Какие свойства у равностороннего треугольника
Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.
Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.
Равносторонний треугольник (понятие, определение)
Свойства равностороннего треугольника
Признаки равностороннего треугольника
Формулы равностороннего треугольника
Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник
Равносторонний треугольник (понятие, определение):
Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.
Равносторонний треугольник называется также правильным или равноугольным треугольником.
По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.
Рис. 1. Равносторонний треугольник
АВ = ВС = АС – стороны треугольника, ∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника
Свойства равностороннего треугольника:
1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.
2. В равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.
3. В равностороннем треугольнике каждая медиана, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и высотой, и они равны между собой.
В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к каждой стороне, является медианой и высотой, и они равны между собой.
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и медианой, и они равны между собой.
Рис. 2. Равносторонний треугольник
АK = BF = CD
4. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника. Она же является центром вписанной и описанной окружностей.
Рис. 3. Равносторонний треугольник
R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности
5. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.
6. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, если считать от вершин.
Рис. 4. Равносторонний треугольник
AO : OK = BO : OА = CO : OD = 2 : 1
Признаки равностороннего треугольника:
– если в треугольнике три угла равны, то он равносторонний;
– если в треугольнике три стороны равны, то он равносторонний.
Формулы равностороннего треугольника:
Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).
Рис. 6. Равносторонний треугольник
Формула радиуса вписанной окружности (r):
.
Формула радиуса описанной окружности (R):
,
.
Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:
.
Формулы площади (S) равностороннего треугольника:
.
Формулы высоты (h), медианы (m) и биссектрисы (l) треугольника:
.
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
карта сайта
Коэффициент востребованности
6 754
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
 | Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. |
Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?
Равносторонний треугольник. Свойства.
Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме , значит, каждый по .
Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).
Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник:
 | Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный. |
Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром! В равностороннем треугольнике оказалось не особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!
Итак, ещё раз:
Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.
Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной.
 |
Уже должно быть очевидно, отчего так.
Посмотри на рисунок: точка – центр треугольника. Значит, – радиус описанной окружности (обозначили его ), а – радиус вписанной окружности (обозначим ).
Но ведь точка – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины.
Поэтому , то есть .
Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.
Давай удостоверимся в этом.
Равносторонний треугольник. Высота
 |
Почему?
Рассмотрим – он прямоугольный.
.
Равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности
 |
А это почему?
Мы уже выяснили, что точка – не только центр описанной окружности, но и точка пересечения медиан. Значит, .
Величину мы уже находили. Теперь подставляем:
Равносторонний треугольник. Радиус вписанной окружности
 |
Это уже теперь должно быть совсем ясно
.
Ну вот, все основные сведения обсудили. Конечно, можно задавать сотни вопросов про всякие длины всяких отрезков в равностороннем треугольнике.
Но главное, что следует иметь в виду, решая задачки о равностороннем треугольнике, – это то, что все его углы известны – равны и все высоты являются и биссектрисами, и медианами, и серединными перпендикулярами.
РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны: .
 |
|
|
|
|
|
В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны :
|
|
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
Стать учеником YouClever,
Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,
А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.
можно кликнув по этой ссылке.
В этой статье описаны все свойства, правила и определения равностороннего треугольника.
Математика — любимый предмет многих школьников, особенно тех, у которых получается решать задачи. Геометрия — это также интересная наука, но не все дети могут понять новый материал на уроке. Поэтому им приходится дорабатывать и доучивать дома. Давайте повторим правила равностороннего треугольника. Читайте ниже.
Все правила равностороннего треугольника: свойства
В самом слове «равносторонний» скрывается определение этой фигуры.
Определение равностороннего треугольника: Это треугольник, у которого все стороны равны друг другу.
Из-за того, что равносторонний треугольник – это в некотором роде равнобедренный треугольник, у него появляются признаки последнего. Например, в этих треугольниках биссектриса угла является еще медианой и высотой.
Вспомним: Биссектриса — луч, делящий угол пополам, медиана – луч, выпущенный из вершины, делящий противолежащую сторону пополам, а высота — это перпендикуляр, исходящий из вершины.
