯ
521. Выполните деление с остатком:
522. Выполните деление с остатком:
523. 1) Найдите остаток при делении на 10 числа: 31; 47; 53; 148; 1 596; 67 389; 240 750.
2) Найдите остаток при делении на 5 числа: 14; 61; 86; 235; 2 658; 54 769; 687 903.
524. Найдите остаток при делении на 100 числа: 106; 202; 421; 836; 2 764; 100 098; 672 305; 1 306 579; 562 400.
525. Запишите остатки, которые можно получить при делении на: 1) 7; 2) 13; 3) 24.
526. Запишите остатки, которые можно получить при делении на: 1) 5; 2) 19.
527. Блокнот стоит 26 р. Сколько блокнотов можно купить на 140 р.?
528. Один грузовик можно нагрузить 5 т песка. Сколько требуется таких грузовиков, чтобы перевезти 42 т песка?
529. В один ящик помещается 20 кг яблок. Сколько надо ящиков, чтобы разложить в них 176 кг яблок?
530. Заполните таблицу.
531. Найдите делимое, если делитель равен 12, неполное частное — 7, а остаток — 9.
532. Найдите делимое, если делитель равен 18, неполное частное — 4, а остаток — 11.
533. Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в виде равенства a = bq + r, где а — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток, если а = 82, b = 8.
534. Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в виде равенства a = bq + r, где а — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток, если а = 45, b = 7.
535. Пр каком наименьшем натуральном а значение выражения:
1) 48 + а делится нацело на 6;
2) 65 — а делится нацело на 8;
3) 96 — а при делении на 9 дает остаток 4?
536. При каком наименьшем натуральном а значение выражения:
1) 53 + а делится нацело на 7;
2) а + 24 при делении на 5 дает остаток 2?
537. Катя разделила число 211 на некоторое число и получила в остатке 26. На какое число делила Катя?
538. Миша разделил число 111 на некоторое число и получил в остатке 7. На какое число делил Миша?
539. Павел разделил число 70 на некоторое число и получил в остатке 4. На какое число делил Павел?
540. Какое наибольшее количество понедельников может быть в году?
541. В одном осеннем месяце суббот и понедельников оказалось больше, чем пятниц. Каким днем недели было девятнадцатое число этого месяца? Какой это был месяц?
542. Известно, что чило а — делимое, число b — делитель, причем а < b. Найдите неполное частное и остаток при делении числа а на число b.
543. Докажите, что последняя цифра числа а равна остатку при делении этого числа на 10.
544. Придумайте буквенное выражение, при подстановке в кототрое вместо буквы любого натурального числа получится числовое выраэение, значение которого:
1) при делении на 3 дает в остатке 1;
2) при делении на 8 дает в остатке 3;
3) при делении на 11 дает в остатке 7;
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
545. Упростите выражение и найдите его значение:
546. Периметр прямоугольника равен 54 см, а его ширина на 3 см меньше длины. Найдите стороны прямоугольника.
ЗАДАЧА ОТ МУДРОЙ СОВЫ
547. Известно, что веревка сгорает за 4 мин и горит при этом неравномерно. Как с помощью: 1) одной веревки отмерить 2 мин; 2) двух таких веревок отмерить 3 мин?
Деление c остатком — арифметическая операция, играющая большую роль в арифметике, теории чисел, алгебре и криптографии. Чаще всего эта операция определяется для целых или натуральных чисел следующим образом[1]. Пусть и — целые числа, причём Деление с остатком («делимого») на («делитель») означает нахождение таких целых чисел и , что выполняется равенство:
.
Таким образом, результатами деления с остатком являются два целых числа: называется неполным частным от деления, а — остатком от деления. На остаток налагается дополнительное условие: то есть остаток от деления должен быть неотрицательным числом и по абсолютной величине меньше делителя. Это условие обеспечивает однозначность результатов деления с остатком для всех целых чисел, то есть существует единственное решение уравнения при заданных выше условиях. Если остаток равен нулю, говорят, что нацело делится на
Нахождение неполного частного также называют целочисленным делением, а нахождение остатка от деления называют взятием остатка или, неформально, делением по модулю (однако последний термин стоит избегать, так как он может привести к путанице с делением в кольце или группе вычетов по аналогии со сложением или умножением по модулю).
