Какие свойства углов треугольника
Определение. Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.
Типы треугольников
По величине углов
Остроугольный треугольник — все углы треугольника острые.
Тупоугольный треугольник — один из углов треугольника тупой (больше 90°).
Прямоугольный треугольник — один из углов треугольника прямой (равен 90°).
По числу равных сторон
Разносторонний треугольник — все три стороны не равны.
Равнобедренный треугольник — две стороны равны.
Равносторонним треугольник или правильный треугольник — все три стороны равны.
Вершины углы и стороны треугольника
Свойства углов и сторон треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°:
α + β + γ = 180°
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:
если α > β, тогда a > b
если α = β, тогда a = b
Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
a + b > c
b + c > a
c + a > b
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
| a | = | b | = | c | = 2R |
| sin α | sin β | sin γ |
Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a2 = b2 + c2 — 2bc·cos α
b2 = a2 + c2 — 2ac·cos β
c2 = a2 + b2 — 2ab·cos γ
Теорема о проекциях
Для остроугольного треугольника:
a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α
c = a cos β + b cos α
Формулы для вычисления длин сторон треугольника
Формулы сторон через медианы
a = 23√2(mb2 + mc2) — ma2
b = 23√2(ma2 + mc2) — mb2
c = 23√2(ma2 + mb2) — mc2
Медианы треугольника
Определение. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Свойства медиан треугольника:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения медиан называется центроидом)
В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части
S∆ABD = S∆ACD
S∆BEA = S∆BEC
S∆CBF = S∆CAF
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
S∆AOF = S∆AOE = S∆BOF = S∆BOD = S∆COD = S∆COE
Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
Формулы медиан треугольника
Формулы медиан треугольника через стороны
ma = 12√2b2+2c2-a2
mb = 12√2a2+2c2-b2
mc = 12√2a2+2b2-c2
Биссектрисы треугольника
Определение. Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.
Свойства биссектрис треугольника:
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.
Угол между lc и lc’ = 90°
Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.
Формулы биссектрис треугольника
Формулы биссектрис треугольника через стороны:
la = 2√bcp(p — a)b + c
lb = 2√acp(p — b)a + c
lc = 2√abp(p — c)a + b
где p = a + b + c2 — полупериметр треугольника
Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:
la = 2bc cos α2b + c
lb = 2ac cos β2a + c
lc = 2ab cos γ2a + b
Высоты треугольника
Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.
В зависимости от типа треугольника высота может содержаться
- внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
- совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
- проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.
Свойства высот треугольника
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.
ha:hb:hc =
1a
:
1b
:
1c
= (bc):(ac):(ab)
Формулы высот треугольника
Формулы высот треугольника через сторону и угол:
ha = b sin γ = c sin β
hb = c sin α = a sin γ
hc = a sin β = b sin α
Формулы высот треугольника через сторону и площадь:
ha = 2Sa
hb = 2Sb
hc = 2Sc
Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности:
ha = bc2R
hb = ac2R
hc = ab2R
Окружность вписанная в треугольник
Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.
Свойства окружности вписанной в треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру:
r = Sp
Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны:
r = (a + b — c)(b + c — a)(c + a — b)4(a + b + c)
Радиус вписанной в треугольник окружности через три высоты:
1r = 1ha + 1hb + 1hc
Окружность описанная вокруг треугольника
Определение. Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.
Свойства окружности описанной вокруг треугольника
Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
Свойства углов
Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.
Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
Радиус описанной окружности через три стороны и площадь:
R = abc4S
Радиус описанной окружности через площадь и три угла:
R = S2 sin α sin β sin γ
Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов):
R = a2 sin α = b2 sin β = c2 sin γ
Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то.
d2 = R2 — 2Rr
= 4 sin
α2
sin
β2
sin
γ2
= cos α + cos β + cos γ — 1
Средняя линия треугольника
Определение. Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Свойства средней линии треугольника
1. Любой треугольник имеет три средних линии
2.
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
MN = 12AC KN = 12AB KM = 12BC
MN || AC KN || AB KM || BC
3. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника
S∆MBN = 14 S∆ABC
S∆MAK = 14 S∆ABC
S∆NCK = 14 S∆ABC
4. При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
∆MBN ∼ ∆ABC
∆AMK ∼ ∆ABC
∆KNC ∼ ∆ABC
∆NKM ∼ ∆ABC
Признаки. Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.
Периметр треугольника
Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон
P = a + b + c
Формулы площади треугольника
Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высотыS =
12
a · ha
S =12
b · hb
S =12
c · hc
Формула площади треугольника по трем сторонам
Формула Герона
S = √p(p — a)(p — b)(p — c)
где p =
a + b + c2
— полупериметр треугльника.
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.S =
12
a · b · sin γ
S =12
b · c · sin α
S =12
a · c · sin β
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
Равенство треугольников
Определение. Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.
