Какие свойства можно привести при описании множества объектов примеры

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики; это математический объект, сам являющийся набором, совокупностью, собранием каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества и обладают общим для всех их характеристическим свойством[1].

Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики. Примеры: множество жителей заданного города, множество непрерывных функций, множество решений заданного уравнения. Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством. Понятие множества позволяет практически всем разделам математики использовать общую идеологию и терминологию.

История понятия[править | править код]

Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов.

С 1872 года по 1897 год (главным образом в 1872—1884 годы) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых). В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор. В частности определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством».
Эти объекты назвал элементами множества.
Множество объектов, обладающих свойством , обозначил .
Если некоторое множество , то назвал характеристическим свойством множества .

Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий, в 1908 году теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселом и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. Впоследствии теорию множеств Кантора стало принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную — аксиоматической теорией множеств.

В практике, сложившейся с середины XX века множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора).
При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами.
Такие совокупности называются классами (различных порядков).

Элемент множества[править | править код]

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества.
Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если  — элемент множества , то записывают (« принадлежит »). Если не является элементом множества , то записывают (« не принадлежит »). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов. Иначе говоря, добавление к множеству элементов, идентичных уже принадлежащим множеству, не меняет его:

.

Равенство двух множеств означает

Задание множества[править | править код]

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.

Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество. Например, множество неотрицательных чётных чисел, меньших 10 можно задать в виде списка: . Данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств.

Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов. Множество задано, если указано условие , которому удовлетворяют все элементы, принадлежащие множеству и которому не удовлетворяют элементы, не принадлежащие множеству .

Обозначение

используется для задания множества ; оно означает, что множество состоит из тех и только тех элементов множества , для которых выполнено условие .

Например, график функции можно задать следующим образом:

Некоторые виды множеств и сходных объектов[править | править код]

Специальные множества[править | править код]

• Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента.
• Одноэлементное множество — множество, состоящее из одного элемента.
• Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. В связи с парадоксом Рассела данное понятие трактуется в настоящее время более узко как «множество, включающее все множества, участвующие в рассматриваемой задаче».

Сходные объекты[править | править код]

• Кортеж (в частности, упорядоченная пара) — упорядоченная совокупность конечного числа именованных объектов. Записывается внутри круглых или угловых скобок, а элементы могут повторяться.
• Мультимножество (в теории сетей Петри называется «комплект») — множество с кратными элементами.
• Пространство — множество с некоторой дополнительной структурой.
• Вектор — элемент линейного пространства, содержащий конечное число элементов некоторого поля в качестве координат. Порядок имеет значение, элементы могут повторяться.
• Последовательность — функция одного натурального переменного. Представляется как бесконечный набор элементов (не обязательно различных), порядок которых имеет значение.
• Нечёткое множество — математический объект, подобный множеству, принадлежность которому задаётся не отношением, а функцией. Иными словами, относительно элементов нечёткого множества можно говорить «в какой мере» они в него входят, а не просто, входят они в него или нет.

По иерархии[править | править код]

• Система множеств (множество множеств) — множество, все элементы которого также являются множествами, обычно схожего происхождения (например, все они могут быть подмножествами некоторого другого множества)[2].
  • Алгебра множеств, кольцо множеств — примеры типов структур, являющихся системами множеств.
  • Булеан — множество всех подмножеств данного множества.
• Семейство множеств — индексированный аналог системы множеств, см. семейство (математика).
• Подмножество
• Надмножество

Отношения между множествами[править | править код]

Два множества и могут вступать друг с другом в различные отношения.

• включено в , если каждый элемент множества принадлежит также и множеству :
• включает , если включено в :
• равно , если и включены друг в друга:
• строго включено в , если включено в , но не равно ему:
• строго включает , если строго включено в :
• и не пересекаются, если у них нет общих элементов:
  и не пересекаются
• и находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству , элемент, принадлежащий исключительно множеству , а также элемент, принадлежащий обоим множествам:
  и находятся в общем положении

Операции над множествами[править | править код]

Бинарные операции[править | править код]

Основные бинарные операции, определяемые над множествами:

Если множества и не пересекаются, то . Их объединение обозначают также: .

Для объяснения смысла операций часто используются диаграммы Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Всякая система множеств, замкнутая относительно операций объединения и пересечения, образует относительно объединения и пересечения дистрибутивную решётку.

Унарные операции[править | править код]

Дополнение определяется следующим образом:

.

Операция дополнения подразумевает некоторый зафиксированный универсум (универсальное множество , которое содержит ), и сводится к разности множеств с этим универсумом:

.

Система множеств с фиксированным универсумом, замкнутая относительно операций объединения, пересечения с введённым таким образом дополнением образует булеву алгебру.

Булеан — множество всех подмножеств:

.

Обозначение происходит из свойства мощности множества всех подмножеств конечного множества:

.

Булеан порождает систему множеств с фиксированным универсумом , замкнутую относительно операций объединения и пересечения, то есть, образует булеву алгебру.

Приоритет операций[править | править код]

Последовательность выполнения операций над множествами, как и обычно, может быть задана скобками. При отсутствии скобок сначала выполняются унарные операции (дополнение), затем — пересечения и разности, которые имеют одинаковый приоритет, затем — объединения и симметрической разности[источник не указан 280 дней]. Операции одного приоритета выполняются слева направо. При этом надо иметь в виду, что в отличие от арифметических сложения и вычитания, для которых верно, что , для аналогичных операций над множествами это неверно. Например, если то но, в то же время, .

Мощность[править | править код]

Мощность множества — характеристика множества, обобщающая понятие о количестве элементов для конечного множества таким образом, чтобы множества, между которыми возможно установление биекции были равномощны. Обозначается или . Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств мощность совпадает с числом элементов, для бесконечных множеств вводятся специальные кардинальные числа, соотносящиеся друг с другом по принципу включения (если , то ) и распространением свойства мощности булеана конечного множества: на случай бесконечных множеств (само обозначение мотивировано этим свойством).

Наименьшая бесконечная мощность обозначается , это мощность счётного множества. Мощность континуума, биективного булеану счётного множества обозначается или . Континуум-гипотеза — предположение о том, что между счётной мощностью и мощностью континуума нет промежуточных мощностей.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
• Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. / Перевод с английского Ю. А. Гастева и И. Х. Шмаина под редакцией Ю. А. Шихановича. — М.: Просвещение, 1968. — 232 с.