Какие свойства площади вы знаете
ВОПРОСЫ
1. Какие свойства площади фигуры вы знаете?
1) Равные фигуры имеют равные площади.
2) Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.
2. Как поступают, когда хотят измерить какую-либо величину?
Для измерения величины сравнивают с единицей этой величины или её доли.
3. Какой квадрат называют единичным?
В качестве единицы измерения площади выбирают квадрат, сторона которого равна единичному отрезку. Такой квадрат называют единичным.
4. Какие единицы измерения площади вы знаете?
5. Что означает измерить площадь фигуры?
Измерить площадь фигуры — значит подсчитать, сколько единичных квадратов в ней помещается.
6. Чему равна площадь прямоугольника?
7. По какой формуле вычисляют площадь квадрата?
8. Верно ли, что если площади фигур равны, то и равны сами фигуры?
Верно.
9. Сколько квадратных метров содержит 1 ар? 1 гектар?
РЕШАЕМ УСТНО
1. Сколько сантиметров содержится в: 1 дм; 1 м 3 дм; 5 м 2 дм; 12 дм 5 см; 40 мм?
2. Вычислите: 1) сумму кубов чисел 3 и 2; 2) куб суммы чисел 3 и 2; 3) разность квадратов чисел 8 и 6; 4) квадрат разности чисел 8 и 6.
3. Лодка за 5 ч прошла 40 км. За сколько часов она пройдет с той же скоростью 24 км?
4. Сколько литров воды может перекачать насос за 8 мин, если пять таких насосов за 6 мин перекачивают 450 л воды?
5. Какую цифру надо поставить вместо звездочек, чтобы запись 1* + 3* + 5* = 111 стала верным равенством?
Цифру 7.
17+37+57=111.
УПРАЖНЕНИЯ
564. 1) Сколько квадратных сантиметров содержит 1 дм2, 1 м2? 2) Сколько квадратных метров содержит 1 км2?
565. Вычислите площадь прямоугольника, соседние стороны которого равны 14 см и 8 см.
566. Вычислите площадь квадрата со стороной 7 дм.
567. Одна сторона прямоугольника равна 16 см, а соседняя сторона на 6 см длиннее. Вычислите площадь прямоугольника.
568. Одна сторона прямоугольника равна 48 см, а соседняя сторона — в 8 раз меньше. Вычислите площадь прямоугольника.
569. Периметр прямоугольника равен 162 дм, а одна из сторон — 47 дм. Найдите площадь прямоугольника.
570. Периметр прямоугольника равен 96 м, и он в 8 раз больше одной из сторон прямоугольника. Найдите площадь прямоугольника.
571. Найдите площадь квадрата, периметр которого равен 96 см.
572. Периметр прямоугольника равен 4 м 8 дм, одна из его сторон в 5 раз больше соседней стороны. Найдите площадь прямоугольника.
573. Периметр прямоугольника равен 6 дм 8 см, одна из его сторон на 1 дм 6 см меньше соседней стороны. Найдите площадь прямоугольника.
574. Выразите: 1) в арах: 12 га; 45 га; 6 га 28 а; 14 га 68 а; 32 400 м2; 123 800 м2; 2 км2 14 га 5 а; 4 км2 72 га 16 а; 2) в квадратных метрах: 5 а; 17 а; 8 га; 5 га 72 а; 14 га 43 а; 3) в гектарах и арах: 530 а; 1 204 а; 16 300 м2; 85 200 м2.
575. Выразите: 1) в квадратных сантиметрах: 8 дм2; 16 дм 2; 4 м2; 38 м2; 16 м2 19 дм2; 74 м2 3 дм2; 2) в гектарах: 340 000 м2; 5 830 000 м2; 53 км2; 14 км2; 5 км2 18 га; 24 км2 6 га.
576. Поле прямоугольной формы имеет площадь 56 а, его длина 80 м. Вычислите периметр поля.
577. Поле прямоугольной формы имеет площадь 48 а, его ширина — 150 м. Вычислите периметр поля.