Вторым признаком равностороннего треугольника является то, что все его углы равны между собой и каждый из них имеет градусную меру в 60 градусов. Вывод об этом можно сделать из общего правила о сумме углов треугольника, равной 180 градусам. Следовательно, 180:3=60.
Следующее свойство: центром равностороннего треугольника, а также вписанной в него и описанной около него окружностей является точка пересечения всех его медиан (биссектрис).
Четвертое свойство: радиус описанной около равностороннего треугольника окружности превышает в два раза радиус вписанной окружности в эту фигуру. Убедиться в этом можно, посмотрев на чертеж. ОС является радиусом описанной около треугольника окружности, а ОВ1 — радиусом вписанной. Точка О — место пересечения медиан, значит, разделяет ее как 2:1. Из этого делаем вывод, что ОС = 2ОВ1.
Пятым свойством является то, что в этой геометрической фигуре легко посчитать составляющие элементы, если в условии указана длина одной стороны. При этом чаще всего используется теорема Пифагора.
Шестое свойство: площадь такого треугольника вычисляется по формуле S=(а^2*3) /4.
Седьмое свойство: радиусы окружности, описанной около треугольника, и окружности, вписанной в треугольник, соответственно равны
R = (a3) /3 и r = (a3) /6.
Рассмотрим примеры задач:
Пример 1:
Задача: Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник равен 7 см. Найдите высоту треугольника.
Решение:
- Радиус вписанной окружности связан с последней формулой, следовательно, OM = (BC3) /6.
- BC = (6 * OM) /3 = (6*7) /3 = 143.
- AM = (BC3) /2; AM = (143*3) /2 = 21.
- Ответ: 21 см.
Эту задачу можно решить по-другому:
- Исходя из четвертого свойства, можно сделать вывод, что ОМ = 1/2 АМ.
- Следовательно, если ОМ равно 7, то АО равно 14, а АМ равно 21.
Пример 2:
Задача: Радиус описанной около треугольника окружности равен 8. Найдите высоту треугольника.
Решение:
- Пусть АВС – равносторонний треугольник.
- Как и в предыдущем примере, можно идти двумя путями: более простым – АО = 8 => ОМ =4. Тогда АМ = 12.
- И более длинным – чтобы найти АМ через формулу. АМ = (АС3) /2 = (83*3) /2 = 12.
- Ответ: 12.
Как видите, зная свойства и определение равностороннего треугольника, вы сможете решить любую задачу по геометрии по этой теме.
Видео: Геометрия Равносторонний треугольник
Определение. Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.
Типы треугольников
По величине углов
Остроугольный треугольник — все углы треугольника острые.
Тупоугольный треугольник — один из углов треугольника тупой (больше 90°).
Прямоугольный треугольник — один из углов треугольника прямой (равен 90°).
По числу равных сторон
Разносторонний треугольник — все три стороны не равны.
Равнобедренный треугольник — две стороны равны.
Равносторонним треугольник или правильный треугольник — все три стороны равны.
Вершины углы и стороны треугольника
Свойства углов и сторон треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°:
α + β + γ = 180°
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:
если α > β, тогда a > b
если α = β, тогда a = b
Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
a + b > c
b + c > a
c + a > b
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
| a | = | b | = | c | = 2R |
| sin α | sin β | sin γ |
Теорема косинусов
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a2 = b2 + c2 — 2bc·cos α
b2 = a2 + c2 — 2ac·cos β
c2 = a2 + b2 — 2ab·cos γ
Теорема о проекциях
Для остроугольного треугольника:
a = b cos γ + c cos β
b = a cos γ + c cos α
c = a cos β + b cos α
Формулы для вычисления длин сторон треугольника
Формулы сторон через медианы
a = 23√2(mb2 + mc2) — ma2
b = 23√2(ma2 + mc2) — mb2
c = 23√2(ma2 + mb2) — mc2
Медианы треугольника
Определение. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Свойства медиан треугольника:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения медиан называется центроидом)
В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)
Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части
S∆ABD = S∆ACD
S∆BEA = S∆BEC
S∆CBF = S∆CAF
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
S∆AOF = S∆AOE = S∆BOF = S∆BOD = S∆COD = S∆COE
Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
Формулы медиан треугольника
Формулы медиан треугольника через стороны
ma = 12√2b2+2c2-a2
mb = 12√2a2+2c2-b2
mc = 12√2a2+2b2-c2
Биссектрисы треугольника
Определение. Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.
