Какие углы свойства смежных углов в геометрии 7 класс
Геометрия
7 класс
Урок № 6
Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Понятие смежных и вертикальных углов
- Свойства смежных и вертикальных углов
- Отличие аксиомы от теоремы
Тезаурус
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.
Свойства смежных углов:
- Сумма смежных углов равна 1800.
- Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
- Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.
Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.
Основная литература:
- Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
Дополнительная литература:
- Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.
Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180о.
Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180о.
Давайте докажем это свойство.
Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180о. Свойство доказано.
Укажем ещё одно свойство смежных углов.
- Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 900, называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.
Углы, которые не являются смежными:
∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.
Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов
∠1+ ∠2= 1800 и ∠3+ ∠2= 1800. Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.
Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.
На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.
В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.
Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.
Ответ: ∠ВОК=____0
Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 1800. По условию задачи ∠АОК= 110, то ∠ВОК+ ∠АОК= 1800
∠ВОК+ 110= 1800
∠ВОК= 1800– 110= 1690.
Ответ: ∠ВОК= 1690
№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.
Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.
Варианты ответов:
- 1120
- 640
- 1160
- 680
Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 320+ 320= 640. ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 1800–∠COD= 1800– 640=1160.
Ответ: 1160
№3. Тип задания: выделение цветом.
Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 1250, ∠BMC= 1150.
∠BМD=____0.
Выделите верный ответ из списка:
600; 300; 750; 900
Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 1800. Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 1800–∠AMD= 1800-–1250= 550. Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.
∠BMD= ∠BMC–∠DMC= 1150– 550= 600.
Верный ответ: 600
Разработка урока по геометрии
тема: «Смежные и вертикальные углы».
Цель урока: ознакомить учащихся с понятиями смежных и вертикальных углов, рассмотреть их свойства.
Задачи урока.
Образовательные:
содействовать развитию у учащихся навыков построения смежных и вертикальных углов
сформировать: умения находить смежные и вертикальные углы на чертеже,
решать задачи с использованием смежных и вертикальных углов
экспериментальным путем установить и выдвинуть гипотезу о сумме смежных углов и о равенстве вертикальных углов
доказать эти предположение
закрепить установленные факты
Развивающие:
развитие навыков исследовательской деятельности
развитие умений: сравнивать, выявлять закономерности, выдвигать гипотезы, обобщать и делать выводы
развитие умений применять ранее полученные знания
развитие творческого и познавательного интереса учащихся к изучаемому предмету и данной теме
развитие мышления, речи, памяти, внимания.
Воспитательные:
воспитание воли и настойчивости для решения поставленной задачи и достижения поставленных целей
Тип урока: урок-исследование изучения нового материала, первичное закрепление.
Оборудование:
чертежные инструменты: линейки и карандаши
таблицы: «Смежные и вертикальные углы»
карточки с заданиями
цветные карандаши
цветные мелки.
Ход урока
I. Организационный момент.
Учитель приветствует учащихся, сообщает о форме проведения урока (урок-исследование), тема урока учащимся не сообщается т.к. они должны её сформулировать сами в конце урока.
II. Проверка домашнего задания.
№49, 50, стр.21.
III. Актуализация знаний учащихся.
Фронтальная беседа:
Что такое вершина и стороны угла?
2). Какой угол называется развернутым?
3). Что такое градус?
4).Что такое градусная мера угла?
5). Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Как найти градусную меру угла АОВ, если
известны градусные меры углов АОС и СОВ?
6).Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Как найти градусную меру угла АОС, если известны градусные меры углов АОВ и СОВ?
1).Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла.
2).Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на одной прямой.
3).Градус – это единица измерения углов.
Градус – это угол, равный части развернутого угла.
4).Градусной мерой угла называется положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.
5).Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.
Значит, АОВ=АОС+СОВ.
6).АОВ=АОС+СОВ
АОС=АОВ -СОВ.
IV. Изучение нового материала, исследовательская работа.
1. Определение и свойство смежных углов.
Сколько при этом получилось углов?
Назовите получившиеся углы и их общую сторону.
Что можно сказать про две другие стороны ОА и ОС?
Углы АОВ и ВОС называются смежными углами.
Попробуйте сформулировать определение смежных углов.
Найдите определение смежных углов в учебнике и проверьте, насколько точно вы его сформулировали.