578. Вычислите периметр и площадь фигуры, изображенной на рисунке 149 (размеры даны в сантиметрах).
579. Вычислите периметр и площадь фигуры, изображенной на рисунке 150 (размеры даны в сантиметрах).
580. Хватит ли 5 т гороха, чтобы засеять им поле, имеющее форму прямоугольника со сторонами 500 м и 400 м, если на 1 га земли надо высеять 260 кг гороха?
581. Отец решил облицевать кафелем стену кухни, длина которой равна 4 м 50 см, а высота — 3 м. Хватит ли ему 20 ящиков кафеля, если одна плитка имеет форму квадрата со стороной 15 см, а в одном ящике находится 30 плиток?
582. Фермер Петр Трудолюб посадил в теплице огурцы. Длина теплицы равна 16 м 50 см, а ширина 12 м. Сколько килограммов огурцов соберет фермер в своей теплице, если с 1 м2 собирают 30 кг огурцов?
583. Расход эмалевой краски на однослойное покрытие составляет 180 г на 1 м2. Хватит ли 3 кг эмали, чтобы покрасить стену длиной 6 м и высотой 3 м?
584. Квадрат со стороной 12 см и прямоугольник, длина которого равна 18 см, имеют равные площади. Найдите периметр прямоугольника.
585. Квадрат и прямоугольник имеют равные площади, соседние стороны прямоугольника равны 3 см и 12 см. Найдите периметр квадрата.
586. Ширина прямоугольника равна 26 см. На сколько квадратных сантиметров увеличится площадь этого прямоугольника, если его длину увеличить на 4 см?
587. Во сколько раз увеличится периметр и площадь прямоугольника, если каждую его сторону увеличить в 4 раза?
588. Длина прямоугольника равна 32 см. На сколько квадратных сантиметров уменьшится площадь этого прямоугольника, если его ширину уменьшить на 5 см?
589. Площадь квадрата АВСD равна 16 см2 (рис 151). Чему равна площадь прямоугольника АСFЕ?
590. Стороны прямоугольного листа бумаги имеют целочисленную длину (в сантиметрах), а площадь листа равна 12 см2. Сколько квадратов площадью 4 см2 можно вырезать из этого прямоугольника?
591. Стороны прямоугольного листа бумаги имеют целочисленную длину (в сантиметрах), а площадь листа равна 18 см2. Сколько квадратов со стороной 3 см можно вырезать из этого листа?
592. Внутри прямоугольника АВСD (рис. 152) вырезали отверстие прямоугольной формы. Как одним прямолинейным разрезом разделить полученную фигуру на две фигуры с равными площадями?
593. Используя четыре из пяти изображенных на рисунке 153 фигур, составьте квадрат.
594. Можно ли разрезать квадрат на несколько частей так, чтобы потом из них можно было составить два квадрата, длины сторон которых выражаются целым числом сантиметров, если сторона данного квадрата равна: 1) 5 см; 2) 6 см?
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
595. Из вершины прямого угла АВС (рис. 154) провели лучи ВD и ВЕ так, что угол АВЕ оказался больше угла DВЕ на 340, а угол СВD больше угла DВЕ на 230. Какова градусная мера угла DВЕ?
596. Выполните действия:
ЗАДАЧА ОТ МУРОЙ СОВЫ
597. Расстояние между городами А и В равно 30 км. Из города А в город В выехал велосипедист и двигался со скоростью 15 км/ч. Одновременно из города В в направлении города А вылетела птица со скоростью 30 км/ч. Встретившись с велосипедистом, птица развернулась и полетела назад. Прилетев в город В, она снова развернулась и полетела навстречу велосипедисту. Встретившись с ним, птица развернулась и полетела назад в город В и т.д. Сколько километров пролетела птица за то время, пока велосипедист ехал из города А в город В?
Статья рассказывает о понятии площадей и их свойств. Заключительная часть статьи включит себя математическое описание квадрируемых фигур с приведением примеров решения.
