Какие уравнения называют равносильными сформулируйте свойства уравнений
Уравнения и системы уравнений первой степени
Два числа или какие-нибудь выражения, соединенные знаком « = », образуют равенство. Если данные числа или выражения при любых значениях букв равны, то такое равенство называют тождеством.
Например, когда утверждают, что при любом, а действительном:
а + 1 = 1 + а, здесь равенство является тождеством.
Уравнением называется равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами. Эти буквы называют неизвестными. Неизвестных в уравнении может быть несколько.
Например, в уравнении 2х + у = 7х – 3 два неизвестных: х и у.
Выражение, стоящее в уравнении слева (2х + у) называют левой частью уравнения, а выражение, стоящее в уравнении справа (7х – 3), называют правой его частью.
Значение неизвестного, при котором уравнение становится тождеством, называется решением или корнем уравнения.
Например, если в уравнение 3х + 7=13 вместо неизвестного х подставить число 2, получим тождество . Следовательно, значение х = 2 удовлетворяет данному уравнению и число 2 есть решение или корень данного уравнения.
Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если все решения первого уравнения являются решениями второго и наоборот, все решения второго уравнения являются решениями первого. К равносильным уравнениям относятся также уравнения, не имеющие решений.
Например, уравнения 2х – 5 = 11 и 7х + 6 = 62 равносильны, так как они имеют один и тот же корень х = 8; уравнения х + 2 = х + 5 и 2х + 7 = 2х равносильны, потому что оба не имеют решений.
Свойства равносильных уравнений
1. К обеим частям уравнения можно прибавить любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному.
Пример. Уравнение 2х – 1 = 7 имеет корень х = 4. Прибавив к обеим частям по 5, получим уравнение 2х – 1 + 5 = 7 + 5 или 2х + 4 = 12, которое имеет тот же корень х = 4.
2. Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены, то их можно опустить.
Пример. Уравнение 9х + 5х = 18 + 5х имеет один корень х = 2. Опустив в обеих частях 5х, получим уравнение 9х = 18, которое имеет тот же корень х = 2.
3. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
Пример. Уравнение 7х — 11 = 3 имеет один корень х = 2. Если перенести 11 в правую часть с противоположным знаком, получим уравнение 7х = 3 + 11, которое имеет то же решение х = 2.
4. Обе части уравнения можно умножить на любое выражение (число), имеющее смысл и отличное от нуля при всех допустимых значениях неизвестного, полученное уравнение будет равносильно данному.
Пример. Уравнение 2х — 15 = 10 – 3х имеет корень х = 5. Умножив обе части на 3, получим уравнение 3(2х – 15) = 3(10 – 3х) или 6х – 45 =30 – 9х, которое имеет тот же корень х = 5.
5. Знаки всех членов уравнения можно изменить на противоположные (это равносильно умножению обеих частей на (-1)).
Пример. Уравнение – 3х + 7 = – 8 после умножения обеих частей на (-1) примет вид 3х — 7 = 8. Первое и второе уравнения имеют единственный корень х = 5.
6. Обе части уравнения можно разделить на одно и тоже число, отличное от нуля (то есть, не равное нулю).
Пример. Уравнение имеет два корня: и . Разделив все его члены на 3, получим уравнение , равносильное данному, так как оно имеет те же два корня: и .
7. Уравнение, в котором коэффициенты всех или нескольких членов дробные числа, можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами, для этого обе части уравнения надо умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробных коэффициентов.
Пример. Уравнение после умножения обеих частей на 14 примет вид:
. Легко убедиться в том, что первое и последнее уравнения имеют корень х = 10.
Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.
Понятие равносильных уравнений
Определение 1
Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.
Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.
Определение 2
Уравнение f(x)=g(x) считается равносильным уравнению r(x)=s(x), если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.
Определение 3
Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.
Определение 4
Если уравнение f(x)=g(x) имеет то же множество корней, что и уравнение p(x)=h(x), то они считаются равносильными по отношению друг к другу.
Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.
Приведем несколько примеров таких уравнений.