Свойства. У равных треугольников равны и их
соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны)
Признаки равенства треугольников
Теорема 1.
Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема 2.
Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема 3.
Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Подобие треугольников
Определение. Подобные треугольники — треугольники соответствующие углы которых равны, а сходственные стороны пропорциональны.
∆АВС ~ ∆MNK => α = α1, β = β1, γ = γ1 и ABMN = BCNK = ACMK = k,
где k — коэффициент подобия
Признаки подобия треугольников
Первый признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Второй признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Третий признак подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Свойства. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
S∆АВСS∆MNK = k2
| Фигура | Рисунок | Формулировка |
| Треугольник |  | Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки. Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника, а концы отрезков – вершинами треугольника. |
| Большая сторона треугольника |  | Против большей стороны треугольника лежит больший угол |
| Больший угол треугольника | Против большего угла треугольника лежит большая сторона | |
| Меньшая сторона треугольника |  | Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол |
| Меньший угол треугольника | Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона | |
| Длины сторон треугольника |  | Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. a < b + c |
Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника: длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон. a > |b – c| | ||
| Углы треугольника |  | Сумма углов треугольника равна 180° Посмотреть доказательство |
| Внешний угол треугольника |  | Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним. δ = α + β . Посмотреть доказательство |
| Больший угол треугольника |  | Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°. , где α – больший угол треугольника. |
| Меньший угол треугольника |  | Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°. , где β – меньший угол треугольника. |
| Теорема косинусов |  | a2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α , Посмотреть доказательство |
| Теорема синусов |  | , где R – радиус описанной окружности. Посмотреть доказательство |
| Треугольник | |
| Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки. Определение. Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника, а концы отрезков – вершинами треугольника. |
| Большая сторона треугольника | |
| Против большей стороны треугольника лежит больший угол |
| Больший угол треугольника | |
| Против большего угла треугольника лежит большая сторона |
| Меньшая сторона треугольника | |
| Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол |
| Меньший угол треугольника | |
| Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона |
| Длины сторон треугольника | |
| Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. a < b + c |
Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника: длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон. a > |b – c| | |
| Углы треугольника | |
| Сумма углов треугольника равна 180° Посмотреть доказательство |
| Внешний угол треугольника | |
| Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним. δ = α + β . Посмотреть доказательство |
| Больший угол треугольника | |
| Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°. , где α – больший угол треугольника. |
| Меньший угол треугольника | |
| Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°. , где β – меньший угол треугольника. |
| Теорема косинусов | |
| a2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α , Посмотреть доказательство |
| Теорема синусов | |
| , где R – радиус описанной окружности. Посмотреть доказательство |
| Треугольник |
| Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки. Определение. Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника, а концы отрезков – вершинами треугольника. |
| Большая сторона треугольника |
| Свойство большей стороны треугольника: Против большей стороны треугольника лежит больший угол |
| Больший угол треугольника |
| Свойство большего угла треугольника: Против большего угла треугольника лежит большая сторона |
| Меньшая сторона треугольника |
| Свойство меньшей стороны треугольника: Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол |
| Меньший угол треугольника |
| Свойство меньшего угла треугольника: Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона |
| Длины сторон треугольника |
| Неравенства трегольника: Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. a < b + c Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника: длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон. a > |b – c| |
| Углы треугольника |
| Свойство углов треугольника: Сумма углов треугольника равна 180° Посмотреть доказательство |
| Внешний угол треугольника |
Свойство внешнего угла треугольника: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним. δ = α + β . Посмотреть доказательство |
| Больший угол треугольника |
| Свойство большего угла треугольника: Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°. , где α – больший угол треугольника. |
| Меньший угол треугольника |
| Свойство меньшего угла треугольника: Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°. , где β – меньший угол треугольника. |
| Теорема косинусов |
| Теорема косинусов: a2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α , Посмотреть доказательство |
| Теорема синусов |
| Свойство меньшего угла треугольника: , где R – радиус описанной окружности. Посмотреть доказательство |
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Треугольник. Остроугольный,
тупоугольный и прямоугольный треугольник.
Катеты и гипотенуза. Равнобедренный
и равносторонний треугольник.
Основные свойства треугольников.
Сумма углов треугольника.
Внешний угол треугольника.
Признаки равенства треугольников.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Замечательные линии и точки в
треугольнике: высоты, медианы,
биссектрисы,срединныe
перпендикуляры, ортоцентр,
центр тяжести, центр описанного
круга, центр вписанного круга.
Теорема Пифагора. Соотношение сторон в произвольномтреугольнике.
Треугольник
– это многоугольник с тремя
сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми
буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные
вершины.
Если
все
три
угла острые
(
рис.20
),
то
это
остроугольный треугольник.