Понятие площади, свойства площади
Для вычисления площади основываются на свойствах площадей:
Определение 1
- положительность;
- аддитивность, это когда замкнутая область представлена несколькими фигурами, которые не имеют общих точек и равняются сумме площадей этих фигур.
- инвариантность;
- нормированность.
Единица измерения площади – это элементарный квадрат, имеющий сторону r.
Если рассмотреть фигуру G с ограничениями и за обозначение площади принять S(G), то при построении прямых, изобразить параллельными осям Ох и Оу, причем на расстоянии, равном rобозначению r. Заданные прямые преобразуют сетку, которая разбивает хОу на квадраты. Буквой М обозначается фигура, которая состоящая из элементарных квадратов, которые располагаются внутри G, причем не касаются границ, а М’– фигуру, которая состоит из квадратов и имеющая с границей G хотя бы одну общую точку, а ММ’фигуру, которая объединяет М и М’ (на рисунке изображается синей и красной областями).
Площади фигур возьмем за обозначение М и ММ’, значит S(M) и S(MM’) будут равны, исходя из количества составляющих квадратов. Рассмотрим рисунок, изображенный ниже.
Если постоянно уменьшать одну из сторон квадрата, то можно получить сетку с множеством значений площадей S(M) и S(MM)’. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Множество SM имеет ограничения, значит, имеет тонкую грань в виде a=supSM, тогда внутреннюю площадь обозначим как G. Множество SMM’ имеет ограничения снизу, значит, нижняя грань обозначается как A=infSMM’, внешнюю площадь обозначим как G.
Фигура Gс внешней площадью равной внутренней называют квадрируемой, а число S(G)=a=A является площадью этой фигуры. S(G)=a=A значит, что площадь квадрируемой функции является числом единственным и обладает этим свойством.
Определение 2
Площадь фигуры G называется предел последовательности значений SM’, когда r→0. Квадрируемая фигура G имеет площадь равную 0.
Квадрируемость можно ввести иным образом, то есть рассмотреть вписанные и описанные окружности, через которые произвести вычисления.
Определение 3
Фигура G считается квадрируемой, когда для любого положительного числа SM’ имеется входящая и включающая многоугольные фигуры P и Q, отсюда следует, что P⊂G⊂Q и S(Q)-S(P)<ε.
Для примера подходит круг с вписанным и описанным 2n+1 треугольниками, где nn является натуральным числом.
Квадрируемые фигуры
Рассмотрим, как необходимо изображать и задавать квадрируемые фигуры. Все встречающиеся фигуры в разделах геометрии называют квадрируемыми. Любая такая фигура имеет ограничения, то есть будем находить площади ограниченных фигур. Объединение и пересечение или разность также является квадрируемой фигурой.
Самыми распространенными видами для вычисления площадей считаются:
- Если фигура квадрируема, тогда она имеет ограничения линиями графиков y = f(x) и x = g(y). Первый рисунок, приведенный ниже, ограничивается сверху параболой y=-18(x-4)2+9, а снизу кривой вида y=13x·sin x+2, справа и слева прямыми, имеющими значения х=1, х=9. Второй рисунок имеет границы в виде линий y=13(x-6)2+1, y=ln(x-1)+7, y=-ex-8+8, y=-13x+5. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
- Фигура считается квадрируемой, если имеется возможность ограничения гладкими кривыми, то есть границы задаются при помощи параметрического уравнения вида x=ϕ(t)y=ψ(t), где функции ϕ(t) и ψ(t) являются непрерывными на интервале t1; t2, не имеют пересечений и соответствуют условию ϕ'(t0)≠0ψ'(t0)≠0 при любом значении t0∈t1; t2. Для примера рассмотрим фигуру, которая ограничивается осями координат и частью астроиды вида x=3cos3ty=3sin3t , где t∈0; π2.
- Фигура считается квадрируемой, когда она ограничена замкнутыми кривыми, где начала и конец совпадают. Явным примером такой функции является лепесток фигуры, имеющий уравнение r=5cos5φ. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Итоги
Площадь – это такая функция, благодаря которой она определена как класс квадрируемых фигур со свойствами аддитивности, инвариантности и нормированности.