Какие свойства характерны для волны
Естествознание
10 класс
Бросая в воду камешки, смотри на
круги, ими образуемые, иначе такое
бросание будет пустою забавою
Козьма Прутков
Какие свойства обнаруживают волны? Какие свойства являются общими для волн и частиц?
Урок-лекция
Последуем совету Козьмы Пруткова и будем наблюдать за волнами, пытаясь разобраться в их природе и свойствах.
ФОРМА ВОЛН. Из двух примеров волн, приведенных в предыдущей параграфе, колебания которых можно увидеть, следует, что форма волн может сильно различаться. Волна от брошенного в воду камня имеет форму расширяющихся кругов. Волна в натянутой веревке — изгиб, движущийся вдоль веревки. О том, насколько разнообразна форма волн, можно судить по волнам на море или большом озере. Оказывается, что и форма невидимых волн может тоже быть самой разнообразной. Наблюдая за волной от брошенного камня, можно сделать вывод, что форма волны изменяется по мере распространения волны, на большом расстоянии волна сглаживается и пропадает. Это свойство характерно для волн любой природы.
Волны могут иметь самую разнообразную форму, которая может изменяться по мере распространения волны.
ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ ВОЛН. Бросим теперь в воду два камня. Мы увидим, что по мере распространения волны проходят одна через другую, складываясь. В тех местах, где каждая из волн имеет горб, поверхность воды поднимется на высоту, равную сумме высот каждого из горбов. То же самое можно заметить для точек, в которых обе волны имеют впадины. Если же в какой-то точке одна волна имела горб, а другая — впадину, то, складываясь, волны гасят друг друга. Явление взаимоусиления или взаимогашения двух или более волн называют интерференцией.
Наблюдая за распространением волн от двух камней, несложно заметить, что на большом расстоянии от камней уже нельзя увидеть две волны. Что же произошло — две волны превратились в одну? Но в какой момент это происходит? Правильнее и проще считать. что в момент падения камней образовалась одна волна, равная сумме двух волн, которая изменяла форму по мере распространения, т. е. при сложении двух или более волн образуется новая волна. Это правило называется принципом суперпозиции волн.
Сложение нескольких волн приводит к образованию новой волны. Любую волну можно представить как сумму нескольких волн, причем это можно сделать многими способами.
МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ. Составление из нескольких волн одной новой напоминает детскую игрушку, в которой из деталей разнообразной формы нужно составить исходную картинку. А как подобрать универсальные элементы, чтобы из них можно было составить любую картинку? Наверное, вы знаете ответ. Любое изображение на экране телевизора или на листе бумаги формируется из множества цветных точек — «элементарных кирпичиков» изображения. Точно так же вещество состоит из таких «элементарных кирпичиков», как атомы, молекулы, ядра, электроны. Может быть, такие «элементарные кирпичики» существуют и в «мире волн»? Это действительно так: любую волну можно однозначно представить в виде суммы монохроматических волн.
На рисунке 67 приведены графики зависимости давления в звуковой волне от координаты X, вдоль которой распространяется волна, и от времени.
Рис. 67. График зависимости давления в звуковой монохроматической волне от расстояния в некоторый момент t0 (а) и в некоторый последующий момент времени t0 + Δt (б). График зависимости той же волны от времени в некоторой точке пространства (в)
Монохроматической волной называют волну, изменяющуюся во времени и в пространстве по синусоидальному закону.
«Монохроматическая» в дословном переводе означает «одноцветная». Какое отношение имеет цвет к звуковой волне? Как уже говорилось, свет представляет собой электромагнитную волну. При разложении света призмой (см. рис. 19) каждой узкой одноцветной полоске, например полоске в спектре натрия (см. рис. 20), соответствует волна, близкая к синусоидальной. В данном случае одноцветная волна имеет явный смысл. Эта терминология была перенесена на волны другой природы.
