Каким свойством обладает катет прямоугольного треугольника

Введение

По определению, прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором есть прямой угол (см. Рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольный треугольник ()

В прямоугольном треугольнике только один прямой угол. Если бы их было два, то тогда сумма этих двух углов уже была бы равна , а значит, на последний угол пришлось бы , чего в треугольнике быть не может (см. Рис. 2), т. к. по теореме о сумме углов треугольника .

Рис. 2. Не существует треугольника с двумя прямыми углами.

Так что можно говорить только о треугольнике, в котором один прямой угол. Вспомним, что стороны, заключающие прямой угол – катеты, а третья сторона – напротив прямого угла – гипотенуза (см. Рис. 3).

Рис. 3. Катеты и гипотенуза

Теперь вспомним, что такое «свойство». Когда объект нам уже известен и мы пытаемся найти его характеристики, то обнаруженные характеристики и являются свойствами данного объекта. Таким образом, нам будет дан треугольник с прямым углом, а мы будем из этого делать какие-то выводы.

Свойство 1 (о сумме двух острых углов)

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна (см. Рис. 4).

Рис. 4.

Разберемся, почему речь идет именно об острых углах. Рассмотрим (см. Рис. 5).

Рис. 5. Прямоугольный

Сумма всех трех углов треугольника . Как мы знаем, один из углов прямоугольного треугольника , значит, сумма оставшихся . Из этого следует, что они острые: раз их сумма равна , то каждый из них меньше . Получили, что , то есть свойство доказано.

Свойство 2 (когда прямоугольный треугольник является равнобедренным)

Если в прямоугольном треугольнике один из углов равен , то такой треугольник – равнобедренный.

Доказательство. Пусть (см. Рис. 6).

Рис. 6. Прямоугольный треугольник с углом

Исходя из первого свойства, . Получаем, что . Тогда треугольник равнобедренный по признаку – углы при основании равны (см. Рис. 7). Значит, катеты равны .

Рис. 7. Углы при основании равны – треугольник равнобедренный

Свойство 3 (катет равен половине гипотенузы, если он лежит против угла )

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла , равен половине гипотенузы (см. Рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация свойства 3

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный . Пусть и . Нужно доказать, что (см. Рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к доказательству

Отразим зеркально относительно катета , полученную вершину назовем (см. Рис. 10).

Рис. 10. Отражение относительно катета

Раз треугольник полностью «скопирован», то , . Также заметим, что – высота и медиана образованного . Раз высота совпала с медианой, значит, – равнобедренный () (см. Рис. 11).

Рис. 11. – равнобедренный

Поскольку – равнобедренный, то . Получили, что в все углы равны, а значит, – равносторонний (см. Рис. 12).

Рис. 12. – равносторонний

Тогда , а, в свою очередь, , то есть , откуда . Что и требовалось доказать.

Свойство 4 (против катета лежит угол , если катет равен половине гипотенузы)

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол напротив этого катета равен .

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный . Пусть и . Нужно доказать, что (см. Рис. 13).

Рис. 13. Прямоугольный

Отразим зеркально относительно катета , полученную вершину назовем . Образовался (см. Рис. 14).

Рис. 14. Полученный

В известно, что , , значит, – равнобедренный. Кроме того, из третьего свойства известно, что . Значит, , а , отсюда . Тогда – равносторонний (см. Рис. 15).

Рис. 15. – равносторонний

Из этого следует, что , а тогда , т. к. – высота, медиана и биссектриса . Что и требовалось доказать.

Доказательство (медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине (см. Рис. 16).

Рис. 16. Иллюстрация к свойству прямоугольного треугольника

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный , – медиана. Нужно доказать, что . Удвоим отрезок – получим точку () (см. Рис. 17).

Рис. 17.

Соединим точку с точками и . Тогда несложно доказать, что равны по 1 признаку (соответствующие стороны попарно равны, а углы между сторонами равны как вертикальные) (см. Рис. 18).

Рис. 18. Равенство и, и равенство соответствующих элементов

Рассмотрим . .

Теперь рассмотрим и . (т. к. , – общая, – треугольники равны по первому признаку). Отсюда следует, что , тогда . Что и требовалось доказать.
Обратное тоже верно: если медиана в треугольнике равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник – прямоугольный.

Примеры

1. В прямоугольном : и . Найти угол (см. Рис. 19).

Рис. 19. Иллюстрация к примеру 1

Решение. По свойству сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , значит, .

Ответ: .

