Какие свойства множества натуральных чисел

Введем понятие множества натуральных чисел. Начнем со следующего, используя число 1, названное единицей, построим некоторое подмножество множества следующим образом: обозначим сумму символом 2 и назовем его числом «два» ; обозначим сумму символом 3 и назовем его числом «три» ; аналогично определяем последовательно числа, называемые «четыре», «пять», и т.д. и обозначаемые символами и т.д.

Элементы множества

называются натуральными числами. Множество всех натуральных чисел обозначают через .

Обозначим через произвольно фиксированное натуральное число число называется числом, непосредственно следующим за числом , а само — непосредственно предшествующим числу .

Свойства натуральных чисел

Множество натуральных чисел обладает следующим свойством.

Если множество таково, что: ; ; следует, что , то

В самом деле, по условию 2) поэтому, согласно свойству 3) и и и т.д. Но любое натуральное число получается из 1 последовательным переходом от предыдущего натурального числа к последующему, поэтому , т.е. .

Итак, имеем и . По определению это означает, что .

Из свойства 2 следует так называемый принцип доказательства методом математической индукции.

Если имеется множество утверждений, каждому из которых соответствует натуральное число (его номер) и если доказано, что:

1) справедливо утверждение с номером 1;

2) из справедливости утверждения с произвольным номером следует справедливость утверждения с номером , то тем самым доказана справедливость всех рассматриваемых утверждений.

Операции натуральными числами

Операция сложения. Пусть — произвольное натуральное число. Если — какое-нибудь число из , то

Так, по индукции определяется операция, называемая сложением натуральных чисел. Например,

Операция умножения. Пусть — произвольное натуральное число. Если — какое-нибудь число из , то

Так, по индукции определяется операция, называемая умножением натуральных чисел. Например,

Для любых из и

В самом деле, при формула справедлива согласно аксиоме 2.5. Пусть равенство верно при . Покажем, что она справедлива при

$[(a_1 + a_2 +...+a_{k+1})b = [(a_1 +...+a_k) + a_{k+1}]b =]$

$[= (a_1 +...+a_k)b + a_{k+1}b = a_1b +...+ a_kb + a_{k+1}b.]$

В частности если , то

Множество целых чисел

Натуральные числа, им противоположные и нуль называются целыми числами.

Множество всех целых чисел обозначается через .

Множество рациональных чисел

Частные $frac{m}{n}$ , где называются рациональными числами (от лат. — отношение). Множество всех рациональных чисел обозначается через .

Множество иррациональных чисел

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными (от лат. — неразумный, от — отрицательная приставка к — число не являющееся рациональным. Множество всех иррациональных чисел обозначается через .

Таким образом,

Число , умноженное раз на себя, называется n-й степенью числа и обозначается через . Таким образом,

$[x^nstackrel{def}{=}underbrace{ x cdot x cdot ... cdot x}_{n};;;;;(1.5)]$

Число в степени называется основанием степени, а — показателем степени.

Для любых и полагают

$[x^0 stackrel{def}{=} 1, x^{-n} stackrel{def}{=}frac{1}{x^n} ;;;;;(1.6)]$

( не определяется).

Если то

$[x^m cdot x^n = x^{m+n}, {(x^n)}^m = x^{nm} ;;;;;(1.7)]$

для любого при и и для любого и при и .

$[x^mcdot x^n ={m} underbrace {xcdot x cdot ...cdot x}_{n} =underbrace{ x cdot x cdot ... cdot x}_{m+n} =x^{m+n}]$

$[x^mcdot x^n = x^0cdot x^n=1cdot x^n=x^n=x^{0+n}=x^{m+n};]$

$[x^mcdot x^n = x^mcdot x^0=x^mcdot 1=x^m=x^{m+0}=x^{m+n};]$

Пусть причем тогда

$[x^m cdot x^n = frac {1}{x^p} cdot x^n = frac {1}{x^p} cdot underbrace{ x cdot x cdot ... cdot x}_{p} underbrace{ x cdot x cdot ... cdot x}_{n-p } =]$

$[= {1}{x^p}cdot x^pcdot x^{n-p}=1cdot x^{n-p}=x^{n-p}=x^{n+m}.]$

Если же то в соответствии с 4.4

$[x^m cdot x^n = frac{1}{x^p} cdot x^n = frac{1}{x^n cdot x^{p-n}} cdot x^n = frac{1}{x^n} cdot frac{1}{x^{p-n}} cdot x^n = frac{1}{x^{p-n}} =]$

$[=frac{1}{x^{-m-n}} = x^{m+n}.]$

— аналогично)

Полагая и используя снова 4.4, получим:

$[x^m cdot x^n = frac{1}{x^p} cdot frac{1}{x^q} = frac{1}{x^p cdot x^q} = frac{1}{x^{p+q}} = frac{1}{x^{-m-n}} = x^{m+n}.]$

4.6. Если то

Действительно,

Навигация по записям

Оцените материал

Загрузка…

Источник

Рассматриваемая теория натуральных чисел является теорией порядковых натуральных чисел. Идея порядка заложена в отношении «непосредственно следовать за», которое, однако, затрагивает лишь соседние элементы. Сравнить два натуральных числа, не являющихся соседними, при помощи отношения «непосредственно следовать за» невозможно. Упорядочить множество натуральных чисел можно, задав на нем отношение «меньше».