На рисунке 67 приведены также некоторые параметры, характеризующие монохроматическую волну. Периодом волны T называют время, за которое происходит одно колебание (измеряется в секундах). Длиной волны λ, называют пространственный интервал, соответствующий одному периоду волны. Помимо этого, вводят понятие «частота волны» v = 1/T — число колебаний волны в одну секунду (измеряется в герцах). Эти параметры связаны со скоростью распространения волны и соотношением V = λv. Амплитудой волны (на рисунке она обозначена через А. однако для разных типов волн могут применяться различные обозначения) называется максимальное отклонение параметра, характеризующего волну, от положения равновесия.
Монохроматические (синусоидальные) волны представляют собой «элементарные кирпичики», при сложении которых можно получить любую волну. Для этих волн определяются такие параметры, как длина волны, период волны, частота волны, амплитуда волны.
Разложение произвольной волны на монохроматические составляющие называют спектральным представлением волны. Совокупность частот (или длин) монохроматических волн, составляющих некоторую волну, и определяет спектр волны. Призма является одним из простейших приборов, осуществляющим разложение электромагнитной волны видимого диапазона.
Монохроматические волны обладают рядом замечательных свойств. В частности, при распространении монохроматической волны ее форма не изменяется.
Следует заметить, что, строго говоря, синусоида монохроматической волны бесконечна во времени и в пространстве. Монохроматическая волна, таким образом, является идеализацией, такой же, как, например, материальная точка. В природе не бывает монохроматических волн, однако многие волны по свойствам очень близки к монохроматическим.
ДИФРАКЦИЯ ВОЛН. Если вы внимательно наблюдали за рябью на поверхности воды, то могли заметить, что мелкие предметы (торчащие из воды ветки, небольшие камни) не являются препятствиями для волн. Волны практически «не замечают» их. Однако за препятствием с большими размерами (например, плавающий в воде плот) волны исчезают. Вывод, который можно сделать, оказывается справедлив для волн любой природы: волны свободно огибают препятствия, размеры которых сравнимы или меньше длины волны. Такое явление называют дифракцией.
Дифракцией называют явление огибания препятствий волнами различной природы. Волны любой природы свободно огибают препятствия с размерами, сравнимыми или меньшими длины волны.
Именно дифракция не дает возможности увидеть атомы и молекулы в микроскоп со сколь угодно большим увеличением. Размеры атомов и молекул много меньше длины волны видимого света.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ВОЛН И ЧАСТИЦ. Такой объект природы, как волны, совсем не похож на частицы, а «элементарные кирпичики», из которых можно составить любую волну, бесконечны в пространстве и во времени. Тем не менее у волн и частиц есть общие свойства. Начнем с примера. Бросив камень в окно, можно разбить стекло. Но, как вы, наверное, знаете, оконные стекла разбиваются и при взрывах, в результате которых образуется ударная звуковая волна (см. рис. 66). Следовательно, такая волна действует с некоторой силой на стекло. Какими должны быть свойства брошенного камня, чтобы он разбил стекло? У него должна быть достаточно большая масса и достаточно большая скорость. Как вы знаете, произведение этих двух величин дает импульс тела, т. е. камень разобьет стекло при достаточно большом импульсе. Из аналогии между камнем и ударной волной можно сделать вывод, что волна обладает импульсом и переносит импульс через пространство. Это свойство характерно для волн любой природы.
Помимо импульса, волны обладают энергией и переносят энергию через пространство. То, что электромагнитная волна, приходящая к нам от Солнца, снабжает нас энергией, необходимой для жизни, вы, конечно, знаете. Однако энергией обладают любые волны. В последнее время, например, ведутся активные работы по использованию энергии морских волн для производства электроэнергии.
Волны и частицы обладают некоторыми общими свойствами. Волна любой природы переносит энергию и импульс через пространство
- Что общего у волн и частиц?
- Приведите примеры приборов, отличных от призмы, разлагающих волну в спектр.
