Каким свойствами обладают основания призмы
Определение.
Призма — это многогранная объемная фигура, которая состоит из двух одинаковых плоских многоугольников (основ), находящихся в двух параллельных плоскостях, а другие грани (боковые грани) — параллелограммы, что имеют общие стороны с этими многоугольниками.
Определение. Основы призмы — две грани, которые являются равными параллельными плоскими многоугольниками (ABCEF, GMNJK).
Определение. Боковые грани призмы — все остальные грани за исключением основ.
Определение. Боковая поверхность призмы — совокупность всех боковых граней призмы.
Определение. Поверхность призмы — это совокупность поверхностей двух оснований и боковой поверхности.
Определение. Боковое ребро призмы — общая сторона двух боковых граней.
Определение. Высота — это перпендикуляр, который соединяет две основы призмы под прямым углом.
Определение. Диагональ основания призмы — это отрезок, соединяющий две не соседние вершины, принадлежащие этой же основе.
Определение. Диагональ боковой грани призмы — это отрезок, соединяющий две противоположные вершины, лежащие на одной боковой грани однако принадлежат различным основам.
Определение. Диагональ призмы (AN) — это отрезок, соединяющий две вершины, лежащие на разных основаниях, но не лежат на одной боковой стороне.
Определение. Диагональное сечение — это пересечение призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания призмы и боковое ребро. Треугольная призма (в основе призмы треугольники) не имеет диагональных сечений.
Определение. Перпендикулярное сечение — это пересечение призмы плоскостью, пересекающей боковые ребра призмы под прямым углом.
Определение. Прямая призма — это призма, в которой все боковые грани перпендикулярны к основанию. Высота равна длине бокового ребра.
Определение. Наклонная призма — это призма, в которой боковые грани не перпендикулярны к основанию.
Определение. Правильная призма — это призма, в которой основы являются правильными многоугольниками. Правильная призма может быть, как прямой, так и наклонной.
Определение. Усечённая призма — это призма, в которой две основы не параллельны (рис. 2). Усечённая призма может быть, как прямой, так наклонной.
Объём призмы
Формула. Объём призмы через площадь основания и высоту:
V = SоснH
Формула. Объём наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра:
V = SпL
Формула.
Объём правильной прямой призмы через высоту (h), длину стороны (a) и количество сторон (n):
Площадь поверхности призмы
Формула. Площадь боковой поверхности призмы через периметр основания и высоту:
Sb = P·h
Формула. Площадь поверхности призмы через площадь основания, периметр основания и высоту:
S = 2Soсн + P·h
Формула.
Площадь поверхности правильной призмы через высоту (h), длину стороны (a) и количество сторон (n):
Основные свойства призмы
Основы призмы — равные многоугольники.
Боковые грани призмы — параллелограммы.
Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
В прямой призме гранями могут быть прямоугольниками или квадратами.
Êëèêíèòå, ÷òîáû äîáàâèòü â èçáðàííûå ñåðâèñû.
Êëèêíèòå, ÷òîáû óäàëèòü èç èçáðàííûõ ñåðâèñîâ.
Ïðèçìà ìíîãîãðàííèê, 2 ãðàíè ýòî êîíãðóýíòíûå (ðàâíûå) ìíîãîóãîëüíèêè, êîòîðûå ëåæàò â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, à îñòàâøèåñÿ ãðàíè ïàðàëëåëîãðàììû, èìåþùèå îáùèå ñòîðîíû ñ ýòèìè ìíîãîóãîëüíèêàìè.
Ïðèçìà — ìíîãîãðàííèê, 2 ãðàíè ýòî êîíãðóýíòíûå (ðàâíûå) ìíîãîóãîëüíèêè, êîòîðûå ëåæàò â
ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, à îñòàâøèåñÿ ãðàíè — ïàðàëëåëîãðàììû, èìåþùèå îáùèå ñòîðîíû ñ
ýòèìè ìíîãîóãîëüíèêàìè. Ëèáî (÷òî òîæå ñàìîå) — ýòî ìíîãîãðàííèê, îñíîâàíèÿìè êîòîðîãî
ÿâëÿþòñÿ ðàâíûå ìíîãîóãîëüíèêè, à áîêîâûìè ãðàíÿìè — ïàðàëëåëîãðàììû.
Ïðèçìà ÿâëÿåòñÿ ðàçíîâèäíîñòüþ öèëèíäðà.