Таким образом, два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.
Учитель просит нескольких учеников
повторить определение смежных углов.
Как вы думаете, чему равна сумма смежных углов? (Если ученики затрудняются с ответом, то учитель помогает наводящими вопросами).
Какой вывод мы сделаем?
Мы только что сформулировали и доказали теорему о сумме смежных углов.
Как вы думаете, эта теорема выражает свойство или признак смежных углов?
Запишите формулировку теоремы в тетрадях.
Учитель просит нескольких учеников повторить формулировку теоремы.
Ученики выполняют построения.
Получилось два угла.
АОВ иВОС, луч ОВ их общая сторона.
Сторона ОС является продолжением стороны ОА (или наоборот, сторона ОА является продолжением стороны ОС).
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.
Ученики выполняют задание и убеждаются в верности своей формулировки.
Ученики высказывают гипотезы о сумме смежных углов. Одна из них может быть такой: сумма смежных углов равна 1800, т.к. АОВ+ВОС=АОС, он развернутый и значит, его градусная мера равна 1800.
Один из учеников делает записи на доске, остальные в тетрадях.
Вывод: Сумма смежных углов равна 1800.
Свойство смежных углов.
Ученики записывают формулировку теоремы в тетрадях.
Сумма смежных углов равна 180.
2. Практическая работа.
Далее, учащиеся, сидящие слева, продлевают красные стороны углов, а сидящие справа – синие стороны углов.
Что у вас получилось в результате построения?
Всегда ли можно построить угол, смежный данному?
Возьмите в руки угольники и определите типы углов, которые у вас получились в результате построения. Сделайте вывод.
А можем ли мы это доказать не прибегая к угольнику?
1).Один из смежных углов составляет 450, найдите второй угол.
2).Один из смежных углов 1120, найдите второй угол.
Учащиеся выполняют задание.
На доске должно получиться 6 рисунков, значит 6 учеников, по очереди, работают у доски, а остальные в тетрадях.
Получилось два угла, которые по определению являются смежными.
Да всегда.
Ученики определяют типы получившихся углов и делают вывод. Если один из смежных углов острый, то другой обязательно тупой, и наоборот. Если один из смежных углов прямой, то другой тоже прямой.
Да.
Так как сумма смежных углов 1800, а один из них острый, т.е. меньше 900, значит, другой будет больше 900, т.е. будет тупым.
И наоборот, если один больше 900,т.е. –тупой, значит, другой будет меньше 900, т.е. – острый.
Если же один из смежных углов равен 900, то другой 1800-900=900. Т.е. если один смежный угол прямой, то и другой тоже прямой.
Учащиеся записывают решение:
1). 1800-450=1350
2). 1800-1120=680
3. Определение и свойство вертикальных углов.
Проведите лучи ОСи OD, являющиеся продолжением сторон угла МОК.
Сколько неразвернутых углов получилось?
Есть ли среди этих углов смежные углы?
Назовите углы, которые не являются смежными.
Такие углы называются вертикальными.
Запишите в тетради: ÐМОК и ÐCOD – вертикальные; ÐМOD и ÐКOС– вертикальные.
Попробуйте сформулировать определение вертикальных углов, вспомните, как вы их построили.
Проверьте свое определение по учебнику.
(Если ученики затрудняются сформулировать определение вертикальных углов, учитель помогает наводящими вопросами).
Учитель просит нескольких учеников повторить определение.
Посмотрите внимательно на свои чертежи, найдите взаимосвязь между вертикальными углами. Можно воспользоваться транспортирами.
Запишите это предположение в тетради.
Давайте докажем это предположение.
У кого, какие предложения есть по поводу доказательства.
Давайте рассмотрим углы 1, 2 и 3.
Какими являются углы 1 и 2, углы 3 и 2?
Что ещё о них можно сказать?
Выразите Ð1 и Ð3 через Ð2.
Какой вывод можно сделать?
Аналогично можно доказать равенство 2 и 4 углов.
Итак, мы доказали, что…
1. Один из углов при пересечении двух прямых равен 860. Найдите остальные углы.
Ученики выполняют задание.
Четыре: ÐМОК, ÐКОС, ÐCOD,
ÐDОМ.
Да, ÐМОК и ÐКОС; ÐКОС и ÐCOD;
ÐCOD и ÐDОМ; ÐDОМ и ÐМОК
ÐМОК и Ð COD, ÐКOС и ÐМOD.
Один ученик пишет на доске, остальные в тетрадях.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого.
Ученики выясняют, что правильно сформулировали определение вертикальных углов.
Ученики выясняют, что вертикальные углы равны: Ð1=Ð3, Ð2=Ð4.
Ученики записывают.
Они являются смежными.
По свойству смежных углов Ð1+Ð2=1800 и
Ð3+Ð2=1800
Ð1=1800-Ð2; Ð3=1800-Ð2.
Градусные меры углов 1 и3 равны, значит и сами углы равны, т.е. Ð1=Ð3.
Вертикальные углы равны.
Пусть Ð1=860, Ð1 и Ð2 смежные, значит Ð1+Ð2=1800
тогда Ð2=1800-Ð1=1800-860=940.
Ð1 и Ð3 – вертикальные,
значит Ð1=Ð3=860.
Ð2 и Ð4, тоже вертикальные,
значит Ð2=Ð4=940.
V. Закрепление.
Задание 1. Среди углов, изображенных на рисунке, найдите все смежные и вертикальные углы и запишите их номера, смежные в левый столбик, вертикальные – в правый.
Следующие два задания учитель может записать на доске сам (в целях экономии времени), как образцы решения и оформления задач, но под диктовку учеников.
Задание 2. На рисунке изображены смежные углы. Один из них 57°. Чему равен другой угол?
Дано: Ð АОВ и Ð ВОС – смежные, Ð ВОС = 57°
Найти: Ð АОВ
Решение.
Т.к. Ð АОВ и Ð ВОС – смежные, то Ð АОВ + Ð ВОС = 180°
Ð АОВ = 180° — 57° = 113°
Ответ: Ð АОВ=113°
Задание 3. На рисунке Ð1+Ð2+Ð3=2500, найдите градусные меры углов 1,2,3,4.
Дано: Ð1+Ð2+Ð3=2500
Найти: Ð1;Ð2;Ð3;Ð4
Решение.
Ð1+Ð2=1800 как смежные углы
Ð3+Ð4=1800 как смежные углы
Следовательно: Ð1+Ð2+Ð3+Ð4=3600
Т.к. Ð1+Ð2+Ð3=2500, то Ð4=3600-2500=1100
Ð4=Ð2=1100 как вертикальные углы
Ð1=1800-Ð2=1800-1100=700
Ð1=Ð3=700 как вертикальные углы
Ответ: Ð1=Ð3=700; Ð2=Ð4=1100.
Самостоятельная работа.
Вариант I.
Задание 1. Перечертите угол в тетрадь и постройте угол, смежный с данным. Сколько таких углов можно построить?
Задание 2. Начертите две пересекающие прямые. Известно, что один из углов равен 46°. Найдите остальные углы.
Вариант II.
Задание 1. Перечертите угол в тетрадь и постройте угол, вертикальный с данным. Сколько таких углов можно построить.
Задание 2. На рисунке изображены смежные углы. Один из них равен 103°. Чему равен другой угол?
После выполнения самостоятельной работы учащиеся, сидящие за одной партой, обмениваются тетрадями и проверяют работу друг у друга под диктовку учителя.
VI. Подведение итогов урока.
Дайте определение смежных углов.
Сформулируйте свойство смежных углов.
Дайте определение вертикальных углов.
Сформулируйте свойство вертикальных углов.
Как формулируется тема сегодняшнего урока? (Смежные и вертикальные углы).
Запишите тему урока в тетради.
Какие цели мы ставили перед собой?
Достигли ли мы этих целей?
Выставление оценок.
VII. Домашнее задание.
Стр. 22 п.11. выучить определения, формулировки и доказательства теорем.
Стр. 24 №58; 64.
VIII. Рефлексия.
Понравился ли вам сегодняшний урок?
Что понравилось больше всего?
Кто работал лучше всех?
Спасибо! Урок окончен.
Êëèêíèòå, ÷òîáû äîáàâèòü â èçáðàííûå ñåðâèñû.
Êëèêíèòå, ÷òîáû óäàëèòü èç èçáðàííûõ ñåðâèñîâ.
Ñìåæíûìè óãëàìè íàçûâàåòñÿ ïàðà óãëîâ ñ îáùåé âåðøèíîé è îäíîé îáùåé ñòîðîíîé. 2 îñòàâøèåñÿ ñòîðîíû äåëàþò ïðîäîëæåíèå äðóã äðóãó, îáðàçîâûâàÿ ïðÿìóþ ëèíèþ.
Êàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ ñìåæíûìè?
Ñìåæíûìè óãëàìè íàçûâàåòñÿ ïàðà óãëîâ ñ îáùåé âåðøèíîé è îäíîé îáùåé ñòîðîíîé. 2 îñòàâøèåñÿ ñòîðîíû äåëàþò ïðîäîëæåíèå äðóã äðóãó, îáðàçîâûâàÿ ïðÿìóþ ëèíèþ. Äëÿ óãëà 135 ãðàäóñîâ ñìåæíûì áóäåò óãîë ðàâíûé 45 ãðàäóñàì. Äëÿ óãëà x ãðàäóñîâ ñìåæíûì ÿâëÿåòñÿ óãîë (180 – x) ãðàäóñîâ. |  |
Äâà ñìåæíûõ óãëà — ýòî óãëû, ñ îäíîé îáùåé ñòîðîíîé, à îñòàëüíûå ñòîðîíû íàõîäÿòñÿ íà îäíîé ïðÿìîé.
Ïðè ïåðåñå÷åíèè 2-õ ïðÿìûõ ïîëó÷àåòñÿ 4-ðå ïàðû ñìåæíûõ óãëîâ:
∠1 è ∠2, ∠3 è ∠4, ∠1 è ∠3, ∠2 è ∠4 Íî, òàê êàê ∠1 =∠4, ∠2 = ∠3 (êàê âåðòèêàëüíûå), òî äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îäíó èç ýòèõ ïàð. |  |
Ñâîéñòâî ñìåæíûõ óãëîâ.
×åìó ðàâíà ñóììà ñìåæíûõ óãëîâ?
Ñìåæíûå óãëû ðàâíû: ñóììà ñìåæíûõ óãëîâ 180º.
1. α+ β= 180°
2. α= 180°−β
Ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû î ñìåæíûõ óãëàõ.
- Åñëè 2 óãëà ðàâíû, òî ñìåæíûå èì óãëû òîæå ðàâíû.
- Åñëè óãîë íå ðàçâåðíóòûé, çíà÷èò îí ≠180°.
- Ñìåæíûé óãîë äëÿ ïðÿìîãî óãëà (ò.å. óãëà, ó íåãî ãðàäóñíàÿ ìåðà = 90°), òîæå ïðÿìîé.
- Ñìåæíûé óãîë äëÿ îñòðîãî óãëà (ãðàäóñíàÿ ìåðà ìåíüøå 90°), áóäåò òóïûì (ãðàäóñíàÿ ìåðà áîëüøå
90°), à ñìåæíûé òóïîìó — îñòðûì.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ.
- Ñèíóñû ñìåæíûõ óãëîâ îäèíàêîâû. Èõ êîñèíóñû è òàíãåíñû ðàâíû ïî âåëè÷èíå, íî èìåþò
ïðîòèâîïîëîæíûå çíàêè (èñêëþ÷åíèå íåîïðåäåëåííûå çíà÷åíèÿ).
- ×òîáû ïîñòðîèòü óãîë, ñìåæíûé ñóùåñòâóþùåìó, íåîáõîäèìî îäíó èç ñòîðîí íàøåãî óãëà ïðîäëèòü
äàëüøå âåðøèíû.
Ðàññìîòðèì ïðèìåð:
Çàäàíèå. ×åìó áóäåò ðàâíà ãðàäóñíàÿ ìåðà óãëà α, êîãäà ãðàäóñíàÿ ìåðà ñìåæíîãî åìó óãëà = 70°?
Êàê íàéòè ñìåæíûé óãîë?
Ðåøåíèå. Èç òåîðåìû î ñìåæíûõ óãëàõ íàõîäèì:
Äàëåå
Îòâåò.
Äîïîëíèòåëüíûå ìàòåðèàëû ïî òåìå: Óãëû. Ñìåæíûå óãëû.
|
| ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
| ||||||||||||