- Проведите простейший эксперимент: направьте луч солнца, отраженный от компакт-диска, на белый экран. Что вы наблюдаете? Как объяснить результат наблюдения?
Когда в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды происходит возбуждение колебаний частиц, результатом взаимодействия атомов и молекул среды становится передача колебаний от одной точки к другой с конечной скоростью.
Определение 1
Волна – это процесс распространения колебаний в среде.
Виды механических волн
Различают следующие виды механических волн:
Определение 2
Поперечная волна: частицы среды смещаются в направлении, перпендикулярном направлению распространения механической волны.
Пример: волны, распространяющиеся по струне или резиновому жгуту в натяжении (рисунок 2.6.1);
Определение 3
Продольная волна: частицы среды смещаются в направлении распространения механической волны.
Пример: волны, распространяющиеся в газе или упругом стержне (рисунок 2.6.2).
Интересно, что волны на поверхности жидкости включают в себя и поперечную, и продольную компоненты.
Замечание 1
Укажем важное уточнение: когда механические волны распространяются, они переносят энергию, форму, но не переносят массу, т.е. в обоих видах волн переноса вещества в направлении распространения волны не происходит. Распространяясь, частицы среды совершают колебания около положений равновесия. При этом, как мы уже сказали, волны переносят энергию, а именно энергию колебаний от одной точки среды к другой.
Рисунок 2.6.1. Распространение поперечной волны по резиновому жгуту в натяжении.
Рисунок 2.6.2. Распространение продольной волны по упругому стержню.
Модель твердого тела
Характерная черта механических волн – их распространение в материальных средах в отличие, например, от световых волн, способных распространяться и в пустоте. Для возникновения механического волнового импульса необходима среда, имеющая возможность запасать кинетическую и потенциальную энергии: т.е. среда должна иметь инертные и упругие свойства. В реальных средах эти свойства получают распределение по всему объему. К примеру, каждому небольшому элементу твердого тела присуща масса и упругость. Самая простая одномерная модель такого тела представляет из себя совокупность шариков и пружинок (рисунок 2.6.3).
Рисунок 2.6.3. Простейшая одномерная модель твердого тела.
В этой модели инертные и упругие свойства разделены. Шарики имеют массу m, а пружинки – жесткость k. Такая простая модель дает возможность описать распространение продольных и поперечных механических волн в твердом теле. При распространении продольной волны шарики смещаются вдоль цепочки, а пружинки растягиваются или сжимаются, что есть деформация растяжения или сжатия. Если подобная деформация происходит в жидкой или газообразной среде, ее сопровождает уплотнение или разрежение.
Замечание 2
Отличительная особенность продольных волн заключается в том, что они способны распространяться в любых средах: твердых, жидких и газообразных.
Если в указанной модели твердого тела один или несколько шариков получают смещение перпендикулярно всей цепочке, можно говорить о возникновении деформации сдвига. Пружины, получившие деформацию в результате смещения, будут стремиться вернуть смещенные частицы в положение равновесия, а на ближайшие несмещенные частицы начнет оказываться влияние упругих сил, стремящихся отклонить эти частицы от положения равновесия. Итогом станет возникновение поперечной волны в направлении вдоль цепочки.
В жидкой или газообразной среде упругая деформация сдвига не возникает. Смещение одного слоя жидкости или газа на некоторое расстояние относительно соседнего слоя не приведет к появлению касательных сил на границе между слоями. Силы, которые оказывают воздействие на границе жидкости и твердого тела, а также силы между соседними слоями жидкости всегда направлены по нормали к границе – это силы давления. Аналогично можно сказать и о газообразной среде.
Замечание 3
Таким образом, появление поперечных волн невозможно в жидкой или газообразной средах.
В плане практического применения особый интерес представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой f и длиной волны λ. Синусоидальные волны получают распространение в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ.
Запишем выражение, показывающее зависимость смещения y(x, t) частиц среды из положения равновесия в синусоидальной волне от координаты x на оси OX, вдоль которой распространяется волна, и от времени t:
y(x, t)=Acos ωt-xυ=Acos ωt-kx.
