Какие уравнения называют равносильными сформулируйте свойства

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Понятие равносильных уравнений

Определение 1

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Определение 2

Уравнение f(x)=g(x) считается равносильным уравнению r(x)=s(x), если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.

Определение 3

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Определение 4

Если уравнение f(x)=g(x) имеет то же множество корней, что и уравнение p(x)=h(x), то они считаются равносильными по отношению друг к другу.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Пример 1

Например, равносильными будут 4·x=8, 2·x=4 и x=2, поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x·0=0 и 2+x=x+2, поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x=x+5 и x4=−1, каждое из которых не имеет ни одного решения.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

Пример 2

К примеру, таковыми будут x=2 и x2=4, поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям xx=1 и x2+5×2+5, потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0.

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x2+y2+z2=0 и 5·x2+x2·y4·z8=0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0, во всех трех случаях. А пара уравнений x+y=5 и x·y=1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Определение 5

Следствием уравнения f(x)=g(x) будет уравнение p(x)=h(x) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.

Определение 6

Если первое уравнение имеет те же корни, что и второе, то второе будет уравнением-следствием первого.

Возьмем несколько примеров таких уравнений.

Пример 3

Так, x·2=32 будет следствием x−3=0, поскольку в первом есть только один корень, равный трем, и он же будет корнем второго уравнения, поэтому в контексте данного определения одно уравнение будет следствием другого. Еще один пример: уравнение (x−2)·(x−3)·(x−4) =0 будет следствием x-2·x-3·x-42x-4, потому что второе уравнение имеет два корня, равные 2 и 3, которые в то же время будут корнями первого.

Из данного выше определения можно сделать вывод, что следствием любого уравнения, не имеющего корней, будет также любое уравнение. Приведем здесь некоторые другие следствия из всех сформулированных в данной статье правил:

Определение 7

Как найти корни уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения

Исходя из того, что мы написали в определениях, то в случае, когда мы знаем корни одного уравнения, то нам известны и корни равносильных ему, поскольку они будут совпадать.

Если мы знаем все корни уравнения-следствия, то можем определить корни второго уравнения, следствием которого оно является. Для этого нужно только отсеять посторонние корни. О том, как это делается, мы написали отдельную статью. Советуем вам ее прочитать.

Примеры: 

• Уравнения (x+2=7) и (2x+1=11) равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число (5).
•  Равносильны и уравнения (x^2+1=0) и (2x^2+3=1) — ни одно из них не имеет корней.
•  А вот уравнения (x-6=0) и (x^2=36) неравносильны, поскольку первое имеет только один корень (6), второе имеет два корня: (6) и (-6).

Основные равносильные преобразования уравнений:

1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой  знака слагаемого на противоположный.

   (4x-1=7)
   (4x=7+1)

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.

   (4x=8)   (|:4) (x=2)

   (x(x^2+1)=x^2+1)    (|:(x^2+1)) (x=1)

3. Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.

   ((x+1)^2=4) (x^2+2x+1=4)

   (5^{x+1}=25) (5^{x+1}=5^2)

4. Возведение в нечетную степень обеих частей уравнения.

   (sqrt[3]{12x^2-28x+8}=2)
   (12x^2-28x+8=8)

5. Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.

   ((x-5)^3=(2x+4)^3)
   (x-5=2x+4)

6. Переход вида: (a^{f(x)}=a^{g(x)}) (⇔) (f(x)=g(x)), если (a>1) и (a≠1).

   (5^{x^2-2x}=5^{x-2})
   (x^2-2x=x-2)

Равносильные уравнения и уравнения следствия

Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:

Пример (ОГЭ). Решите уравнение (x^2-2x+sqrt{2-x}=sqrt{2-x}+3)

Ответ: (-1 ).

Переходить к уравнению следствию не запрещено, но при работе с ними нужно быть осторожным и не забывать про ОДЗ. 

Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.

Решение:

В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.

В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как (sqrt{x}) «ушло», то ОДЗ расширилось;

В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;

В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;

В пункте e) умножили обе части уравнения на (2) т.е. равносильно преобразовали;

В пункте f) перешли от вида (a^{f(x)}=a^{g(x)}) к виду (f(x) =g(x)), что тоже является равносильным преобразованием.

Смотри также:
Равносильное преобразование неравенств

Скачать статью

Алгебра

7 класс

Урок № 47

Равносильность уравнений и систем уравнений

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Понятие равносильных уравнений.
• Изучение равносильных систем уравнений.
• Практическое применение равносильности систем уравнений.

Тезаурус:

Уравнение, левой и правой частями которого являются числа или многочлены степени не выше первой относительно х и у, называются линейными уравнением с двумя неизвестными х и у.

Члены многочленов, находящиеся в левой и правой частях линейного уравнения, называют членами этого уравнения.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.

Равносильны два уравнения, каждое из которых не имеет решения.

Две системы уравнений называют равносильными, если любое решение первой системы является решением второй системы и любое решение второй системы является решением первой системы.

Равносильны две системы, если каждая из них не имеет решений.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Уравнение, левой и правой частями которого являются числа или многочлены степени не выше первой относительно х и у, называются линейными уравнением с двумя неизвестными х и у.

Члены многочленов, находящиеся в левой и правой частях линейного уравнения, называют членами этого уравнения.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.

Равносильны такие два уравнения, каждое из которых не имеет решения.