2. Один из углов прямоугольного () втрое меньше другого (). Найти острые углы треугольника и (см. Рис. 20).

Рис. 20. Иллюстрация к примеру 2

Решение. Ясно, что искомый угол – один из острых. Тогда он может быть меньше либо другого острого, либо меньше прямого, то есть нужно рассмотреть два варианта.

1. Вариант первый – острый угол втрое меньше прямого. Пусть искомый угол . Тогда . Значит, по свойству 1 .

2. Вариант второй – один острый угол втрое меньше другого острого угла. Пусть , тогда . По свойству 1 . Значит, , а тогда .

Ответ: 1. и ; 2. и .

3. В прямоугольном треугольнике катет см, . Найти катет (см. Рис. 21).

Рис. 21. Иллюстрация к примеру 3

Решение. По свойству , если , то тоже. Значит, – равнобедренный (см. Рис. 22), у которого см.

Рис. 22. – равнобедренный

Ответ: см.

4. В прямоугольном треугольнике () гипотенуза , а катет . Найти (см. Рис. 23).

Рис. 23. Иллюстрация к примеру 4

Решение

Заметим, что . По свойству 4 , т. к. лежит против катета, равного половине гипотенузы. Значит, по свойству .

Ответ: .

Заключение

На этом уроке мы познакомились с основными свойствами прямоугольных треугольников, мы перечислили их и доказали. Кроме того, были решены задачи с применением рассмотренных свойств.

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 7-9 классов. Атанасян Л.С. и др. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.

2. А.Г. Мерзляк. Геометрия 7 класс. – М.: Вентана-Граф, 2015. – 192 с.

3. А.Д. Александров, Геометрия 7 класс. – М.: Просвещение, 2013. – 176 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Инетрнет портал «Я Класс» (Источник)

2. Инетрнет портал «Kursoteka.ru» (Источник)

3. Инетрнет портал «Formula-xyz.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Катет, лежащий против угла в , равен см. Чему равна гипотенуза этого треугольника?

2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике к гипотенузе проведена медиана длиной см. Найдите гипотенузу.

3. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна см, один из острых углов треугольника равен . Найдите катет, лежащий против угла .

Источник

Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).

Прямоугольный треугольник (понятие, определение)

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Свойства прямоугольного треугольника

Формулы прямоугольного треугольника

Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник (понятие, определение):

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Гипотенуза (с греч. ὑποτείνουσα – «натянутая») – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу.

Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами. Катет (с греч. κάθετος – «перпендикуляр, опущенный, отвесный») – одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол.

Для непрямоугольного треугольника гипотенуза и катеты не существуют.

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

АВ, АС – катеты прямоугольного треугольника, ВС – гипотенуза прямоугольного треугольника, ∠ ВАС = 90°

Равнобедренный треугольник может быть прямоугольным (равнобедренным прямоугольным треугольником).

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый острый угол равен 45°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Признаки равенства прямоугольных треугольников основаны и вытекают из общих признаков равенства треугольников.

1. Равенство по двум катетам.

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 2. Равенство прямоугольных треугольников по двум катетам

Рис. 2. Равенство прямоугольных треугольников по двум катетам

АВ = А1В1, АС = А1С1

2. Равенство по катету и прилежащему острому углу.

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 3. Равенство прямоугольных треугольников по катету и прилежащему углу

Рис. 3. Равенство прямоугольных треугольников по катету и прилежащему углу

АВ = А1В1, ∠АВС = ∠А1В1С1

3. Равенство по гипотенузе и острому углу.

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 4. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Рис. 4. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

ВС = В1С1, ∠АВС = ∠А1В1С1

4. Равенство по гипотенузе и катету.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 5. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Рис. 5. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

ВС = В1С1, АС = А1С1

5. Равенство по катету и противолежащему острому углу.

Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 6. Равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу

АС = А1С1, ∠АВС = ∠А1В1С1

Свойства прямоугольного треугольника:

1. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°.

2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.

И наоборот, если в прямоугольном треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Рис. 7. Прямоугольный треугольник с острым углом 30˚

Рис. 7. Прямоугольный треугольник с острым углом 30˚

b = c / 2

3. Теорема Пифагора:

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

c2 = a2 + b2 ,

где a, b – катеты, c – гипотенуза.

Рис. 8. Прямоугольный треугольник

Рис. 8. Прямоугольный треугольник

4. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

И соответственно радиус описанной окружности (R) равен половине гипотенузы.

где c – гипотенуза.

