Каким свойством обладает множество натуральных чисел

Введем понятие множества натуральных чисел. Начнем со следующего, используя число 1, названное единицей, построим некоторое подмножество множества следующим образом: обозначим сумму символом 2 и назовем его числом «два» ; обозначим сумму символом 3 и назовем его числом «три» ; аналогично определяем последовательно числа, называемые «четыре», «пять», и т.д. и обозначаемые символами и т.д.

Элементы множества

называются натуральными числами. Множество всех натуральных чисел обозначают через .

Обозначим через произвольно фиксированное натуральное число число называется числом, непосредственно следующим за числом , а само — непосредственно предшествующим числу .

Свойства натуральных чисел

Множество натуральных чисел обладает следующим свойством.

Если множество таково, что: ; ; следует, что , то

В самом деле, по условию 2) поэтому, согласно свойству 3) и и и т.д. Но любое натуральное число получается из 1 последовательным переходом от предыдущего натурального числа к последующему, поэтому , т.е. .

Итак, имеем и . По определению это означает, что .

Из свойства 2 следует так называемый принцип доказательства методом математической индукции.

Если имеется множество утверждений, каждому из которых соответствует натуральное число (его номер) и если доказано, что:

1) справедливо утверждение с номером 1;

2) из справедливости утверждения с произвольным номером следует справедливость утверждения с номером , то тем самым доказана справедливость всех рассматриваемых утверждений.

Операции натуральными числами

Операция сложения. Пусть — произвольное натуральное число. Если — какое-нибудь число из , то

Так, по индукции определяется операция, называемая сложением натуральных чисел. Например,

Операция умножения. Пусть — произвольное натуральное число. Если — какое-нибудь число из , то

Так, по индукции определяется операция, называемая умножением натуральных чисел. Например,

Для любых из и

В самом деле, при формула справедлива согласно аксиоме 2.5. Пусть равенство верно при . Покажем, что она справедлива при

$[(a_1 + a_2 +...+a_{k+1})b = [(a_1 +...+a_k) + a_{k+1}]b =]$

$[= (a_1 +...+a_k)b + a_{k+1}b = a_1b +...+ a_kb + a_{k+1}b.]$

В частности если , то

Множество целых чисел

Натуральные числа, им противоположные и нуль называются целыми числами.

Множество всех целых чисел обозначается через .

Множество рациональных чисел

Частные $frac{m}{n}$ , где называются рациональными числами (от лат. — отношение). Множество всех рациональных чисел обозначается через .

Множество иррациональных чисел

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными (от лат. — неразумный, от — отрицательная приставка к — число не являющееся рациональным. Множество всех иррациональных чисел обозначается через .

Таким образом,

Число , умноженное раз на себя, называется n-й степенью числа и обозначается через . Таким образом,

$[x^nstackrel{def}{=}underbrace{ x cdot x cdot ... cdot x}_{n};;;;;(1.5)]$

Число в степени называется основанием степени, а — показателем степени.

Для любых и полагают

$[x^0 stackrel{def}{=} 1, x^{-n} stackrel{def}{=}frac{1}{x^n} ;;;;;(1.6)]$

( не определяется).

Если то

$[x^m cdot x^n = x^{m+n}, {(x^n)}^m = x^{nm} ;;;;;(1.7)]$

для любого при и и для любого и при и .

$[x^mcdot x^n ={m} underbrace {xcdot x cdot ...cdot x}_{n} =underbrace{ x cdot x cdot ... cdot x}_{m+n} =x^{m+n}]$

$[x^mcdot x^n = x^0cdot x^n=1cdot x^n=x^n=x^{0+n}=x^{m+n};]$

$[x^mcdot x^n = x^mcdot x^0=x^mcdot 1=x^m=x^{m+0}=x^{m+n};]$

Пусть причем тогда

$[x^m cdot x^n = frac {1}{x^p} cdot x^n = frac {1}{x^p} cdot underbrace{ x cdot x cdot ... cdot x}_{p} underbrace{ x cdot x cdot ... cdot x}_{n-p } =]$