Свойства биссектрис треугольника:
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.
Угол между lc и lc’ = 90°
Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.
Формулы биссектрис треугольника
Формулы биссектрис треугольника через стороны:
la = 2√bcp(p — a)b + c
lb = 2√acp(p — b)a + c
lc = 2√abp(p — c)a + b
где p = a + b + c2 — полупериметр треугольника
Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:
la = 2bc cos α2b + c
lb = 2ac cos β2a + c
lc = 2ab cos γ2a + b
Высоты треугольника
Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.
В зависимости от типа треугольника высота может содержаться
- внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
- совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
- проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.
Свойства высот треугольника
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.
ha:hb:hc =
1a
:
1b
:
1c
= (bc):(ac):(ab)
Формулы высот треугольника
Формулы высот треугольника через сторону и угол:
ha = b sin γ = c sin β
hb = c sin α = a sin γ
hc = a sin β = b sin α
Формулы высот треугольника через сторону и площадь:
ha = 2Sa
hb = 2Sb
hc = 2Sc
Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности:
ha = bc2R
hb = ac2R
hc = ab2R
Окружность вписанная в треугольник
Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.
Свойства окружности вписанной в треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру:
r = Sp
Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны:
r = (a + b — c)(b + c — a)(c + a — b)4(a + b + c)
Радиус вписанной в треугольник окружности через три высоты:
1r = 1ha + 1hb + 1hc
Окружность описанная вокруг треугольника
Определение. Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.
Свойства окружности описанной вокруг треугольника
Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
Свойства углов
Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.
Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
Радиус описанной окружности через три стороны и площадь:
R = abc4S
Радиус описанной окружности через площадь и три угла:
R = S2 sin α sin β sin γ
Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов):
R = a2 sin α = b2 sin β = c2 sin γ
Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то.
d2 = R2 — 2Rr
= 4 sin
α2
sin
β2
sin
γ2
= cos α + cos β + cos γ — 1
Средняя линия треугольника
Определение. Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Свойства средней линии треугольника
1. Любой треугольник имеет три средних линии
2.
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
MN = 12AC KN = 12AB KM = 12BC
MN || AC KN || AB KM || BC
3. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника
S∆MBN = 14 S∆ABC
S∆MAK = 14 S∆ABC
S∆NCK = 14 S∆ABC
4. При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
∆MBN ∼ ∆ABC
∆AMK ∼ ∆ABC
∆KNC ∼ ∆ABC
∆NKM ∼ ∆ABC
Признаки. Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.
Периметр треугольника
Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон
P = a + b + c
Формулы площади треугольника
Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высотыS =
12
a · ha
S =12
b · hb
S =12
c · hc
Формула площади треугольника по трем сторонам
Формула Герона
S = √p(p — a)(p — b)(p — c)
где p =
a + b + c2
— полупериметр треугльника.
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.S =
12
a · b · sin γ
S =12
b · c · sin α
S =12
a · c · sin β
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
Равенство треугольников
Определение. Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.
Свойства. У равных треугольников равны и их
соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны)
Признаки равенства треугольников
Теорема 1.
Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема 2.
Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема 3.
Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Подобие треугольников
Определение. Подобные треугольники — треугольники соответствующие углы которых равны, а сходственные стороны пропорциональны.
∆АВС ~ ∆MNK => α = α1, β = β1, γ = γ1 и ABMN = BCNK = ACMK = k,
где k — коэффициент подобия
Признаки подобия треугольников
Первый признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Второй признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Третий признак подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Свойства. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
S∆АВСS∆MNK = k2