Пример 1
Например, равносильными будут 4·x=8, 2·x=4 и x=2, поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x·0=0 и 2+x=x+2, поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x=x+5 и x4=−1, каждое из которых не имеет ни одного решения.
Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.
Пример 2
К примеру, таковыми будут x=2 и x2=4, поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям xx=1 и x2+5×2+5, потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0.
Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.
Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x2+y2+z2=0 и 5·x2+x2·y4·z8=0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0, во всех трех случаях. А пара уравнений x+y=5 и x·y=1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.
Понятие уравнений-следствий
Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.
Определение 5
Следствием уравнения f(x)=g(x) будет уравнение p(x)=h(x) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.
Определение 6
Если первое уравнение имеет те же корни, что и второе, то второе будет уравнением-следствием первого.
Возьмем несколько примеров таких уравнений.
Пример 3
Так, x·2=32 будет следствием x−3=0, поскольку в первом есть только один корень, равный трем, и он же будет корнем второго уравнения, поэтому в контексте данного определения одно уравнение будет следствием другого. Еще один пример: уравнение (x−2)·(x−3)·(x−4) =0 будет следствием x-2·x-3·x-42x-4, потому что второе уравнение имеет два корня, равные 2 и 3, которые в то же время будут корнями первого.
Из данного выше определения можно сделать вывод, что следствием любого уравнения, не имеющего корней, будет также любое уравнение. Приведем здесь некоторые другие следствия из всех сформулированных в данной статье правил:
Определение 7
- Если одно уравнение равносильно другому, то каждое из них будет следствием другого.
- Если из двух уравнений каждое будет следствием другого, то данные уравнения будут равносильны друг другу.
- Уравнения будут равносильны по отношению друг к другу только в том случае, если каждое из них будет следствием другого.
Как найти корни уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения
Исходя из того, что мы написали в определениях, то в случае, когда мы знаем корни одного уравнения, то нам известны и корни равносильных ему, поскольку они будут совпадать.
Если мы знаем все корни уравнения-следствия, то можем определить корни второго уравнения, следствием которого оно является. Для этого нужно только отсеять посторонние корни. О том, как это делается, мы написали отдельную статью. Советуем вам ее прочитать.
Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.
Примеры:
- Уравнения (x+2=7) и (2x+1=11) равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число (5).
- Равносильны и уравнения (x^2+1=0) и (2x^2+3=1) — ни одно из них не имеет корней.
- А вот уравнения (x-6=0) и (x^2=36) неравносильны, поскольку первое имеет только один корень (6), второе имеет два корня: (6) и (-6).
Равносильные преобразования уравнений — это такие преобразования, которые приводят нас к равносильным уравнениям.
Основные равносильные преобразования уравнений:
- Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой знака слагаемого на противоположный.
(4x-1=7)
(4x=7+1) Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.
(4x=8) (|:4)
(x=2)(x(x^2+1)=x^2+1) (|:(x^2+1))
(x=1)Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.
((x+1)^2=4)
(x^2+2x+1=4)(5^{x+1}=25)
(5^{x+1}=5^2)- Возведение в нечетную степень обеих частей уравнения.
(sqrt[3]{12x^2-28x+8}=2)
(12x^2-28x+8=8) - Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.
((x-5)^3=(2x+4)^3)
(x-5=2x+4) Переход вида: (a^{f(x)}=a^{g(x)}) (⇔) (f(x)=g(x)), если (a>1) и (a≠1).
(5^{x^2-2x}=5^{x-2})
(x^2-2x=x-2)
Равносильные уравнения и уравнения следствия
Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:
Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.
Пример (ОГЭ). Решите уравнение (x^2-2x+sqrt{2-x}=sqrt{2-x}+3)
(x^2-2x+sqrt{2-x}=sqrt{2-x}+3) | Запишем ОДЗ. |
ОДЗ: (2-x≥0) | Перенесем оба слагаемых из правой части в левую. |
(x^2-2x+sqrt{2-x}-sqrt{2-x}-3=0 ) | Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного. |
(x^2-2x-3=0) | Это уравнение следствие из предыдущего. Найдем корни уравнения по теореме Виета. |
(x_1=3) (x_2=-1) | Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие. |
(↑) не подходит под ОДЗ | Запишем ответ. |
Ответ: (-1 ).