Определение 5. Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.

Свойства отношения «меньше»:

1. Для любого натурального числа а справедливо а < а ,.

2. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b, а > b, а < b.

3. Если а < b и b < с, то а < с.

4. Если а < b, то неверно, что b < а.

Свойство монотонности сложения

1) а < b a + c < b + c; 2) а > b a + c > b + c.

Свойство монотонности умножения

1) а < b ac < bc;

2) а > b ac > bc.

7. Свойство Архимеда: Для любых натуральных чисел а и b; существует такое натуральное число n, что пb> а.

Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел, которые мы приводим без доказательства:

1) Ни для одного натурального числа а не существует такого натурального числа п, что а<п<а + 1. Это свойство называется свойством дискретностимножества натуральных чисел, а числа а и а + 1 называют соседними.

2)Любое непустое подмножество множества натуральных чисел содержит наименьшее число. Это свойство называется принципом наименьшего числа.

3) Если М— непустое подмножество множества натуральных чисел и существует такое число b, что для всех чисел х из М выполняется неравенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число. Это свойство называют принципом наибольшего числа.

С отношением «меньше» («больше») для натуральных чисел младшие школьники знакомятся в самом начале обучения. И часто, наряду с его теоретико-множественной трактовкой, неявно используется определение, данное нами в рамках аксиоматической теории. Например, учащиеся могут объяснить, что 9 > 7 так как 9 — это 7+2. Нередко и неявное использование свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3».

Вычитание и деление натуральных чисел

Вычитание

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.

Определение 6. Вычитанием натуральных чисел а и bназывается операция, удовлетворяющая условию: а — b = с тогда и только тогда, когда b + с = а.

Число а — bназывается разностью чисел а и b, число а – уменьшаемым, ачисло b — вычитаемым.

Теорема 13. Разность натуральных чисел а — b существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.

Доказательство (существования). Пусть разность а — b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с = а, а этозначит, что b < а.

Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с = а. Тогда, по определению разности, с = а — b, т.е. разность а — b существует.

Доказательство (единственности). Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b;: а – b = с₁ и а — b = с₂, причем с₁ ≠ с₂ . Тогда по определению разности, имеем: а = b + с₁, и а = b + с₂:. Отсюда следует, что b + с ₁ = b + с₂: и заключаем, с₁ = с₂.. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное, а верна данная теорема.▀

Исходя из определения разности натуральных чисел и условия ее существования, можно обосновать известные правила:

1) Дли того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

(а + b) — с = (a — с) + b.

2) Для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

а — (b + с) = (а — b) — с

Для того чтобы вычесть из числа разность двух чисел, достаточно к данному числу прибавить вычитаемое и из полученного числа вычесть уменьшаемое.

а — (b — с) = (а + с) — b

Деление

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.

Определение 7. Делениемнатуральных чисел а и bназывается операция, удовлетворяющая условию: а : b = с тогда и только тогда, когда b×с = а.

Число а:b называется частнымчисел а и b, число а — делимым, число b — делителем.

Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда.

Теорема 14. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b ≤ а. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Доказательство (необходимого условия существования). Пусть частное натуральных чисел а и b существует, т.е. есть такое натуральное число c, что bс = а. Так как для любого натурального числа справедливо неравенство 1 ≤ с, то, умножив обе его части на натуральное число b, получим b ≤ bс. Но bс = а, следовательно, b ≤ а.

Доказательство единственности этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел.

Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления:

1) правило деления суммы на число: для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

(а + b):с = а:с + b:с.

2) правило деления разности на число: для того, чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

(а — b):с = а: с — b:с.

3) Правило деления произведения на число: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

(а × b):с = (а:с) × b.

В начальном обучении математике определение деления как операции обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 — это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16×3 = 48. Следовательно, 48 : 16 = 3.

Рекомендуемые страницы:

Место нуля[править | править код]

Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

числа, возникающие при подсчёте (нумерации) предметов: первый, второй, третий, четвёртый, пятый…;
числа, возникающие при обозначении количества предметов: 0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3 предмета, 4 предмета, 5 предметов…

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход[3]. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств. Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда, включающего ноль[3].