В приведенном выражении k=ωυ – так называемое волновое число, а ω=2πf является круговой частотой.
Бегущая волна
Рисунок 2.6.4 демонстрирует «моментальные фотографии» поперечной волны в момент времени t и t+Δt. За промежуток времени Δt волна перемещается вдоль оси OX на расстояние υΔt. Подобные волны носят название бегущих волн.
Рисунок 2.6.4. «Моментальные фотографии» бегущей синусоидальной волны в момент времени t и t+Δt.
Определение 4
Длина волны λ – это расстояние между двумя соседними точками на оси OX, испытывающими колебание в одинаковых фазах.
Расстояние, величина которого есть длина волны λ, волна проходит за период Т. Таким образом, формула длины волны имеет вид: λ=υT, где υ является скоростью распространения волны.
С течением времени t происходит изменение координатыx любой точки на графике, отображающем волновой процесс (к примеру, точка А на рисунке 2.6.4), при этом значение выражения ωt–kx остается неизменным. Спустя время Δt точка А переместится по оси OX на некоторое расстояние Δx=υΔt. Таким образом:
ωt-kx=ω(t+∆t)-k(x+∆x)=const или ω∆t=k∆x.
Из указанного выражения следует:
υ=∆x∆t=ωk или k=2πλ=ωυ.
Становится очевидно, что бегущая синусоидальная волна имеет двойную периодичность – во времени и пространстве. Временной период является равным периоду колебаний T частиц среды, а пространственный период равен длине волны λ.
Определение 5
Волновое число k=2πλ – это пространственный аналог круговой частоты ω=-2πT.
Сделаем акцент на том, что уравнение y(x,t)=Acos ωt+kx является описанием синусоидальной волны, получающей распространение в направлении, противоположном направлению оси OX, со скоростью υ=-ωk.
Когда бегущая волна получает распространение, все частицы среды гармонически колеблются с некоторой частотой ω. Это означает, что как и при простом колебательном процессе, средняя потенциальная энергия, являющаяся запасом некоторого объема среды, есть средняя кинетическая энергия в том же объеме, пропорциональная квадрату амплитуды колебаний.
Замечание 4
Из вышесказанного можно сделать вывод, что, когда бегущая волна получает распространение, появляетсяпоток энергии, пропорциональный скорости волны и квадрату ее амплитуды.
Скорость распространения волны
Бегущие волны движутся в среде с определенными скоростями, находящимися в зависимости от типа волны, инертных и упругих свойств среды.
Скорость, с которой поперечные волны распространяются в натянутой струне или резиновом жгуте, имеет зависимость от погонной массы μ (или массы единицы длины) и силы натяжения T:
υ=Tμ.
Скорость, с которой продольные волны распространяются в безграничной среде, рассчитывается при участии таких величин как плотность среды ρ (или масса единицы объема) и модульвсестороннего сжатия B (равен коэффициенту пропорциональности между изменением давления Δp и относительным изменением объема ΔVV, взятому с обратным знаком):
∆p=-B∆VV.
Таким образом, скорость распространения продольных волн в безграничной среде, определяется по формуле:
υ=Bρ.
Пример 1
При температуре 20 °С скорость распространения продольных волн в воде υ≈1480 м/с, в различных сортах стали υ≈5–6 км/с.
Если речь идет о продольных волнах, получающих распространение в упругих стержнях, запись формулы для скорости волны содержит не модуль всестороннего сжатия, а модуль Юнга:
υ=Eρ.
Для стали отличие E от B незначительно, а вот для прочих материалов оно может составлять 20–30 % и больше.
Рисунок 2.6.5. Модель продольных и поперечных волн.