Ýëåìåíòû ïðèçìû.
Îñíîâàíèÿ (ABCDE, KLMNP) – 2 ãðàíè, ÿâëÿþùèåñÿ êîíãðóýíòíûìè ìíîãîóãîëüíèêàìè, êîòîðûå ëåæàò â ïëîñêîñòÿõ, ïàðàëëåëüíûõ äðóã äðóãó. Áîêîâûå ãðàíè (ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP) – êàæäàÿ èç ãðàíåé, íå ñ÷èòàÿ îñíîâàíèé. Âñå áîêîâûå ãðàíè – ýòî ïàðàëëåëîãðàììû. Áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü – ñóììà áîêîâûõ ãðàíåé. Ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü – ñóììà îñíîâàíèÿ è áîêîâîé ïîâåðõíîñòè. Áîêîâûå ðåáðà (AK, BL, CM, DN, EP) – îáùèå ñòîðîíû áîêîâûõ ãðàíåé. | |
Âûñîòà (KR) – îòðåçîê, êîòîðûé ñîåäèíÿåò ïëîñêîñòè, â íèõ ëåæàò îñíîâàíèÿ ïðèçìû. Îí
ïåðïåíäèêóëÿðåí ýòèì ïëîñêîñòÿì.
Äèàãîíàëü (BP) – îòðåçîê, êîòîðûé ñîåäèíÿåò 2 âåðøèíû ïðèçìû, êîòîðûå íå ïðèíàäëåæàò îäíîé
ãðàíè.
Äèàãîíàëüíàÿ ïëîñêîñòü – ïëîñêîñòü, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç áîêîâîå ðåáðî ïðèçìû, à òàêæå
äèàãîíàëü îñíîâàíèÿ.
Äèàãîíàëüíîå ñå÷åíèå (EBLP) – ïåðåñå÷åíèå ïðèçìû è äèàãîíàëüíîé ïëîñêîñòè.  ñå÷åíèè ïîëó÷àåòñÿ
ïàðàëëåëîãðàìì, ëèáî — ðîìá, ïðÿìîóãîëüíèê, êâàäðàò.
Ïåðïåíäèêóëÿðíîå (îðòîãîíàëüíîå) ñå÷åíèå – ïåðåñå÷åíèå ïðèçìû è ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé
áîêîâîìó ðåáðó ïðèçìû.
Ñâîéñòâà ïðèçìû.
- Îñíîâàíèÿ ïðèçìû – ýòî ðàâíûå ìíîãîóãîëüíèêè.
- Áîêîâûå ãðàíè ïðèçìû èìåþò âèä ïàðàëëåëîãðàììà.
- Áîêîâûå ðåáðà ïðèçìû ïàðàëëåëüíûå è ðàâíû.
- Ïëîùàäü ïîëíîé ïîâåðõíîñòè ïðèçìû = ñóììå ïëîùàäè å¸ áîêîâîé ïîâåðõíîñòè è äâîéíîé
ïëîùàäè îñíîâàíèÿ.
- Ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ïðîèçâîëüíîé ïðèçìû:
S=P*l,
ãäå P — ïåðèìåòð ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ, l — äëèíà áîêîâîãî ðåáðà.
- Ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ïðÿìîé ïðèçìû:
S=P*h,
ãäå P — ïåðèìåòð îñíîâàíèÿ ïðèçìû, h — âûñîòà ïðèçìû.
- Ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî âñåì áîêîâûì ð¸áðàì ïðèçìû.
- Óãëû ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ — ýòî ëèíåéíûå óãëû äâóãðàííûõ óãëîâ ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ
áîêîâûõ ð¸áðàõ.
- Ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî âñåì áîêîâûì ãðàíÿì.
- Îáúåì ïðèçìû ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè îñíîâàíèÿ ïðèçìû, íà âûñîòó.
Ôîðìóëà îáúåìà ïðèçìû: V = Soh ãäå V — îáúåì ïðèçìû, So — ïëîùàäü îñíîâàíèÿ ïðèçìû, h — âûñîòà ïðèçìû. |  |
Ïðèâàëüíàÿ ÷åòûðåõóãîëüíàÿ ïèðàìèäà.
Ñâîéñòâà ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïðèçìû.