Примеры
Проверка: Проверка: Проверка: Проверка:
Операция деления с остатком может быть определена не только для целых чисел, но и для других математических объектов (например, для многочленов), см. ниже.
Определение[править | править код]
Оставаясь строго в рамках натуральных чисел, приходится различать деление с остатком и деление нацело, поскольку нулевой остаток не является натуральным числом; кроме того, неполное частное при делении меньшего числа на большее должно равняться нулю, что тоже выводит за рамки натуральных чисел. Все эти искусственные ограничения неоправданно усложняют формулировки, поэтому в источниках обычно либо рассматривается расширенный натуральный ряд, включающий ноль[2], либо теория сразу формулируется для целых чисел, как указано выше.
Для вычисления неполного частного от деления на положительное число следует разделить (в обычном смысле) на и округлить результат до ближайшего целого в меньшую сторону:
когда .
где полускобки обозначают взятие целой части. Значение неполного частного позволяет вычислить значение остатка по формуле:
Для отрицательного делителя нужно округлять частное в большую сторону:
когда .
Операция «mod» и связь со сравнениями[править | править код]
Величина остатка может быть получена бинарной операцией «взятия остатка» от деления на , обозначаемой mod:
Не следует путать это обозначение с обозначением сравнения по модулю . Формула для влечёт выполнение сравнения:
однако обратная импликация, вообще говоря, неверна. А именно, это сравнение не подразумевает выполнения неравенства , необходимого для того, чтобы было остатком.
В программировании[править | править код]
Нахождение остатка от деления часто используется в компьютерной технике и телекоммуникационном оборудовании для создания контрольных чисел и получения случайных чисел в ограниченном диапазоне, например в конгруэнтном генераторе случайных чисел.
Обозначения операции взятия остатка в различных языках программирования представлены в таблице справа.
Например, в Паскале операция mod вычисляет остаток от деления, а операция div осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается:
78 div 33 = 2
Знак остатка[править | править код]
Важно отметить, что операция взятия остатка в языках программирования может возвращать отрицательный результат (для отрицательного делимого или делителя). Тут есть два варианта:
- Знак остатка совпадает со знаком делимого: неполное частное округляет к нулю.
- Знак остатка совпадает со знаком делителя: неполное частное округляет к , соответствует определению из начала статьи.
Если в языке есть оба типа остатков, каждому из них соответствует своя операция неполного частного. Обе операции имеют жизненный смысл.
- Есть сумма n копеек, положительная или отрицательная. Перевести её в рубли и копейки: n div 100 и n mod 100. Знак остатка совпадает со знаком делимого.
- Есть бесконечное клеточное поле, каждая клетка 16×16 пикселей. В какую клетку попадает точка (x, y), и каковы координаты относительно верхнего левого угла клетки? Ответ: x div 16, y div 16 и (x mod 16, y mod 16) соответственно. Знак остатка совпадает со знаком делителя.
Как запрограммировать, если такой операции нет?[править | править код]
Неполное частное можно вычислить через деление и взятие целой части: , где , в зависимости от задачи, может быть «полом» или усечением. Однако деление здесь получается дробное, которое намного медленнее целого. Такой алгоритм используется в языках, в которых нет целых типов (отдельные электронные таблицы, программируемые калькуляторы и математические программы), а также в скриптовых языках, в которых издержки интерпретации намного превышают издержки дробной арифметики (Perl, PHP).
При отсутствии команды mod остаток программируется как .
Если положительно, а знак совпадает со знаком делимого, не определён или неизвестен, для нахождения минимального неотрицательного остатка можно воспользоваться формулой .
Неполное частное и неотрицательный остаток от деления на степень двойки — это битовый сдвиг (для чисел со знаком — арифметический) и .
Обобщения[править | править код]
Вещественные числа[править | править код]
Если два числа и (отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел, может быть поделено на без остатка, и при этом частное также является вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.
Формально:
если , то , где .Пример
Деление 7,9 на 2,1 с остатком даёт:
(неполное частное);
(остаток).