$[= {1}{x^p}cdot x^pcdot x^{n-p}=1cdot x^{n-p}=x^{n-p}=x^{n+m}.]$

Если же то в соответствии с 4.4

$[x^m cdot x^n = frac{1}{x^p} cdot x^n = frac{1}{x^n cdot x^{p-n}} cdot x^n = frac{1}{x^n} cdot frac{1}{x^{p-n}} cdot x^n = frac{1}{x^{p-n}} =]$

$[=frac{1}{x^{-m-n}} = x^{m+n}.]$

— аналогично)

Полагая и используя снова 4.4, получим:

$[x^m cdot x^n = frac{1}{x^p} cdot frac{1}{x^q} = frac{1}{x^p cdot x^q} = frac{1}{x^{p+q}} = frac{1}{x^{-m-n}} = x^{m+n}.]$

4.6. Если то

Действительно,

Навигация по записям

Оцените материал

Загрузка…

Источник

Рассматриваемая теория натуральных чисел является теорией порядковых натуральных чисел. Идея порядка заложена в отношении «непосредственно следовать за», которое, однако, затрагивает лишь соседние элементы. Сравнить два натуральных числа, не являющихся соседними, при помощи отношения «непосредственно следовать за» невозможно. Упорядочить множество натуральных чисел можно, задав на нем отношение «меньше».

Определение 5. Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.

Свойства отношения «меньше»:

1. Для любого натурального числа а справедливо а < а ,.

2. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b, а > b, а < b.

3. Если а < b и b < с, то а < с.

4. Если а < b, то неверно, что b < а.

Свойство монотонности сложения

1) а < b a + c < b + c; 2) а > b a + c > b + c.

Свойство монотонности умножения

1) а < b ac < bc;

2) а > b ac > bc.

7. Свойство Архимеда: Для любых натуральных чисел а и b; существует такое натуральное число n, что пb> а.

Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел, которые мы приводим без доказательства:

1) Ни для одного натурального числа а не существует такого натурального числа п, что а<п<а + 1. Это свойство называется свойством дискретностимножества натуральных чисел, а числа а и а + 1 называют соседними.

2)Любое непустое подмножество множества натуральных чисел содержит наименьшее число. Это свойство называется принципом наименьшего числа.

3) Если М— непустое подмножество множества натуральных чисел и существует такое число b, что для всех чисел х из М выполняется неравенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число. Это свойство называют принципом наибольшего числа.

С отношением «меньше» («больше») для натуральных чисел младшие школьники знакомятся в самом начале обучения. И часто, наряду с его теоретико-множественной трактовкой, неявно используется определение, данное нами в рамках аксиоматической теории. Например, учащиеся могут объяснить, что 9 > 7 так как 9 — это 7+2. Нередко и неявное использование свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3».

Вычитание и деление натуральных чисел

Вычитание

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.

Определение 6. Вычитанием натуральных чисел а и bназывается операция, удовлетворяющая условию: а — b = с тогда и только тогда, когда b + с = а.

Число а — bназывается разностью чисел а и b, число а – уменьшаемым, ачисло b — вычитаемым.

Теорема 13. Разность натуральных чисел а — b существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.

Доказательство (существования). Пусть разность а — b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с = а, а этозначит, что b < а.

Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с = а. Тогда, по определению разности, с = а — b, т.е. разность а — b существует.

Доказательство (единственности). Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b;: а – b = с₁ и а — b = с₂, причем с₁ ≠ с₂ . Тогда по определению разности, имеем: а = b + с₁, и а = b + с₂:. Отсюда следует, что b + с ₁ = b + с₂: и заключаем, с₁ = с₂.. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное, а верна данная теорема.▀

Исходя из определения разности натуральных чисел и условия ее существования, можно обосновать известные правила:

1) Дли того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

(а + b) — с = (a — с) + b.