- Îñíîâàíèÿ ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïðèçìû – ýòî 2 îäèíàêîâûõ êâàäðàòà;
- Âåðõíåå è íèæíåå îñíîâàíèÿ ïàðàëëåëüíû;
- Áîêîâûå ãðàíè èìåþò âèä ïðÿìîóãîëüíèêîâ;
- Âñå áîêîâûå ãðàíè ðàâíû ìåæäó ñîáîé;
- Áîêîâûå ãðàíè ïåðïåíäèêóëÿðíû îñíîâàíèÿì;
- Áîêîâûå ðåáðà ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé è ðàâíû;
- Ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî âñåì áîêîâûì ðåáðàì è ïàðàëëåëüíî îñíîâàíèÿì;
- Óãëû ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ — ïðÿìûå;
- Äèàãîíàëüíîå ñå÷åíèå ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïðèçìû ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì;
- Ïåðïåíäèêóëÿðíîå (îðòîãîíàëüíîå ñå÷åíèå) ïàðàëëåëüíî îñíîâàíèÿì.
Ôîðìóëû äëÿ ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïðèçìû.
Âèäû ïðèçì.
Ïðèçìà, ó êîòîðîé â îñíîâàíèè ëåæèò ïàðàëëåëîãðàìì, ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëåïèïåäîì.
Ïðÿìàÿ ïðèçìà — ýòî ïðèçìà, ñ ïåðïåíäèêóëÿðíûìè áîêîâûìè ðåáðàìè îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ.
Îñòàëüíûå ïðèçìû ÿâëÿþòñÿ íàêëîííûìè.
Ïðàâèëüíàÿ ïðèçìà — ïðÿìàÿ ïðèçìà, â îñíîâàíèè ó íåå ëåæèò ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê. Áîêîâûå
ãðàíè òàêîé ïðèçìû — îäèíàêîâûå ïðÿìîóãîëüíèêè.
Ïðàâèëüíàÿ ïðèçìà, ó êîòîðîé áîêîâûå ãðàíè – êâàäðàòû (âûñîòà ðàâíà ñòîðîíå îñíîâàíèÿ), íàçûâàåòñÿ
ïîëóïðàâèëüíûì ìíîãîãðàííèêîì.
Äîïîëíèòåëüíûå ìàòåðèàëû ïî òåìå: Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Ïðèçìà. Îáúåì ïðèçìû.
|
| ||||||||||||
|
| ||||||||||||
У этого термина существуют и другие значения, см. Призма.
При́зма (лат. prisma от др.-греч. πρίσμα «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.
Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.
Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма, четырёхугольник — четырёхугольная; пятиугольник — пятиугольная (пентапризма) и т. д.
Призма является частным случаем цилиндра в общем смысле (некругового).
Элементы призмы[править | править код]
| Название | Определение | Обозначения на чертеже | Чертеж |
| Основания | Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных друг другу плоскостях. | , | |
| Боковые грани | Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. | , , , , | |
| Боковая поверхность | Объединение боковых граней. | ||
| Полная поверхность | Объединение оснований и боковой поверхности. | ||
| Боковые рёбра | Общие стороны боковых граней. | , , , , | |
| Высота | Отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям. | ||
| Диагональ | Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. | ||
| Диагональная плоскость | Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. | ||
| Диагональное сечение | Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат. | ||
| Перпендикулярное (ортогональное) сечение | Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру. |
Свойства призмы[править | править код]
- Основания призмы являются равными многоугольниками.
- Боковые грани призмы являются параллелограммами.
- Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
- Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:
- Объём призмы с правильным n-угольным основанием равен
(здесь s — длина стороны многоугольника).
- Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
- Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
- Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
- Двойственным многогранником прямой призмы является бипирамида.
Виды призм[править | править код]
Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.
Прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками[1].
Прямая прямоугольная призма называется также прямоугольным параллелепипедом. Символ Шлефли такой призмы — { }×{ }×{ }.
Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.
Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником. Символ Шлефли такой призмы — t{2,p}.
Усечённая треугольная призма
Прямые призмы с правильными основаниями и одинаковыми длинами рёбер образуют одну из двух бесконечных последовательностей полуправильных многогранников (другую последовательность образуют антипризмы).
Наклонными называются призмы, рёбра которых не перпендикулярны плоскости основания.
Усечённая призма — многогранник, который отсекается от призмы непараллельной основанию плоскостью[2]. Усечённая призма сама призмой не является.
