Каким свойствами обладает длина отрезка
В геометрии длина — это величина, характеризующая протяженность отрезка.
Определение. Длиной отрезка называется неотрицательная величина, обладающая следующими свойствами:
1) равные отрезки имеют равные длины;
2) если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
Эти свойства длины отрезка используются при ее измерении. Чтобы измерить длину отрезка, нужно иметь единицу длины, такой единицей является длина произвольного отрезка. Результатом измерения длины отрезка х является неотрицательное действительное число, обозначим его т(х). Это число называют численным значением длины отрезка х при выбранной единице длины или просто длиной.
Такое число всегда существует и единственно. Для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
Из определения длины отрезка следуют известные свойства численных значений длин. Сформулируем некоторые из них, считая, что единица длины выбрана.
1. Если два отрезка равны, то численные значения их длин также равны, и обратно: если численные значения длин двух отрезков равны, то равны и сами отрезки.
х = y <=> т(х) = т(у)
2. Если отрезок х состоит из отрезков х, и х2, то численное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков х, и х2. Справедливо и обратное утверждение.
х = х1 х2 <=> т(х) = т(х1) + т(х2)
3. При замене единицы длины численное значение длины увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.
4. Численное значение длины единичного отрезка равно единицы.
Рассмотрим процесс измерение длин отрезков. Из множество отрезков выбирают какой – нибудь отрезок е и принимают его за единицу длины. На отрезке а от одного из его концов откладывают последовательно отрезки, равные е, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки, равные е отложились п раз и конец последнего совпал с концом отрезка а, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число п, и пишут а = пе. Если же отрезки, равные е, отложились п раз и остался еще остаток, меньшее, то на нем откладывают отрезки равные е1= 1/10 ∙е. Если они отложились точно п1 раз, то тогда а = п1е и значение длины отрезка а есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок е1отложился п1 раз и остался еще остаток, меньшей е1, то на нем откладывают отрезки равные е2 = 1/100 ∙ е. Если представить этот процесс бесконечно продолжительным, то получим, что значение длины отрезка а есть бесконечная десятичная дробь.
Итак, при выбранной единицы длина любого отрезка выражается положительными числами.
На практике для измерения длин отрезков используются различные инструменты, в частности линейка с нанесенными на ней единицами длины.
При решении практических задач используются стандартные единицы длины: миллиметр (мм), сантиметр (см), метр (м), километр (км) и др.
Соотношение между ними:
1 километр (км) = 1000 метрам (м)
1 метр (м) = 10 дециметрам (дм) = 100 сантиметрам (см)
1 дециметр (дм) = 10 сантиметрам (см)
1 сантиметр (см) = 10 миллиметрам (мм)
Дата добавления: 2015-04-18; просмотров: 385; Нарушение авторских прав
Понятие длины отрезка и ее измерения были уже использованы неоднократно, в частности, когда рассматривали натуральное число как меру величины. В этом пункте мы только обобщим представления о длине отрезка как геометрической величине.
В геометрии длина — это величина, характеризующая протяженность отрезка, а также других линий (ломаной, кривой). В нашем курсе будет рассмотрено только понятие длины отрезка. При его определении будем использовать введенное в теме 18 понятие «отрезок состоит из отрезков».
Определение.Длиной отрезка называется положительная величина, обладающая следующими свойствами: 1) равные отрезки имеют равные длины; 2) если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
Эти свойства длины отрезка используются при ее измерении. Чтобы измерить длину отрезка, нужно иметь единицу длины. В геометрии такой единицей является длина произвольного отрезка.
Как показано в теме 18, результатом измерения длины отрезка является положительное действительное число — его называют численным значением длины отрезка при выбранной единице длины или мерой длины данного отрезка. Если обозначить длину отрезка буквой X, единицу длины — Е, а получаемое при измерении действительное число — буквой а, то можно записать: а=mЕ (Х) или Х = а∙Е.
Получаемое при измерении длины отрезка положительное действительное число должно удовлетворять ряду требований:
1. Если два отрезка равны, то численные значения их длин тоже равны.
2. Если отрезок х состоит из отрезков х1 и х2, то численное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков х1 и х2.
3. При замене единицы длины численное значение длины данного отрезка увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.
4. Численное значение длины единичного отрезка равно единице.
Доказано, что положительное действительное число, являющееся мерой длины заданного отрезка, всегда существует и единственно. Доказано также, что для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
Заметим, что часто, ради краткости речи, численное значение длины отрезка называют просто длиной. Например, в задании «Найдите длину данного отрезка» под словом «длина» подразумевается численное значение длины отрезка. Не менее часто допускают и другую вольность — говорят: «Измерь отрезок» вместо «Измерь длину отрезка».