2) Для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

а — (b + с) = (а — b) — с

Для того чтобы вычесть из числа разность двух чисел, достаточно к данному числу прибавить вычитаемое и из полученного числа вычесть уменьшаемое.

а — (b — с) = (а + с) — b

Деление

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.

Определение 7. Делениемнатуральных чисел а и bназывается операция, удовлетворяющая условию: а : b = с тогда и только тогда, когда b×с = а.

Число а:b называется частнымчисел а и b, число а — делимым, число b — делителем.

Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда.

Теорема 14. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b ≤ а. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Доказательство (необходимого условия существования). Пусть частное натуральных чисел а и b существует, т.е. есть такое натуральное число c, что bс = а. Так как для любого натурального числа справедливо неравенство 1 ≤ с, то, умножив обе его части на натуральное число b, получим b ≤ bс. Но bс = а, следовательно, b ≤ а.

Доказательство единственности этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел.

Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления:

1) правило деления суммы на число: для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

(а + b):с = а:с + b:с.

2) правило деления разности на число: для того, чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

(а — b):с = а: с — b:с.

3) Правило деления произведения на число: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

(а × b):с = (а:с) × b.

В начальном обучении математике определение деления как операции обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 — это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16×3 = 48. Следовательно, 48 : 16 = 3.

Рекомендуемые страницы:

Натуральные числа и их свойства

Для счёта предметов в жизни используют натуральные числа. В записи любого натурального числа используются цифры $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Последовательность натуральных чисел, каждое следующее число в котором на $1$ больше предыдущего, образует натуральный ряд, который начинается с единицы (т.к. единица- самое маленькое натуральное число) и не имеет наибольшего значения, т.е. бесконечен.

Нуль не относят к натуральным числам.

Свойства отношения следования

Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в $1891$ г. Д.Пеано:

Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.
За каждым натуральным числом следует одно и только одно число
Каждое натуральное число, отличное от $1$, следует за одним и только одним натуральным числом
Подмножество натуральных чисел, содержащее число $1$, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.

Готовые работы на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость

Если запись натурального числа состоит из одной цифры его называют однозначным (например, $2,6.9$ и т.д.), если запись состоит из двух цифр-двузначным(например,$12,18,45$) и т.д. по аналогии. Двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа называют в математике многозначными.

Свойство сложения натуральных чисел

Переместительное свойство: $a+b=b+a$
Сумма не изменяется при перестановке слагаемых
Сочетательное свойство: $a+ (b+c) =(a+b) +c$
Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом, к полученной сумме- второе слагаемое
От прибавления нуля число не измениться и если прибавить к нулю какое- нибудь число, то получится прибавленное число.

Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа $a-(b+c) =a-b-c$ если $b+c ≤ a$
Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности- второе слагаемое
Свойство вычитания числа из суммы $(a+b) -c=a+(b-c)$, если $c ≤ b$
Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое
Если из числа вычесть нуль, то число не изменится
Если из числа вычесть его само, то получится нуль

Свойства умножения

Переместительное $acdot b=bcdot a$
Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей
Сочетательное $acdot (bcdot c)=(acdot b)cdot c$
Чтобы умножить число на произведение двух чисел,можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель
При умножении на единицу произведение не изменяется $mcdot 1=m$
При умножении на нуль произведение равно нулю
Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо

Свойства умножения относительно сложения и вычитания

Распределительное свойство умножения относительно сложения
$(a+b)cdot c=ac+bc$
Для того чтобы умножить сумму на число,можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения
Например, $5(x+y)=5x+5y$
Распределительное свойство умножение относительно вычитания
$(a-b)cdot c=ac-bc$
Для того,чтобы умножить разность на число,множно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе
Например, $5(x-y)=5x-5y$

Сравнение натуральных чисел

Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ может выполняться только одно из трех соотношений $a=b$, $a
Меньшим считается число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим, которое появляется позже. Нуль меньше любого натурального числа.
если $a
Пример 1
Сравнить числа $a$ и $555$, если известно, что существует некоторое число $b$, причем выполняются соотношения: $a
Решение: На основании указанного свойства ,т.к. по условию $a
в любом подмножестве натуральных чисел, содержащем хотя бы одно число, есть наименьшее число
Подмножеством в математике называют часть множества. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества
если $a
Если $c

Часто для сравнения чисел находят их разность и сравнивают ее с нулем. Если разность больше $0$, но первое число больше второго, если разность меньше $0$, то первое число меньше второго.