Утверждения:

1) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получим уравнение, равносильное исходному.

2) Если перенести с противоположным знаком член уравнения из одной части в другую, то получим уравнение, равносильное исходному.

3) Если в левой и правой частях линейного уравнения привести подобные члены, то получится уравнение, равносильное исходному:

Доказательство этих утверждений проводится так же, как для линейного уравнения с одним неизвестным.

Две системы уравнений называют равносильными, если любое решение первой системы является решением второй системы и любое решение второй системы является решением первой системы. Равносильны также две системы, если каждая из них не имеет решений.

Очевидно, что если одно из уравнений системы заменить другим, равносильным ему уравнением, то полученная система будет равносильна исходной.

Перенеся свободные члены уравнений этой системы в их правые части, получим следующую равносильную систему:

Пример 2. Решите систему уравнений:

Решим системы способом подстановки.

Пример 3. Решите систему уравнений

Пример 4. Решите систему уравнений

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

№1. Тип задания: единичный выбор.

Какие два уравнения называются равносильными?

Варианты ответов:

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения не является решением второго, а любое решение второго не является решением первого.

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является продолжением решения второго, и является единственно верным.

Правильный ответ:

Два уравнения называют равносильными, если любое решение первого уравнения является решением второго, а любое решение второго является решением первого.

№2. Тип задания: Восстановление последовательности элементов горизонтальное / вертикальное.

Решите систему уравнений:

Умножим первое уравнение на 2:

Уравнения, решение уравнений

Существуют преобразования уравнений, позволяющие переходить от решаемого уравнения к так называемым равносильным уравнениям и уравнениям-следствиям, по решениям которых есть возможность определить решение исходного уравнения. В этой статье мы подробно разберем, какие уравнения называются равносильными, а какие – уравнениями-следствиями, дадим соответствующие определения, приведем поясняющие примеры и объясним, как найти корни уравнения по известным корням равносильного уравнения и уравнения-следствия.

Равносильные уравнения, определение, примеры

Дадим определение равносильных уравнений.

Такие же по смыслу определения, но немного отличающиеся по формулировке, приводятся в различных учебниках математики, например,

Под одними и теми же корнями понимается следующее: если какое-то число является корнем одного из равносильных уравнений, то оно является и корнем любого другого из этих уравнений, и не одно из равносильных уравнений не может иметь корня, который не является корнем любого другого из этих уравнений.

Приведем примеры равносильных уравнений. Например, три уравнения 4·x=8, 2·x=4 и x=2 – равносильные. Действительно, каждое из них имеет единственный корень 2, поэтому они равносильны по определению. Еще пример: равносильными являются два уравнения x·0=0 и 2+x=x+2, множества их решений совпадают: корнем и первого и второго из них является любое число. Два уравнения x=x+5 и x4=−1 также представляют собой пример равносильных уравнений, они оба не имеют действительных решений.

Для полноты картины стоит привести примеры не равносильных уравнений. Например, не равносильны уравнения x=2 и x2=4, так как второе уравнение имеет корень −2, который не является корнем первого уравнения. Уравнения и также не являются равносильными, так как корнями второго уравнения являются любые числа, а число нуль не является корнем первого уравнения.

Озвученное определение равносильных уравнений относится как к уравнениям с одной переменной, так и к уравнениям с большим числом переменных. Однако для уравнений с двумя, тремя и т.д. переменными слово «корни» в определении нужно заменить словом «решения». Итак,

Покажем пример равносильных уравнений с несколькими переменными. x2+y2+z2=0 и 5·x2+x2·y4·z8=0 — вот пример равносильных уравнений с тремя переменными x, y и z, они оба имеют единственное решение (0, 0, 0). А вот уравнения с двумя переменными x+y=5 и x·y=1 не являются равносильными, так как, например, пара значений x=2, y=3 является решением первого уравнения (при подстановке этих значений в первое уравнение получаем верное равенство 2+3=5), но не является решением второго (при подстановке этих значений во второе уравнение получаем неверное равенство 2·3=1).

К началу страницы

Уравнения-следствия

Приведем определения уравнений-следствий из школьных учебников:

Приведем пару примеров уравнений-следствий. Уравнение x2=32 является следствием уравнения x−3=0. Действительно, второе уравнение имеет единственный корень x=3, этот корень является и корнем уравнения x2=32, поэтому по определению уравнение x2=32 – это следствие уравнения x−3=0. Другой пример: уравнение (x−2)·(x−3)·(x−4)=0 – это следствие уравнения , так как все корни второго уравнения (их два, это 2 и 3), очевидно, являются корнями первого уравнения.

Из определения уравнения-следствия вытекает, что абсолютно любое уравнение является следствием любого уравнения, не имеющего корней.

Стоит привести несколько довольно очевидных следствий из определения равносильных уравнений и определения уравнения-следствия:

• Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого.
• Если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.
• Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

К началу страницы

Нахождение корней уравнения по корням равносильного уравнения и уравнения-следствия

Из определения равносильных уравнений следует, что если известны все корни одного из равносильных уравнений, то можно считать известными все корни всех остальных уравнений этой группы: они будут такими же.

Когда известны все корни уравнения-следствия, то есть возможность определить все корни уравнения, следствием которого является данное уравнение. Для этого нужно лишь провести отсеивание посторонних корней.

К началу страницы