Рис. 9. Прямоугольный треугольник и описанная окружность

Рис. 9. Прямоугольный треугольник и описанная окружность

5. В прямоугольном треугольнике медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Рис. 10. Прямоугольный треугольник и медиана, падающая на гипотенузу

Рис. 10. Прямоугольный треугольник и медиана, падающая на гипотенузу

АМ – медиана прямоугольного треугольника, падающая на гипотенузу, АМ = ВМ = МС, АМ = ВС/2

6. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника подобные исходному.

Рис. 11. Прямоугольный треугольник и высота, проведенная из вершины прямого угла

Рис. 11. Прямоугольный треугольник и высота, проведенная из вершины прямого угла

АВ/ВС = АН/АС = ВН/АВ

Формулы прямоугольного треугольника:

Пусть a и b – длины катетов прямоугольного треугольника, с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника, h – высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе (АН), R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 9, 11, 12).

Формулы сторон прямоугольного треугольника (a, b, c) по теореме Пифагора:

c2 = a2 + b2 ,

a2 = c2 – b2 ,

b2 = c2 – a2 .

Формула радиуса вписанной окружности (r):

Рис. 12. Прямоугольный треугольник и вписанная окружность

Рис. 12. Прямоугольный треугольник и вписанная окружность

Формула радиуса описанной окружности (R):

Формулы площади (S) прямоугольного треугольника:

Формулы высоты (h)прямоугольного треугольника:

Каким свойством обладает катет прямоугольного треугольника .

Квадрат

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Ромб

карта сайта

Коэффициент востребованности
12 406

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 25 февраля 2020;
проверки требуют 13 правок.

Прямоугольный треугольник

Πрямоуго́льный треугóльник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть 90 градусов).

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника лежат в основе тригонометрии.

Связанные определения[править | править код]

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой (сторона c на рисунке выше).
Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами. Сторона a может быть идентифицирована как прилежащая к углу В и противолежащая углу A, а сторона b — как прилежащая к углу A и противолежащая углу В.

Типы прямоугольных треугольников[править | править код]

Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника являются натуральными числами, то треугольник называется пифагоровым треугольником, а длины его сторон образуют так называемую пифагорову тройку.

Признаки равенства прямоугольных треугольников[править | править код]

По двум катетам: если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Этот признак немедленно следует из первого признака равенства треугольников, так как у двух треугольников будут равны по два катета и прямой угол.

По катету и прилежащему острому углу: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны
Этот признак немедленно следует из второго признака равенства треугольников, так как у двух треугольников будут равен один катет, прилежащий к нему угол и прямой угол.

По гипотенузе и острому углу: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Этот признак следует из второго признака равенства треугольников, так как вторые острые углы будут равны по теореме о сумме углов треугольника и у треугольников будут равны гипотенузы и два прилежащих к ней угла.

По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Этот признак докажем так. Наложим два треугольника друг на друга так, чтобы получить равнобедренный треугольник, то есть совместим их равными катетами так, чтобы углы, лежащие при этих катетах, лежали в разных плоскостях. Так как гипотенузы равны, получившийся треугольник — равнобедренный, тогда углы при основании равны. Тогда два прямоугольных треугольника будут равны по гипотенузе и острому углу.

По катету и противолежащему острому углу: если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Этот признак доказывается так: если один из острых углов первого треугольника равен острому углу второго треугольника, то второй острый угол будет известен по теореме о сумме углов треугольника. Так как второй острый угол прилегает к катету, то далее равенство треугольников будет доказываться по предыдущей теореме.

Свойства[править | править код]

Далее предполагаем, что и длины катетов, а длина гипотенузы

(Теорема Пифагора)

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух его катетов. То есть,

Высота[править | править код]

Высота прямоугольного треугольника.

Если высота проведена к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу. Из этого следует, что в обозначениях, показанных на диаграмме:[1]

Высота есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) двух образованных ею сегментов гипотенузы, то есть

(иногда это называют теоремой высоты прямоугольного треугольника)

Каждый катет треугольника есть среднее геометрическое гипотенузы и проекции катета на гипотенузу, то есть

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу в таком отношении, в каком находятся квадраты прилежащих катетов, то есть

Кроме того высота, опущенная на гипотенузу, связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением:[2][3]

Также если прямоугольный треугольник является равнобедренным, то высота, опущенная на гипотенузу будет равна:

, где — это радиус вписанной окружности, а — серебряное сечение.