Округление натуральных чисел

Когда полная точность не нужна, или не возможна ,числа округляют,т.е заменяют их близкими числами с нулями на конце.

Натуральные числа округляют до десятков, сотен,тысяч и т.д

При округлеии числа до десятков его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых десятков; у такого числа в разряде единиц стоит цифра $0$

При округлеии числа до сотен его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых сотен; у такого числа в разряде десятков и единиц должна стоять цифра $0$. И т.д

Числа,до которых округляют данное называют приближенным значением числа с точностью до указанных разрядов.Например если округлять число $564$ до десятков то получим, что округлить его можно с недостатком и получить $560$, или с избытком и получить $570$.

Правило округления натуральных чисел

Если справа от разряда, до которого округляют число, стоит цифра $5$ или цифра,большая $5$, то к цифре этого разряда прибавляют $1$; в противном случае эту цифру оставляют без изменения
Все цифры, расположенные правее разряда, до которого округляют число ,заменяют нулями

Источник

Изучение чисел традиционно начинается с натуральных чисел. Это числа вида то есть те числа, которые используются человеком для счёта.

В арифметике над натуральными числами вводятся операции сложения, вычитания, умножения и деления. Но операции вычитания и деления оказываются не всегда возможными для натуральных чисел.

Натуральные числа

Натуральные числа составляют ряд, начинающийся с 1 и охватывающий множество всех положительных целых чисел. Такая последовательность состоит из чисел 1,2,3, … . Это означает, что в натуральном ряду:

Есть наименьшее число и нет наибольшего.
Каждое следующее число больше предыдущего на 1 (исключение – сама единица).
При стремлении к бесконечности числа растут неограниченно.

Иногда в ряд натуральных чисел вводят и 0. Это допустимо, и тогда говорят о расширенном натуральном ряде.

Классы натуральных чисел

Каждая цифра натурального числа выражает определенный разряд. Самая последняя – это всегда количество единиц в числе, предыдущая перед ней – количество десятков, третья от конца – количество сотен, четвертая – количество тысяч и так далее.

Пример:

в числе 276: 2 сотни, 7 десятков, 6 единиц
в числе 1098: 1 тысяча, 9 десятков, 8 единиц; разряд сотен здесь отсутствует, поскольку выражен нулем.

Для больших и очень больших чисел можно увидеть устойчивую тенденцию (если исследовать число справа налево, то есть от последней цифры к первой):

три последних цифры в числе – это единицы, десятки и сотни;
три предыдущие – это единицы, десятки и сотни тысяч;
три стоящие перед ними (т.е.7-я, 8-я и 9-я цифры числа, считая от конца) – это единицы, десятки и сотни миллионов и т.д.

Итак:

4-й класс, следующий за классом миллионов и представляющий собой числа из 10-12 цифр, называется миллиард (либо биллион);
5-й класс – триллион;
6-й класс – квадриллион;
7-й класс – квинтиллион;
8-й класс – секстиллион;
9-й класс – септиллион.

Сложение натуральных чисел

Небольшие числа складывают (суммируют) устно, письменно такие действия записывают в строку.

Пример:

28+63=91

Многозначные числа, которые прибавлять в уме затруднительно, принято складывать в столбик.

Для этого числа записывают одно под другим, выравнивая по последней цифре, то есть пишут разряд единиц под разрядом единиц, разряд сотен под разрядом сотен и так далее. Далее нужно попарно сложить разряды.