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом . Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения[4]:

В русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается и т. д.[3]

Аксиомы, позволяющие определить множество натуральных чисел[править | править код]

Аксиомы Пеано для натуральных чисел[править | править код]

Множество будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксированы некоторый элемент 1 (единица), функция c областью определения , называемая функцией следования (), и выполнены следующие условия:

элемент единица принадлежит этому множеству (), то есть является натуральным числом;
число, следующее за натуральным, также является натуральным (если , то или, в более короткой записи, );
единица не следует ни за каким натуральным числом ();
если натуральное число непосредственно следует как за натуральным числом , так и за натуральным числом , то и — это одно и то же число (если и , то );
(аксиома индукции) если какое-либо предложение (высказывание) доказано для натурального числа (база индукции) и если из допущения, что оно верно для другого натурального числа , вытекает, что оно верно для следующего за натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел (пусть — некоторый одноместный (унарный) предикат, параметром которого является натуральное число . Тогда, если и , то ).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии.

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.[5], а также краткое доказательство[6]), что если и — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует обратимое отображение (биекция) такая, что и для всех .

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют единицу на ноль. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств ноль является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать ноль натуральным числом является то, что при этом образует моноид. Как уже упоминалось выше, в русской литературе традиционно ноль исключён из числа натуральных чисел.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге — Рассела)[править | править код]

Положение натуральных чисел в иерархии числовых множеств

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

Величина множества натуральных чисел[править | править код]

Величина бесконечного множества характеризуется понятием «мощность множества», которое является обобщением числа элементов конечного множества на бесконечные множества. По величине (то есть мощности) множество натуральных чисел больше любого конечного множества, но меньше любого интервала, например, интервала . Множество натуральных чисел по мощности такое же, как множество рациональных чисел. Множество такой же мощности, как множество натуральных чисел, называется счётным множеством. Так, множество членов любой последовательности счётно. В то же время, существует последовательность, в которую каждое натуральное число входит бесконечное число раз, поскольку множество натуральных чисел можно представить как счётное объединение непересекающихся счётных множеств (например[7], ).

Операции над натуральными числами[править | править код]

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства[править | править код]

Коммутативность сложения:

Коммутативность умножения:

Ассоциативность сложения:

Ассоциативность умножения:

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

Алгебраическая структура[править | править код]

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет . Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел и рациональных положительных чисел соответственно.

Теоретико-множественные определения[править | править код]

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Если обозначить класс эквивалентности множества A, порождённый биекциями, с помощью квадратных скобок: [A], основные арифметические операции определятся следующим образом:

где:

Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
Eves, Howard (1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Thomson, ISBN 978-0-03-029558-4, <https://books.google.com/books?id=PXvwAAAAMAAJ>
Halmos, Paul (1960), Naive Set Theory, Springer Science & Business Media, ISBN 978-0-387-90092-6, <https://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC&lpg=PP1&pg=PP1#v=onepage&q=peano%20axioms&f=false>
Hamilton, A. G. (1988), Logic for Mathematicians (Revised ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36865-0, <https://books.google.com/books?id=TO098EjWT38C&q=peano%27s+postulates#v=snippet&q=peano%27s%20postulates&f=false>
James, Robert C. & James, Glenn (1992), Mathematics Dictionary (Fifth ed.), Chapman & Hall, ISBN 978-0-412-99041-0, <https://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC>
Landau, Edmund (1966), Foundations of Analysis (Third ed.), Chelsea Pub Co, ISBN 978-0-8218-2693-5, <https://books.google.com/books?id=DvIJBAAAQBAJ>
Mac Lane, Saunders & Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1646-2, <https://books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC&lpg=PA15&vq=natural%20numbers&pg=PA15#v=onepage&q=%22the%20natural%20numbers%22&f=false>
Mendelson, Elliott (2008), Number Systems and the Foundations of Analysis, Dover Publications, ISBN 978-0-486-45792-5, <https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC>
Morash, Ronald P. (1991), Bridge to Abstract Mathematics: Mathematical Proof and Structures (Second ed.), Mcgraw-Hill College, ISBN 978-0-07-043043-3, <https://books.google.com/books?id=fH9YAAAAYAAJ>
Musser, Gary L.; Peterson, Blake E. & Burger, William F. (2013), Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach (10th ed.), Wiley Global Education, ISBN 978-1-118-45744-3, <https://books.google.com/books?id=b3dbAgAAQBAJ>

Ссылки[править | править код]

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Natural number, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Szczepanski, Amy F. & Kositsky, Andrew P. (2008), The Complete Idiot’s Guide to Pre-algebra, Penguin Group, ISBN 978-1-59257-772-9, <https://books.google.com/books?id=wLA2tlR_LYYC>
Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B. & Bruckner, Andrew M. (2008), Elementary Real Analysis (Second ed.), ClassicalRealAnalysis.com, ISBN 978-1-4348-4367-8, <https://books.google.com/books?id=vA9d57GxCKgC>

Источник