Характеристики[править | править код]

Треугольник ABC со сторонами a, b, c (где c — самая длинная сторона), с описанной окружностью радиуса R является прямоугольным треугольником тогда и только тогда, когда верно любое из следующих соотношений:[4]

Тригонометрические соотношения[править | править код]

Тригонометрические функции для острых углов можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника. Для любого данного угла можно построить прямоугольный треугольник, содержащий такой угол, и со сторонами: противолежащим катетом, прилежащим катетом и гипотенузой, связанными с этим углом определёнными выше соотношениями. Эти отношения сторон не зависят от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, а зависят только от заданного угла, так как все треугольники, построенные таким образом, являются подобными. Если для заданного угла α, противолежащий катет, прилежащий катет и гипотенузу обозначить a, b и c соответственно, то тригонометрические функции имеют вид:

И таким образом:

Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла

Катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла

Катет, противолежащий углу, равен произведению второго катета на тангенс угла

Катет, прилежащий углу, равен произведению второго катета на котангенс угла

Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, и/или частному отношению катета и косинуса прилежащего угла (угла между ними)

Специальные прямоугольные треугольники[править | править код]

Значения тригонометрических функций можно точно оценить для определённых углов, используя прямоугольные треугольники с особыми значениями углов. К таким треугольникам относятся треугольник 30-60-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для любых значений, кратных π/6, и треугольник 45-45-90 (равнобедренный прямоугольный), который можно использовать для оценки тригонометрических функций для значений, кратных π/4.
В частности,

Катет, лежащий против острого угла в 30° (и соответственно, прилежащий к углу в 60°), равен половине гипотенузы.

Теорема Фалеса[править | править код]

Медиана прямого угла треугольника

Теорема Фалеса утверждает, что если какая-нибудь точка A лежит на окружности диаметра BC (за исключением самих точек B и C), то △ABC представляет собой прямоугольный треугольник с прямым углом A. Обратное утверждение таково: если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то гипотенуза будет её диаметром. Следствием является то, что длина гипотенузы равна удвоенному расстоянию от вершины прямого угла до середины гипотенузы. Верно также, что центр окружности, описывающей прямоугольный треугольник, является серединой гипотенузы, а её радиус равен половине длины гипотенузы.

Другие свойства[править | править код]

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c равен:

Если отрезки длиной p и q, исходящие из вершины C, делят гипотенузу на три равных отрезка длины c/3, то:[5]:pp. 216-217

Прямоугольный треугольник является единственным треугольником с двумя, а не тремя, отличными друг от друга вписанными квадратами.[6]

Пусть h и s (h>s) являются сторонами двух квадратов, вписанных в прямоугольный треугольник с гипотенузой c. Тогда:

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме двух радиусов вписанной и четырех описанных окружностей:

Если заданы S и r, то стороны треугольника находятся по формулам:

Во всех прямоугольных треугольниках медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Окружность девяти точек касается описанной окружности того же треугольника в единственном случае, если треугольник прямоугольный. При этом касание двух окружностей идет в вершине прямого угла треугольника.

Вариации и обобщение[править | править код]

Четырёхугольники с перпендикулярными парами элементов: с 2 перпендикулярными сторонами и с 2 перпендикулярными диагоналями,- вырождаются в прямоугольный треугольник, если длина одной нужной стороны (из их 4 сторон), лежащей вблизи прямого угла или же опирающейся концами на этот угол, стремится к нулю.

Если в прямоугольном треугольнике провести отрезок, параллельный его гипотенузе, то он разрежет этот треугольник на подобный ему же прямоугольный треугольник и трапецию. При этом сумма углов при одном из оснований трапеции будет равна 90°, а продолжения боковых сторон трапеции пересекутся под прямым углом. Тогда отрезок, соединяющий середины оснований указанной трапеции, равен полуразности оснований. Данное утверждение обобщает свойство: медиана прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна половине длины гипотенузы.

Примечания[править | править код]

↑ Wentworth p. 156
↑ Voles, Roger, «Integer solutions of ,» Mathematical Gazette 83, July 1999, 269—271.
↑ Richinick, Jennifer, «The upside-down Pythagorean Theorem, » Mathematical Gazette 92, July 2008, 313—317.
↑ Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, «Complex Numbers from A to…Z», Birkhäuser, 2006, pp. 109—110.
↑ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.
↑ Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, «Squares inscribed in angles and triangles», Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278—284.

Ccылки[править | править код]

Calculator for right triangles
Weisstein, Eric W. Right Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Wentworth, G.A. A Text-Book of Geometry (неопр.). — Ginn & Co., 1895.

Источник