Если сложение разрядов происходит с переходом через десяток, то этот десяток фиксируется как единица над разрядом слева (то есть следующим за ним) и суммируется вместе с цифрами этого разряда.

Пример:

Если в столбик складывается не 2, а больше чисел, то при суммировании цифр разряда избыточным может оказаться не 1 десяток, а несколько. В этом случае на следующий разряд переносится количество таких десятков.

Вычитание натуральных чисел

При переходе к сложению вычитаемое и разность превращаются в слагаемые, а уменьшаемое – в сумму. Сложением обычно проверяют правильность выполненного вычитания, и наоборот.

74–18=56
Здесь 74 – уменьшаемое, 18 – вычитаемое, 56 – разность.

Обязательным условием при вычитании натуральных чисел является следующее: уменьшаемое обязательно должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае полученная разность тоже будет натуральным числом.

Если действие вычитания осуществляется для расширенного натурального ряда, то допускается, чтобы уменьшаемое было равно вычитаемому. И результатом вычитания в этом случае будет 0.

Пример:

21–21=0

Примечание: если нулю равно вычитаемое, то операция вычитания не изменяет величины уменьшаемого.

Пример:

38–0=38

Вычитание многозначных чисел обычно производят в столбик. Записывают при этом числа так же, как и для сложения. Вычитание выполняется для соответствующих разрядов.

Если же оказывается, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то берут единицу из предыдущего (находящегося слева) разряда, которая после переноса, естественно, превращается в 10.

Эту десятку суммируют с цифрой уменьшаемого данного разряда и после этого производят вычитание. Далее при вычитании следующего разряда обязательно учитывают, что уменьшаемое стало на 1 меньше.

Произведение натуральных чисел

Действие умножение незаменимо при необходимости складывать большое количество слагаемых. Например, если нужно число 4 прибавить 7 раз, то перемножить 4 на 7 проще, нежели выполнять такое сложение: 4+4+4+4+4+4+4.

Числа, которые перемножают, называются множителями, результат умножения – произведением. Соответственно, термин «произведение» может в зависимости от контекста выражать собой как процесс умножения, так и его результат.

Многозначные числа перемножают в столбик. Для этого числа записывают так же, как и для сложения и вычитания. Рекомендуется первым (выше) записывать то из 2-х чисел, которое длиннее. В этом случае процесс умножения будет более простым, а следовательно, более рациональным.

При умножении в столбик выполняют последовательное умножение цифры каждого из разрядов второго числа на цифры 1-го числа, начиная с его конца. Найдя первое такое произведение, записывают цифру единиц, а цифру десятков держат в уме.

При умножения цифры 2-го числа на следующую цифру 1-го числа к произведению прибавляют ту цифру, которую держат в уме. И снова записывают цифру единиц полученного результата, а цифру десятков запоминают.

При умножении на последнюю цифру 1-го числа полученное таким способом число записывают полностью.

Результаты умножения цифры 2-го разряда второго числа записывают вторым рядом, сместив его на 1 клетку вправо. И так далее. В итоге будет получена «лесенка». Все получившиеся ряды цифр следует сложить (по правилу сложения в столбик). Пустые клетки при этом нужно считать заполненными нулями. Полученная сумма и есть конечное произведение.

Примеры:

Числа и их свойства

Деление натуральных чисел

Число, которое делят, называют делимым; число, на которое делят, – делителем; результат деления называется частным. Знаком деления является «:» (иногда, реже – «÷»).

Пример:

48:6=8

Здесь 48 – делимое, 6 – делитель, 8 – частное.

Не все натуральные числа можно поделить между собой. В этом случае выполняют деление с остатком. Заключается оно в том, что для делителя подбирается такой множитель, чтобы его произведение на делитель было бы числом, максимально близким по значению к делимому, но меньшим него.

Делитель умножают на этот множит