Диаграммы Шлегеля[править | править код]
Симметрия[править | править код]
Группой симметрии прямой n-угольной призмы с правильным основанием является группа Dnh порядка 4n, за исключением куба, который имеет группу симметрии Oh[en] порядка 48, содержащую три версии D4h в качестве подгрупп. Группой вращений[en] является Dn порядка 2n, за исключением случая куба, для которого группой вращений является группа O[en] порядка 24, имеющая три версии D4 в качестве подгрупп.
Группа симметрии Dnh включает центральную симметрию в том и только в том случае, когда n чётно.
Обобщения[править | править код]
Призматические многогранники[править | править код]
Призматический многогранник — это обобщение призмы в пространствах размерности 4 и выше. n-мерный призматический многогранник конструируется из двух (n − 1)-мерных многогранников, перенесённых в следующую размерность.
Элементы призматического n-мерного многогранника удваиваются из элементов (n − 1)-мерного многогранника, затем создаются новые элементы следующего уровня.
Возьмём n-мерный многогранник с элементами (i-мерная грань, i = 0, …, n). Призматический ()-мерный многогранник будет иметь элементов размерности i (при , ).
По размерностям:
Однородные призматические многогранники[править | править код]
Правильный n-многогранник, представленный символом Шлефли {p, q, …, t}, может образовать однородный призматический многогранник размерности (n + 1), представленный прямым произведением двух символов Шлефли: {p, q, …, t}×{}.
По размерностям:
- Призма из 0-мерного многогранника — это отрезок, представленный пустым символом Шлефли {}.
- Призма из 1-мерного многогранника — это прямоугольник, полученный из двух отрезков. Эта призма представляется как произведение символов Шлефли {}×{}. Если призма является квадратом, запись можно сократить: {}×{} = {4}.
- Пример: Квадрат, {}×{}, два параллельных отрезка, соединённые двумя другими отрезками, сторонами.
- многоугольная призма — это 3-мерная призма, полученная из двух многоугольников (один получен параллельным переносом другого), которые связаны прямоугольниками. Из правильного многоугольника {p} можно получить однородную n-угольную призму, представленную произведением {p}×{}. Если p = 4, призма становится кубом: {4}×{} = {4, 3}.
- Пример: Пятиугольная призма, {5}×{}, два параллельных пятиугольника связаны пятью прямоугольными сторонами.
- 4-мерная призма, полученная из двух многогранников (один получен параллельным переносом другого), со связывающими 3-мерными призматическими ячейками. Из правильного многогранника {p, q} можно получить однородную 4-мерную призму, представленную произведением {p, q}×{}. Если многогранник является кубом и стороны призмы тоже кубы, призма превращается в тессеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
- Пример: додекаэдральная призма[en], {5, 3}×{}, два параллельных додекаэдра, соединённых 12 пятиугольными призмами (сторонами).
- …
Призматические многогранники более высоких размерностей также существуют как прямые произведения двух любых многогранников. Размерность призматического многогранника равна произведению размерностей элементов произведения. Первый пример такого произведения существует в 4-мерном пространстве и называется дуопризмами, которые получаются произведением двух многоугольников. Правильные дуопризмы представляются символом {p}×{q}.
Скрученная призма и антипризма[править | править код]
Скрученная призма — это невыпуклый призматический многогранник, полученный из однородной q-угольной путём деления боковых граней диагональю и вращения верхнего основания, обычно на угол радиан ( градусов), в направлении, при котором стороны становятся вогнутыми[3][4].
Скрученная призма не может быть разбита на тетраэдры без введения новых вершин. Простейший пример с треугольными основаниями называется многогранником Шёнхардта.
Скрученная призма топологически идентична антипризме, но имеет половину симметрий: Dn, [n,2]+, порядка 2n. Эту призму можно рассматривать как выпуклую антипризму, у которой удалены тетраэдры между парами треугольников.