Если один из углов прямой (
C, рис.21 ),
то это прямоугольный треугольник;
стороны a,
b,
образующие прямой угол, называются катетами; сторона
c,
противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Если один из
углов
тупой ( B,
рис.22 ),
то это
тупоугольный треугольник.
Треугольник
ABC
( рис.23 ) — равнобедренный,
если две его стороны равны (
a
=
c
); эти равные стороны
называются боковыми, третья сторона называется основанием
треугольника. Треугольник ABC
( рис.24 ) – равносторонний,
если все его стороны равны (
a
=
b
=
c
). В
общем случае ( a ≠ b ≠ c )
имеем
неравносторонний треугольник.
Основные свойства треугольников.
В любом
треугольнике:
1.
Против большей стороны лежит больший
угол, и наоборот.
2.
Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
В частности, все углы в
равностороннем треугольнике равны.
3.
Сумма углов треугольника равна 180
º
.
Из двух последних свойств следует, что каждый угол в
равностороннем
треугольнике равен 60º.
4. Продолжая
одну из
сторон
треугольника (AC, рис.25),
получаем внешний
угол
BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних
углов,
не смежных с ним:
BCD =
A +
B.
5. Любая
сторона
треугольника
меньше
суммы
двух
других
сторон
и
больше
их разности (
a < b + c, a > b – c;
b < a + c,
b > a – c; c
< a + b, c > a
– b ).
Признаки равенства
треугольников.
Треугольники равны, если у них
соответственно равны:
a)
две стороны и угол между ними;
b)
два угла и прилегающая к ним сторона;
c)
три стороны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Два прямоугольных треугольника равны, если
выполняется одно из следующих условий:
1) равны их катеты;
2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;
3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу
другого;
4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и
прилежащему острому углу другого;
5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и
противолежащему
острому углу другого.
Замечательные линии и точки в
треугольнике.
Высота
треугольника — это
перпендикуляр,
опущенный из любой вершины
на противоположную сторону
(
или её продолжение
).
Эта сторона называется
основанием треугольника.
Три высоты
треугольника
всегда
пересекаются
в одной точке,
называемой ортоцентром треугольника.Ортоцентр остроугольного
треугольника ( точка O,
рис.26 ) расположен внутри треугольника, а
ортоцентр тупоугольного
треугольника ( точка O,
рис.27 ) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с
вершиной прямого угла.
Медиана
– это отрезок,
соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Три медианы треугольника
(
AD,
BE,
CF,
рис.28 ) пересекаются в
одной точке
O,
всегда лежащей внутри треугольника
и
являющейся
его
центром тяжести.
Эта точка делит каждую
медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Биссектриса
– это
отрезок биссектрисы
угла
от вершины до
точки
пересечения с противоположной
стороной.
Три биссектрисы треугольника
( AD,
BE,
CF,
рис.29 ) пересекаются в
одной точке О, всегда
лежащей внутри треугольника
и
являющейся центром
вписанного круга (см. раздел «Вписанные
и описанные многоугольники»).
Биссектриса делит противоположную
сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам;
например, на рис.29 AE
: CE
= AB
: BC
.
Срединный перпендикуляр
– это перпендикуляр,
проведенный из средней
точки
отрезка
(стороны).
Три срединных перпендикуляра
треугольника АВС
(
KO,
MO,
NO,
рис.30
) пересекаются в одной точке О,
являющейся центром
описанного круга
( точки K,
M,
N
– середины сторон треугольника
ABC
).
В остроугольном треугольнике эта точка
лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном
—
в середине гипотенузы.
Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и
центр вписанного круга
совпадают только в равностороннем
треугольнике.
Теорема Пифагора. В
прямоугольном треугольнике квадрат длины
гипотенузы равен сумме
квадратов длин катетов.
Доказательство теоремы Пифагора с
очевидностью следует из рис.31.
Рассмотрим прямоугольный треугольник
ABC
с катетами
a,
b
и гипотенузой
c.
Построим квадрат
AKMB,
используя гипотенузу AB
как сторону. Затем
продолжим стороны
прямоугольного треугольника ABC
так, чтобы получить квадрат
CDEF,
сторона которого равна a
+
b
. Теперь ясно, что площадь
квадрата CDEF
равна (
a
+
b
)
2.
С
другой
стороны,
эта
площадь равна сумме
площадей
четырёх прямоугольных
треугольников
и
квадрата
AKMB,
то есть
c
2
+ 4 ( ab
/ 2 ) = c
2
+ 2 ab
,
отсюда,
c2 +
2 ab =( a + b )
2 ,
и окончательно имеем:
c
2= a2
+ b 2.
Соотношение сторон в
произвольном треугольнике.
В общем случае ( для произвольного
треугольника ) имеем:
c
2= a2
+ b 2
– 2ab ·cosC,
где
C
– угол между сторонами a
и b
.
Назад