Задача. Построить отрезок, длина которого 3,2Е. Каким будет численное значение длины этого отрезка, если единицу длины Е увеличить в 3 раза ?
Решение. Построим произвольный отрезок и будем считать его единичным. Затем построим прямую, отметим на ней точку А и отложим от нее 3 отрезка, длины которых равны Е. Получим отрезок АВ, длина которого 3Е (рис. 1).
Чтобы получить отрезок длиной 3,2Е, надо ввести новую единицу длины. Для этого единичный отрезок надо разбить либо на 10 равных частей, либо на 5, поскольку 0,2 = . Если от точки В отложить отрезок, равный единичного, то длина отрезка АС будет равна 3,2Е.
Чтобы выполнить второе требование задачи, воспользуемся свойством 3, согласно которому при увеличении единицы длины в 3 раза численное значение длины данного отрезка уменьшается в 3 раза. Разделим 3,2 на 3, получим:
3,2 : 3 == 3 : 3 = = 1 . Таким образом, при единице длины 3Е численное значение длины построенного отрезка АС будет равно 1 .
Понятие
длины отрезка и ее измерения были уже
использованы неоднократно, в частности,
когда рассматривали натуральное число
как меру величины. В этом пункте мы
только обобщим представления о длине
отрезка как геометрической величине.
В
геометрии длина — это величина,
характеризующая протяженность отрезка,
а также других линий (ломаной, кривой).
В нашем курсе будет рассмотрено только
понятие длины отрезка. При его определении
будем использовать введенное в теме 18
понятие «отрезок состоит из отрезков».
Определение.Длиной
отрезка называется положительная
величина, обладающая следующими
свойствами: 1) равные отрезки имеют
равные длины; 2) если отрезок состоит из
двух отрезков, то его длина равна сумме
длин его частей.
Эти
свойства длины отрезка используются
при ее измерении. Чтобы измерить длину
отрезка, нужно иметь единицу длины. В
геометрии такой единицей является длина
произвольного отрезка.
Как
показано в теме 18, результатом измерения
длины отрезка является положительное
действительное число — его называют
численным
значениемдлины
отрезка
при выбранной единице длины или мерой
длины
данного отрезка. Если обозначить длину
отрезка буквой X, единицу длины — Е, а
получаемое при измерении действительное
число — буквой а, то можно записать: а=mЕ
(Х)
или Х = а∙Е.
Получаемое
при измерении длины отрезка положительное
действительное число должно удовлетворять
ряду требований:
1.
Если два отрезка равны, то численные
значения их длин тоже равны.
2.
Если отрезок х состоит из отрезков х1
и х2,
то численное значение его длины равно
сумме численных значений длин отрезков
х1
и х2.
3.
При замене единицы длины численное
значение длины данного отрезка
увеличивается (уменьшается) во столько
раз, во сколько новая единица меньше
(больше) старой.
4.
Численное значение длины единичного
отрезка равно единице.
Доказано,
что положительное действительное число,
являющееся мерой длины заданного
отрезка, всегда существует и единственно.
Доказано также, что для каждого
положительного действительного числа
существует отрезок, длина которого
выражается этим числом.
Заметим,
что часто, ради краткости речи, численное
значение длины отрезка называют просто
длиной. Например, в задании «Найдите
длину данного отрезка» под словом
«длина» подразумевается численное
значение длины отрезка. Не менее часто
допускают и другую вольность — говорят:
«Измерь отрезок» вместо «Измерь длину
отрезка».
Задача.
Построить отрезок, длина которого 3,2Е.
Каким будет численное значение длины
этого отрезка, если единицу длины Е
увеличить в 3 раза ?
Решение.
Построим произвольный отрезок и будем
считать его единичным. Затем построим
прямую, отметим на ней точку А и отложим
от нее 3 отрезка, длины которых равны Е.
Получим отрезок АВ, длина которого 3Е
(рис. 1).
Чтобы
получить отрезок длиной 3,2Е, надо ввести
новую единицу длины. Для этого единичный
отрезок надо разбить либо на 10 равных
частей, либо на 5, поскольку 0,2 =
.
Если от точки В отложить отрезок, равный
единичного, то длина отрезка АС будет
равна 3,2Е.
Чтобы
выполнить второе требование задачи,
воспользуемся свойством 3, согласно
которому при увеличении единицы длины
в 3 раза численное значение длины данного
отрезка уменьшается в 3 раза. Разделим
3,2 на 3, получим:
3,2
: 3 == 3
:
3 =
= 1
.
Таким образом, при единице длины 3Е
численное значение длины построенного
отрезка АС будет равно 1
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #