Какие свойства выполняются для длин отрезков

Понятие длины отрезка и ее измерения были уже использованы неоднократно, в частности, когда рассматривали натуральное число как меру величины. В этом пункте мы только обобщим представле­ния о длине отрезка как геометрической величине.

В геометрии длина — это величина, характеризующая протяженность отрезка, а также других линий (ломаной, кривой). В нашем курсе будет рассмотрено только понятие длины отрезка. При его определении будем использовать введенное в теме 18 понятие «отрезок состоит из отрезков».

Определение.Длиной отрезка называется положительная величина, обладающая следующими свойствами: 1) равные отрезки имеют равные длины; 2) если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.

Эти свойства длины отрезка используются при ее измерении. Чтобы измерить длину отрезка, нужно иметь единицу длины. В геометрии такой единицей является длина произвольного отрезка.

Как показано в теме 18, результатом измерения длины отрезка является положительное действительное число — его называют численным значением длины отрезка при выбранной единице длины или мерой длины данного отрезка. Если обозначить длину отрезка буквой X, единицу длины — Е, а получаемое при измерении действительное число — буквой а, то можно записать: а=mЕ (Х) или Х = а∙Е.

Получаемое при измерении длины отрезка положительное действительное число должно удовлетворять ряду требований:

1. Если два отрезка равны, то численные значения их длин тоже равны.

2. Если отрезок х состоит из отрезков х1 и х2, то численное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков х1 и х2.

3. При замене единицы длины численное значение длины данного отрезка увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

4. Численное значение длины единичного отрезка равно единице.

Доказано, что положительное действительное число, являющееся мерой длины заданного отрезка, всегда существует и единственно. Доказано также, что для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Заметим, что часто, ради краткости речи, численное значение длины отрезка называют просто длиной. Например, в задании «Найдите длину данного отрезка» под словом «длина» подразумевается числен­ное значение длины отрезка. Не менее часто допускают и другую вольность — говорят: «Измерь отрезок» вместо «Измерь длину отрезка».

Задача. Построить отрезок, длина которого 3,2Е. Каким будет численное значение длины этого отрезка, если единицу длины Е увеличить в 3 раза ?

Решение. Построим произвольный отрезок и будем считать его единичным. Затем построим прямую, отметим на ней точку А и отложим от нее 3 отрезка, длины которых равны Е. Получим отрезок АВ, длина которого 3Е (рис. 1).

Чтобы получить отрезок длиной 3,2Е, надо ввести новую единицу длины. Для этого единичный отрезок надо разбить либо на 10 равных частей, либо на 5, поскольку 0,2 = . Если от точки В отложить отрезок, равный единичного, то длина отрезка АС будет равна 3,2Е.

Чтобы выполнить второе требование за­дачи, воспользуемся свойством 3, согласно которому при увеличении единицы длины в 3 раза численное значение длины данного отрезка уменьшается в 3 раза. Разделим 3,2 на 3, получим:

3,2 : 3 == 3 : 3 = = 1 . Таким образом, при единице длины 3Е численное значение длины построенного отрезка АС будет равно 1 .

1

Измерение отрезков Урок 4

2

Цели урока Ввести понятие длины отрезка. Рассмотреть свойства длин отрезков. Ознакомить учащихся с различными единицами измерения и инструментами для измерения отрезков.

3

Проверка домашнего задания 18 О С В А ОВ OA; OB

4

Проверка домашнего задания 23 а) биссектриса угла АОС – луч ОВ; биссектриса угла ВОF – луч ОD; биссектриса угла АОЕ – луч ОС; б) луч ОС является биссектрисой углов BOD, AOE. Дополнительная задача. D С В А О AOD = COB; D

5

Самостоятельная работа 1. На прямой а от точки А в одном направлении отложены два отрезка АВ и АС так, что АС > АВ. От точки С на этой прямой отложите такой отрезок СЕ, чтобы АС = ВЕ. Сравните отрезки СЕ и АВ. 2.Дано: АОС = ВОD, OM – биссектриса АОВ. Доказать: ОМ – биссектриса СОD. AC M O D B 1. На прямой m от точки А в отложены два отрезка так, что АС > АВ и точка А лежит между точками В и С. От точки С на этой прямой отложите отрезок СМ так, что ВМ = АС. Сравните отрезки МС и АВ. 2.Дано: АОС = ВОС, АОЕ = BOF. Доказать: ОC – биссектриса EOF. A EF C B O Вариант IВариант II

6

Самостоятельная работа 3. На сколько частей могут разделить плоскость три прямые? 3. Даны три прямые каждая из которых пересекает хотя бы одну другую. Сколько всего точек пересечения могут иметь такие прямые? Вариант IВариант II

7

Изучение нового материала Прочитайте самостоятельно § 4. Ответьте на вопросы: Какие основные единицы измерения длины нам известны? (мм, см, дм, м, км) А дополнительные? (световой год – путь, который проходит свет в течение одного года; морская миля – 1,852 км; старинные единицы измерения отрезков: аршин – 0,7112 м; сажень – 2,1336 м; косая сажень – 2,48 м; маховая сажень – 1,76 м; локоть – 0,45 м и т. д.

8

Изучение нового материала Ответьте на вопросы: Как найти длину отрезка, если точка делит его на два отрезка, длины которых известны? (Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков) Какими инструментами пользуются для измерения расстояний? (Для измерения расстояний используются масштабная миллиметровая линейка, штангенциркуль, рулетка)

9

Закрепление Устно: 26 Письменно 32 Дано: А а, В а, С а АВ = 12 см, ВС = 13,5 см. Найти: АС. Решение: на прямой а отметим точки А, В, С. Возможны случаи: а) Точка В между точками А и С, тогда АС=АВ+ВС, АС=12 см + +13,5 см = 25,5 см. б) Точка А между точками В и С, тогда АС = ВС – АВ, АС = 13,5 см – — 12 см= 1,5 см. в) Точка С не может лежать между точками В и А, т.к. АВ

10

Самостоятельное решение задач 28, 27, 31, А В О СЕDK ОЕ = АВ =1; OС=2AB=2; 31 Дано: а) В АС, АВ = 3,7 см, АС = 7,2 см. б) В АС, АВ = 4 мм, АС = 4 см. Найти: ВС. Решение: Т. к. В АС, то АВ + ВС = АС, ВС = АС – АВ. а) ВС = 7,2 см — 3,7 см = 3,5 см; б) ВС = 4 см – 4 мм = 3,6 см. Ответ: а) ВС=3,5 см; б)ВС=3,6 см.

11

Самостоятельное решение задач 34 Дано: АВ = 64 см, С середина АВ, D лежит на луче СА, CD = 15 см. Найти: ВD, DA. Решение: Т. к. C – середина АВ, то АС = СВ = 64 см : 2 = 32 см. CD = 15 см, значит, CD

12

Домашнее задание § 4, вопросы 12 – 13 25, 29, 33 Дополнительная задача: Дано: AF = FB, BK = KC, AC = 5 см Найти: FK. B F A K C

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

На практике часто приходится измерять отрезки, т. е. находить их длины.

Измерить отрезок — это значит сравнить его с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения (его называют также масштабным отрезком).

Если, например, за единицу измерения принят сантиметр, то для определения длины отрезка узнают, сколько раз в этом отрезке укладывается сантиметр. На рисунке 1 в отрезке АВ сантиметр укладывается ровно два раза. Это означает, что длина отрезка АВ равна 2 см. Обычно говорят кратко: «Отрезок АВ равен 2 см» — и пишут: АВ = 2 см.

Может оказаться, что отрезок, принятый за единицу измерения, не укладывается целое число раз в
измеряемом отрезке — получается остаток. Тогда единицу измерения делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и определяют, сколько раз одна такая часть укладывается в остатке. Например, на рисунке 1 в отрезке АС сантиметр укладывается 3 раза и в остатке ровно 4 раза укладывается одна десятая часть сантиметра (миллиметр), поэтому длина отрезка АС равна 3,4 см. Но возможно, что и взятая часть единицы измерения (в данном случае миллиметр) не укладывается в остатке целое число раз, и получается новый остаток. Так будет, например, с отрезком AD на рисунке 1, в котором сантиметр укладывается три раза с остатком, а в остатке миллиметр укладывается восемь раз вновь с остатком. В таком случае говорят,
что длина отрезка AD приближенно равна 3,8 см. Для более точного измерения этого отрезка указанную часть единицы измерения (миллиметр) можно разделить на 10 равных частей и продолжить процесс измерения. Мысленно этот процесс можно продолжать и дальше, измеряя длину отрезка со все большей точностью. На практике, однако, пользуются приближенными значениями длин отрезков.

За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок.

Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом.

Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.

Если два отрезка равны, то единица измерения и ее части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения (или ее часть) укладывается в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом,
т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину.

На рисунке 2 изображен отрезок АВ. Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Мы видим, что АС = 3 см, СВ = = 2,7 см, АВ = 5,7 см. Таким образом, АС + СВ = АВ. Также и во всех случаях, когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

Длина отрезка называется также расстоянием между концами этого отрезка.

Пример 1. Точка С — середина отрезка АВ. Найти длину отрезка АС, если длина отрезка АВ равна 32 см.

Решение. Имеем: АС + СВ = АВ или АС + СВ = 32. Так как С — середина отрезка АВ, то АС = С В и, значит, 2АС = 32, откуда АС = 16 (см).

Пример 2. Точка С — середина отрезка АВ, точка О — середина отрезка АС. Найти АС, СВ, АО и ОВ, если АВ = 2 см.

Решение. Так как С — середина отрезка АВ, то, как и в предыдущем примере, АС = СВ = 1/2 • АВ, или АС = СВ = 1/2 • 2 = 1 (см). Так как точка О — середина отрезка АС = 1 см, то АО= ОС = 0,5 см. Наконец, ОВ = ОС + СВ = 0,5 + 1 = 1,5 (см).

Пример 3. Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АС = 5 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см?

Решение. Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то больший из отрезков АВУ ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший из данных отрезков (отрезок АС) равен 5 см, а сумма двух других (АВ + ВС) равна 7 см. Поэтому точки А, В и С не лежат на одной прямой.