Гауссовы целые числа[править | править код]
Гауссово число — это комплексное число вида , где — целые числа. Для них можно определить деление с остатком: любое гауссово число можно разделить с остатком на любое ненулевое гауссово число , то есть представить в виде:
,
где частное и остаток — гауссовы числа, причём
Однако, в отличие от целых чисел, остаток от деления определяется неоднозначно. Например, можно разделить на тремя способами:
Многочлены[править | править код]
При делении с остатком двух многочленов и для однозначности результата вводится условие: степень многочлена-остатка должна быть строго меньше степени делителя:
, причём .Пример
(остаток 3), так как: .
См. также[править | править код]
- Алгоритм Евклида
- Делимость
- Наибольший общий делитель
- Непрерывная дробь
- Сравнение по модулю
Примечания[править | править код]
- ↑ Деление // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2.
- ↑ Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. М.: Наука, 1981, 560 с., С. 9.
- ↑ ISO/IEC 9899:TC2: When integers are divided, the result of the / operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. [This is often called «truncation toward zero».]; в списке изменений 1999→TC1 и TC1→TC2 данное изменение не числится.
- ↑ «ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages — C++», 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003. «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined».
- ↑ N3242=11-0012 (Working draft), текст совпадает с C99
- ↑ D language specification (англ.). dlang.org. Дата обращения 29 октября 2017.
- ↑ К. Арнолд, Дж. Гослинг, Д. Холмс. Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0.
- ↑ Стандарт 1973 года: div — division with truncation.
- ↑ PHP: Arithmetic Operators — Manual
Разработки уроков (конспекты уроков)
Основное общее образование
Линия УМК А. Г. Мерзляка. Математика (5-6)
Математика
Внимание! Администрация сайта rosuchebnik.ru не несет ответственности за содержание методических разработок, а также за соответствие разработки ФГОС.
Цель урока
Обеспечить усвоение учащимися научить учащихся выполнять деление с остатком, разъяснить связь между компонентами действия деления с остатком. Личностные: развивать интерес к изучению темы и желание применить приобретённые знания и умения. Метапредметные: формировать умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации, в окружающей жизни.
Задачи урока
- Создать условия для формирования умений выполнять деление с остатком, понимания связь между компонентами действия деления с остатком, видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации, в окружающей жизни, для развития интереса к изучению темы и желание применить приобретённые знания и умения.
Виды деятельности
- Фронтальная, индивидуальная, парная.
Ключевые понятия
- Остаток, неполное частное, делитель, делимое, правило нахождения делимого, деление нацело.
| № | Название этапа | Методический комментарий |
|---|---|---|
| 1 | Актуализация знаний | |
| 2 | Изучение нового материала | Деление с остатком — тема непростая. Сложнее всего учащиеся усваивают понятие «неполное частное». Решение задач 521-526, 530-532 способствует формированию навыков нахождения компонентов действия деления с остатком. Учащиеся должны хорошо усвоить, что остаток всегда меньше делителя. Нужно подчеркнуть, что деление нацело — это частный случай деления с остатком: при делении нацело получаем остаток, равный нулю. Надо добиваться того, чтобы после деления «уголком» учащийся мог записать результат в форме a = bq + r. |
| 3 | Первичное закрепление изученного материала | Для фронтальной работы на уроке рекомендуем задания из учебника: № 521, 523, 525, 527. Для парной работы на уроке рекомендуем задания: № 1, 2. Для индивидуальной работы на уроке рекомендуем задания: № 3, 4, 5. |
| 4 | Повторение | Для повторения можно использовать задание из учебника. |
| 5 | Итоги урока | 1. Каким свойством обладает неполное частное при делении с остатком? 2. Сравните остаток и делитель. 3. Сформулируйте правило нахождения делимого при делении с остатком. 4. Как записывают в буквенном виде правило нахождения делимого? 5. В каких случаях говорят, что одно натуральное число делится нацело на другое? |
| 6 | Информация о домашнем задании | Для индивидуальной работы дома рекомендуем: § 19, вопросы 1– 5, № 522, 524, 526. |
Внесите нужные вам правки: в технологическую карту урока или в презентацию, если требуется.
* О сервисе “Классная работа”
Готовые рабочие программы и материалы для проведения уроков, как универсальные, так и по конкретным УМК издательства. Представлены в виде набора презентаций к урокам. Материалы можно редактировать, добавлять свои слайды, гиперссылки, аудио- и видеообъекты.
Подготовьтесь к уроку прямо сейчас!
Хотите сохранить материал на будущее? Отправьте себе на почту