Переходить к уравнению следствию не запрещено, но при работе с ними нужно быть осторожным и не забывать про ОДЗ.
Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.
a) (x+5=2x-3) | b) (x^2+3x+sqrt{x}=sqrt{x}+4) |
c) (frac{-x-1}{x^2-1}=0) | d) (x^3=27) |
e) (frac{1}{2}x^2+1=x^3-x) | f) ( 2^{x+2}=2) |
Решение:
В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.
В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как (sqrt{x}) «ушло», то ОДЗ расширилось;
В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;
В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;
В пункте e) умножили обе части уравнения на (2) т.е. равносильно преобразовали;
В пункте f) перешли от вида (a^{f(x)}=a^{g(x)}) к виду (f(x) =g(x)), что тоже является равносильным преобразованием.
Смотри также:
Равносильное преобразование неравенств
Скачать статью
Ребята, мы подходим к концу изучения курса алгебры и начала анализа за 11 класс. Мы научились решать огромное количество уравнений, неравенств и различные системы уравнений. Нам осталось подвести итог и дать некоторый уточнения.
Давайте вернемся к уравнениям с одной переменой. Мы уже рассматривали показательные и логарифмические уравнения. Теперь давайте рассмотрим уравнения в самом общем виде.
Равносильность уравнений
Определение. Два уравнения с одной переменой
$f(x)=g(x)$ и $h(x)=q(x)$
называются равносильными, если множества решений этих уравнений совпадают.
Два уравнения равносильны, если у них одинаковые корни или если у них нет решений.
Давайте приведем пример равносильных уравнений.
Уравнения $x^2-9=0$ и $(x+3)(3^x-27)=0$ равносильны, т.к. имеют одинаковые корни $х=±3$. Уравнения $x^2+9=0$ и $3^x+27=0$, также равносильны, поскольку не имеют вещественных корней.
Определение. Если каждый корень уравнения 1: $f(x)=g(x)$ является в тоже время корнем уравнения 2: $h(x)=q(x)$, то уравнение 2 является следствием уравнения 1.
Например, уравнение $х-3=3$ имеет корень $х=6$, а уравнение $(x-3)^2=9$ имеет два корня $х=6$ и $х=0$. Один из корней совпадает, тогда уравнение $(x-3)^2=9$ является следствием уравнения $х-3=3$.
Два уравнения являются равносильными, тогда и только тогда, когда каждое из уравнений является следствием другого уравнения.
Формально, схему решения любого уравнения можно описать так. Исходное уравнение преобразуют в более простое уравнение. Получившиеся уравнение преобразуют в еще более простое уравнение и так, пока не получится совсем простое уравнение, которое легко решить. Но стоит заметить, уравнения нельзя преобразовывать как вздумается. Для каждого класса уравнений есть свои правила и требования.
Возникает вопрос: совпадают ли корни, полученного в конце уравнения с корнями исходного уравнения? Если все преобразования уравнений были равносильными, то корни совпадут. Что означает, что правильное решение последнего уравнения даст верные корни исходного уравнения.
Если же мы переходили к уравнениям следствиям, то мы могли потерять корни уравнения, что не позволяет утвердительно ответить на поставленный выше вопрос.
Для определенности, найденные корни последнего полученного уравнения подставляют в исходное уравнение. Если есть корни, которые не удовлетворяют решению, то их называют посторонними и соответственно в ответ не включают.
Решение уравнений обычно осуществляется в три этапа:
- Технический. На данном этапе осуществляются преобразования уравнений, по схеме описанной выше. И находят корни последнего (самого простого) уравнения.
- Анализ решения. Проводится проверка, все ли преобразования были равносильными.
- Проверка. Если анализ выявил, что некоторые преобразования привели к уравнениям следствиям, то проводится обязательная проверка всех полученных корней прямой подстановкой в исходное уравнение.
Итак, какие преобразования являются равносильными?
Теоремы о равносильности уравнений
Все теоремы, которые мы рассмотрим ниже, уже встречались нам, начиная с самых ранних классов.
Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части в другую, поменяв при этом знак на противоположный, то получится уравнение равносильное исходному.
Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 3. Показательное уравнение $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, где $a>0$ и $a≠1$ равносильно уравнению $f(x)=g(x)$.
Вспомним, что такое «область определения уравнений». Поскольку при выборе корней уравнения она играют почти ключевую роль.
Определение. Областью определения уравнения $f(x)=g(x)$ или областью допустимых значений переменной х называют множество тех значений переменной, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x).
Теорема 4. Если обе части уравнения $f(x)=g(x)$ умножить на одно и тоже выражение h(x), которое:
а) имеет смысл всюду в области определения уравнения $f(x)=g(x)$,
б) нигде в этой области не обращается в 0,
то получится уравнение $f(x)*h(x)=g(x)*h(x)$ равносильное исходному.
Следствие. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число, то получится уравнение равносильное данному.
Теорема 5. Если обе части уравнения $f(x)=g(x)$ неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же нечетную степень n получится уравнение, равносильное данному: $f(x)^n=g(x)^n$.
Теорема 6. Если $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то логарифмическое уравнение $log_af(x)=log_ag(x)$, где $a>0$, $a≠1$, равносильно уравнению $f(x)=g(x)$.
Преобразование данного уравнения в уравнение следствие
Уравнения следствия могут возникнуть, если при использовании трех последних теорем не учитывать ограничения указанные в данных теоремах.
1. Уравнение $х-3=3$, имеет один корень $х=6$. Умножив обе части уравнения на выражения вида $(х-а)$, где а – любое число, получим уравнение $(х-3)*(х-а)=3*(х-а)$. Мы получаем дополнительный корень $х=а$, который является посторонним для исходного уравнения. Причина его появления в том, что мы нарушили условие теоремы 4. Мы умножили на выражение, которое может обратиться в нуль, нарушение пункта б) теоремы 4.
2. Возведем обе части уравнения $х-3=3$ в квадрат. Получилось уравнение $(x-3)^2=9$, решением которого являются $х=6$ и $х=0$. Опять мы имеем посторонний корень. Мы нарушили условие теоремы 5: возвели в четную степень, а там сказано, что можно возводить уравнение только в нечетную степень.
3. Рассмотрим уравнение $ln(2x-4)=ln(3x-5)$. Мы можем избавиться от знака логарифма и решить простое линейное уравнение $2х-4=3х-5$, решение которого является $х=1$. Данный корень является посторонним. При решении данного уравнения мы нарушили условие теоремы 6 (под знаком логарифма должны находиться выражения строго большие нуля).
Для правильного решения уравнения, всегда следует проверять или отыскивать область определения уравнения. Для последнего примера, проверка сводится к системе неравенств:
$begin {cases} (2x-4>0, \ 3x-5>0. end {cases}$.
Решение данной системы является $x>2$, то есть только числа большие двух могли бы быть решением исходного логарифмического уравнения.
В данном примере, мы искусственно расширили область определения исходного уравнения, что делать нельзя.
Давайте приведем примеры причин, когда область определения расширяется:
- Освобождение при решении уравнения от знаменателей, содержащих переменную величину.
- Освобождение в процессе решения от знаков корней четной степени.
- Освобождение в процессе решения от знаков логарифма.
Обязательно нужно делать проверку корней, если:
- произошло расширение области определения уравнения,
- осуществляется возведение обеих частей в одну и ту же четную степень,
- выполняется умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение с переменной.
Стоит заметить, что проверку корней стоит производить всегда (для всех корней уравнения).
Пример.
Решить уравнение: $sqrt{2x+5}+sqrt{5x-6}=5$.
Решение.
Технический этап решения уравнения. Проведем различные преобразования уравнения.
$sqrt{2x+5}=5-sqrt{5x-6}$.
$(sqrt{5x-6})^2=(5-sqrt{2x+5})^2$.
$5x-6=25-10sqrt{2x+5}+(2x+5)$.
$10sqrt{2x+5}=36-3x$.
$(10sqrt{2x+5})^2=(36-3x)^2$.