Стоячая волна
Предположим, что механическая волна, получившая распространение в некоторой среде, встретила на пути некое препятствие: в этом случае характер ее поведения резко изменится. К примеру, на границе раздела двух сред с различающимися механическими свойствами волна частично отразится, а частично проникнет во вторую среду. Волна, пробегающая по резиновому жгуту или струне, отразится от зафиксированного конца, и возникнет встречная волна. Если у струны зафиксированы оба конца, появятся сложные колебания, являющиеся итогом наложения (суперпозиции) двух волн, получающих распространение в противоположных направлениях и испытывающих отражения и переотражения на концах. Так «работают» струны всех струнных музыкальных инструментов, зафиксированные с обоих концов. Схожий процесс возникает при звучании духовых инструментов, в частности, органных труб.
Если волны, распространяющиеся по струне во встречных направлениях, обладают синусоидальной формой, то при определенных условиях они образуют стоячую волну.
Допустим, струна длины l зафиксирована таким образом, что один из ее концов расположен в точке x=0, а другой – в точке x1=L (рисунок 2.6.6). В струне имеется натяжение T.
Рисунок 2.6.6. Возникновение стоячей волны в струне, зафиксированной на обоих концах.
По струне одновременно пробегают в противоположных направлениях две волны с одинаковой частотой:
- y1(x, t)=A cos (ωt+kx) – волна, распространяющаяся справа налево;
- y2(x, t)=A cos (ωt-kx) – волна, распространяющаяся слева направо.
Точка x=0 — один из зафиксированных концов струны: в этой точке падающая волна y1 в результате отражения создает волну y2. Отражаясь от зафиксированного конца, отраженная волна входит в противофазу с падающей. В соответствии с принципом суперпозиции (что есть экспериментальный факт) колебания, созданные встречными волнами во всех точках струны, суммируются. Из сказанного следует, что итоговое колебание в каждой точке определяется как сумма колебаний, вызванных волнами y1 и y2 в отдельности. Таким образом:
y=y1(x, t)+y2(x, t)=(-2A sin ωt) sin kx.
Приведенное выражение является описанием стоячей волны. Введем некоторые понятия, применимые к такому явлению как стоячая волна.
Определение 6
Узлы – точки неподвижности в стоячей волне.
Пучности – точки, расположенные между узлами и колеблющиеся с максимальной амплитудой.
Если следовать данным определениям, для возникновения стоячей волны оба зафиксированных конца струны должны являться узлами. Указанная ранее формула отвечает этому условию на левом конце (x=0). Чтобы условие было выполнено и на правом конце (x=L), необходимо чтобы kL=nπ, где n является любым целым числом. Из сказанного можно сделать вывод, что стоячая волна в струне появляется не всегда, а только тогда, когда длина L струны равна целому числу длин полуволн:
l=nλn2 или λn=2ln(n=1, 2, 3,…).
Набору значений λn длин волн соответствует набор возможных частот f
fn=υλn=nυ2l=nf1.
В этой записи υ=Tμ есть скорость, с которой распространяются поперечные волны по струне.
Определение 7
Каждая из частот fn и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой. Наименьшая частота f1 носит название основной частоты, все прочие (f2, f3, …) называются гармониками.
Рисунок 2.6.6 иллюстрирует нормальную моду для n=2.
Стоячая волна не обладает потоком энергии. Энергия колебаний, «запертая» в отрезке струны между двумя соседними узлами, не переносится в остальные части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период T) преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно, подобно обычной колебательной системе. Однако, здесь имеется различие: если груз на пружине или маятник имеют единственную собственную частоту f0=ω02π, то струна характеризуется наличием бесконечного числа собственных (резонансных) частот fn. На рисунке 2.6.7 показано несколько вариантов стоячих волн в струне, зафиксированной на обоих концах.
Рисунок 2.6.7. Первые пять нормальных мод колебаний струны, зафиксированной на обоих концах.
Согласно принципу суперпозиции стоячие волны различных видов (с разными значениями n) способны одновременно присутствовать в колебаниях струны.
Рисунок 2.6.8. Модель нормальных мод струны.