Связанные многогранники и мозаики[править | править код]
Симметрии[править | править код]
Призмы топологически являются частью последовательности однородных усечённых многогранников с конфигурациями вершин (3.2n.2n) и [n,3].
| Варианты симметрии *n32 усечённых мозаик: 3.2n.2n | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия *n32 [n,3] | Сферическая | Евклидова[en]* | Компактная гиперболич. | Параком- пактная | Некомпактная гиперболич. | ||||||
| *232 [2,3] | *332 [3,3] | *432 [4,3] | *532 [5,3] | *632 [6,3] | *732 [7,3] | *832 [8,3]… | *∞32 [∞,3] | [12i,3] | [9i,3] | [6i,3] | |
| Усечённые фигуры | |||||||||||
| Конфигурация[en]* | 3.4.4 | 3.6.6 | 3.8.8 | 3.10.10 | 3.12.12[en] | 3.14.14[en] | 3.16.16[en] | 3.∞.∞[en] | 3.24i.24i | 3.18i.18i | 3.12i.12i |
| Разделённые фигуры | |||||||||||
| Конфигурация[en]* | V3.4.4 | V3.6.6 | V3.8.8 | V3.10.10 | V3.12.12[en] | V3.14.14[en] | V3.16.16 | V3.∞.∞ | |||
Призмы топологически являются частью последовательности скошенных многогранников с вершинными фигурами (3.4.n.4) и мозаик на гиперболической плоскости. Эти вершинно транзитивные фигуры имеют (*n32) зеркальную симметрию[en].
Соединение многогранников[править | править код]
Существует 4 однородных соединения треугольных призм:
Соединение четырёх треугольных призм[en], соединение восьми треугольных призм[en], соединение десяти треугольных призм[en], соединение двенадцати треугольных призм[en].
Соты[править | править код]
Существует 9 однородных сот, включающих ячейки в виде треугольных призм:
- гироудлинённые альтернированные кубические соты[en],
- удлинённые альтернированные кубические соты[en],
- повёрнутые треугольные призматические соты,
- плосконосые квадратные призматические соты[en],
- треугольные призматические соты,
- треугольно-шестиугольные призматические соты,
- усечённые шестиугольные призматические соты,
- ромботришестиугольные призматические соты,
- плосконосые шестиугольные призматические соты,
- удлинённые треугольные призматические соты.
Связанные многогранники[править | править код]
Треугольная призма является первым многогранником в ряду полуправильных многогранников[en]. Каждый последующий однородный многогранник содержит в качестве вершинной фигуры предыдущий многогранник. Торольд Госсет[en] идентифицировал эту серию в 1900 как содержащую все фасеты правильных многомерных многогранников, все симплексы и ортоплексы (правильные треугольники и квадраты для случая треугольных призм). В нотации Коксетера треугольная призма задаётся символом −121.
| k21[en] в пространстве размерности n | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Пространство | Конечное | Евклидово | Гиперболическое | ||||||||
| En[en] | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
| Группа Коксетера | E₃=A₂A₁ | E₄=A₄ | E₅=D₅ | E₆ | E₇[en] | E₈ | E₉ = Ẽ₈ = E₈+ | E₁₀ = T₈ = E₈++ | |||
| Диаграмма Коксетера | |||||||||||
| Симметрия[en] | [3−1,2,1] | [30,2,1] | [31,2,1] | [32,2,1] | [33,2,1] | [34,2,1] | [35,2,1] | [36,2,1] | |||
| Порядок | 12 | 120 | 192 | 51 840 | 2 903 040 | 696 729 600 | ∞ | ||||
| Граф | — | — | |||||||||
| Обозначение | −121 | 021 | 121 | 221[en] | 321[en] | 421[en] | 521[en] | 621[en] | |||
Четырёхмерное пространство[править | править код]
Треугольная призма служит ячейкой во множестве четырёхмерных однородных 4-мерных многогранников[en], включая:
См. также[править | править код]
- Параллелограмм
- Антипризма
- Параллелепипед
Примечания[править | править код]
Литература[править | править код]
- William F. Kern, James R. Bland. Solid Mensuration with proofs. — 1938.
- Catherine A. Gorini. The facts on file: Geometry handbook. — New York: Infobase Publishing, 2003. — (Facts on file). — ISBN 0-8160-4875-4.
- Anthony Pugh. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7.
Ссылки[править | править код]
- Weisstein, Eric W. Prism (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- George Olshevsky. «Prismatic polytope». Glossary for Hyperspace.
- Nonconvex Prisms and Antiprisms (недоступная ссылка с 12-03-2018 [847 дней])
- Surface Area MATHguide
- Volume MATHguide
- Paper models of prisms and antiprisms Развёртки призм и антипризм
- Paper models of prisms and antiprisms Развёртки, созданные системой Stella[en].
- Stella: Polyhedron Navigator: Программы для создания 3D- и 4D-изображений, приведённых на этой странице.