$100(2x+5)=1296-216x+9x^2$.
$9x^2-416x+796=0$.
$x_1=2$, $x_2=44frac{2}{9}$.
Анализ решения.
В процессе решения уравнения дважды возводили в четную степень. Такое преобразование не является равносильным. Также произошло расширение области определения, т.к. в исходном уравнении встречались квадратные корни, которые накладывают свое ограничение. Значит, полученное в результате квадратное уравнение является уравнением следствием. Проверка корней обязательна.
Проверка корней.
Подставим все полученные корни в исходное уравнение.
При $x_1=2$, $sqrt{2*2+5}+sqrt{5*2-6}=sqrt{9}+sqrt{4}=3+2=5$ — выполнено.
При $x_2=44frac{2}{9}$, $sqrt{2*44frac{2}{9}+5}+sqrt{5*44frac{2}{9}-6}$ — явно больше 5. Уже первое подкоренное выражение больше 25, а мы к нему прибавляем еще положительное число. Значит, это постороннее решение.
Ответ: $х=2$.
Проверка корней может быть сложной вычислительной операцией. Как в примере выше, полная проверка второго корня заняла не мало времени. В случаях сложных вычислений стоит попробовать найти обходной путь.
При проверке можно использовать приближенные значения полученных корней или подстановкой их в более простые уравнения, полученные при преобразовании. При этом, надо быть полностью уверенным в равносильности преобразований.
Чаще всего (но не всегда), достаточно проверить ОДЗ заданного уравнения.
Пример.
Решить уравнение: $ln(x+4)+ln(2x+3)=ln(1-2x)$.
Решение.
Преобразуем исходное уравнение:
$ln(x+4)+ln(2x+3)=ln(1-2x)$,
$ln(x+4)(2x+3)=ln(1-2x)$,
$(x+4)(2x+3)=(1-2x)$,
$2x^2+13x+11=0$,
$x_1=-1$, $x_2=-5,5$.
Область определения была расширена, значит проверку следует произвести. Мы только расширили область определения, поэтому достаточно найти область определения исходного уравнения:
$begin {cases} (x+4>0, \ 2x+3>0, \1-2x>0. end {cases}$.
Первый корень $х=-1$ удовлетворяет данной системе, а вот корень $х=-5,5$ не удовлетворяет уже первому неравенству данной системы, тогда у нас всего один корень.
Ответ: $х=-1$.
Проверка по области определения исходного уравнения не всегда достаточна. Все зависит от преобразований, которые мы проводили, поэтому более надежным способом являет непосредственная подстановка корней уравнения.
При преобразовании уравнений также может происходить потеря корней. Когда такая ситуация может возникнуть?
- Деление обеих частей уравнения на одно и тоже выражение h(x) (кроме случая, когда уверены что h(x) не обращается нуль при любых х).
- Сужение области определения уравнения в процессе решения.
Бороться с первой причиной довольно просто. Нужно привыкнуть переходить к уравнению вида $h(x)*(f(x)-g(x))$ или вообще стараться не делить на выражения содержащие х.
Со вторым пунктом чуть сложнее.
Рассмотрим уравнение $lgx^2=4$.
Решим его, используя определение логарифма: $x^2=10^4$; $x=±sqrt{10^4}=±100$.
Второй способ решения.
Воспользуемся одним из свойств логарифма: $2lgx=4$; $lgx=2$; $x=100$. Не трудно заметить, что мы потеряли один из корней. На самом деле мы сузили область определения исходного уравнения. Для уравнения $lgx^2=4$, $х≠0$, но для уравнения $2lgx=4$, $х>0$. Мы выбросили огромный участок возможных решений, то есть сузили область определения. На самом деле верная формула при решении данного уравнения была бы: $2lg|x|=4$.
При решении уравнений и их преобразовании нужно быть абсолютно уверенным в правильности применения той или иной формулы!
Задачи для самостоятельного решения
Решить следующие уравнения:
1. $sqrt{3x+4}+sqrt{2x-3}=2$.
2. $ln(x+2)+ln(x+4)=ln(2-3x)$.
3. $lgx^4=8$.