Какие свойства характеризуют осевые и полярные моменты инерции площади сечения
Сопротивление материалов
При некоторых видах деформаций прочность и жесткость (способность противостоять деформации) элементов конструкций зависит не только от величины поперечного сечения, но и от формы этого сечения. 
Самый простой пример — обыкновенную школьную линейку можно легко изогнуть относительно широкой стороны поперечного сечения и совершенно невозможно изогнуть относительно его короткой стороны. При этом общая площадь сечения в обоих случаях одинакова. На основании этого примера становится очевидным, что на сопротивление некоторым видам деформации оказывает влияние (иногда — решающее) не только величина площади сечения бруса, но и его геометрическая форма.
При изучении деформаций изгиба и кручения нам потребуется знание некоторых геометрических характеристик плоских сечений, которые оказывают влияние на способность конструкций сопротивляться деформациям относительно той или иной оси либо полюса (точки).
Чтобы понять суть явления и влияния этих геометрических характеристик на сопротивление бруса, например, изгибу, следует обратиться к основополагающим постулатам сопромата. Как известно из установленного в 1660 году английским физиком Робертом Гуком закона, напряжение в сечениях бруса прямо пропорционально его относительному удлинению. Очевидно, что волокна, расположенные дальше от оси изгиба, растягиваются (или сжимаются) сильнее, чем расположенные вблизи оси. Следовательно, и напряжения возникающие в них будут бόльшими.
Можно привести условную сравнительную аналогию между напряжением в разных точках сечения бруса с моментом силы — чем больше плечо силы — тем больше ее момент (относительно оси или точки). Аналогично — чем дальше от какого-либо полюса (оси) отстоит точка в сечении, тем большее напряжение в ней возникает при попытке изогнуть или скрутить брус относительно этого полюса (оси).
***
Статический момент площади
Статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок (Si) на расстояния (ri)от них до этой оси.
Если упростить это определение, то статический момент инерции плоской фигуры относительно какой-либо оси (лежащей в той же плоскости, что и фигура) можно получить следующим образом:
- разбить фигуру на крохотные (элементарные) площадки (рис. 1);
- умножить площадь каждой площадки на расстояние ri от ее центра до рассматриваемой оси;
- сложить полученные результаты.
Статический момент площади плоской фигуры обозначают S с индексом оси, относительно которой он рассматривается: Sx, Sy, Sz.
Примечание: в разных учебниках или других источниках информации обозначение тех или иных физических величин может отличаться от приведенных на этом сайте. Как вы понимаете, от условного обозначения величин суть описываемых явлений и закономерностей не изменяется.
Sx = Σ y dA; Sy = Σ x dA.
Анализ этих формул позволяет сделать вывод, что статический момент площади фигуры относительно оси, лежащей в этой же плоскости, равен произведению площади фигуры на расстояние от ее центра тяжести до этой оси.
Из этого вывода следует еще один вывод — если рассматриваемая ось проходит через центр тяжести плоской фигуры, то статический момент этой фигуры относительно данной оси равен нулю.
Единица измерения статического момента площади — метр кубический (м3).
При определении статического момента площади сложной фигуры можно применять метод разбиения, т. е. определять статический момент всей фигуры, как алгебраическую сумму статических моментов отдельных ее частей. При этом сложная геометрическая фигура разбивается на простые по форме составные части — прямоугольники, треугольники, окружности, дуги и т. п., затем для каждой из этих простых фигур подсчитывается статический момент площади, и определяется алгебраическая сумма этих моментов.
***
Полярный момент инерции
Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно полюса (точки), лежащего в той же плоскости, называется сумма произведений элементарных площадок (Si) этой фигуры на квадрат их расстояний (r2i) до полюса.
Полярный момент инерции обозначают Iρ (иногда его обозначают Jρ), а формула для его определения записывается так:
Iρ = Σ ρ2 dA.
Единица измерений полярного момента инерции — м4, из чего следует, что он не может быть отрицательным.
Понятие полярного момента инерции понадобится при изучении деформаций кручения круглых валов, поэтому приведем формулы для определения полярного момента квадратного, круглого и кольцевого сечения.
Очевидно, что полярный момент инерции кольцевого сечения равен разности полярных моментов инерции большого и малого кругов, ограничивающих это сечение.
***
Осевой момент инерции
Осевым моментом инерции плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на квадрат расстояний от них до этой оси (рис).
Осевой момент инерции обозначается I (иногда — J)с индексом, соответствующим оси:
Ix = Σ y2 dA; Iy = Σ x2 dA.
Если при этом площадь элементарных площадок принять стремящимися к минимуму, то можно использовать методы интегрального исчисления, заменив знак суммы Σ на знак интеграла ∫.
Очевидно, что осевой и полярный момент инерции выражаются в одинаковых единицах — м4. Осевой момент инерции величина всегда положительная и не равна нулю (м4 не может быть отрицательным, а площадь не может быть равной нулю, иначе пропадает и сама фигура, как площадка).
Если сложить осевые моменты инерции плоской фигуры относительно перпендикулярных осей, то получим полярный момент инерции этой фигуры относительно точки пересечения этих осей (начала координат), т. е. :
Ix + Iy = Iρ.
Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то момент инерции сложной фигуры можно вычислить как сумму моментов инерции простых фигур, на которые разбивают сложную фигуру.
Понятие осевого момента инерции понадобится при изучении теории изгиба.
Приведем формулы для определения осевых моментов инерции наиболее часто встречающихся при расчетах форм сечений:
Для прямоугольника размером b × h: | Ix = bh3 /12 | ||
Для квадрата со стороной а: | Ix = a4 / 12 | ||
Для круга диаметром d: | Ix = Iy≈ 0,05 d4 | ||
Для кольцевого сечения размером D × d: | Ix = Iy≈ 0,05 (D4 — d4) |
***
Момент инерции при параллельном переносе осей
Оси, проходящие через центр тяжести плоской фигуры, называют центральными осями.
Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.
Теорема
Момент инерции относительно какой-либо оси равен сумме момента инерции относительно центральной оси, параллельной данной, и произведения площади фигуры на квадрат расстояния между осями.
Для доказательства этой теоремы рассмотрим произвольную плоскую фигуру, площадь которой равна А, центр тяжести расположен в точке С, а центральный момент инерции относительно оси x будет Ix.
Вычислим момент инерции фигуры относительно некоторой оси x1, параллельной центральной оси и отстоящей от нее на расстоянии а (рис. 2).
Ix1 = Σ y12 dA + Σ (y + a)2 dA =
= Σ y2 dA + 2a Σ y dA + a2 Σ dA.
Анализируя полученную формулу, отмечаем, что первое слагаемое — осевой момент инерции относительно центральной оси, второе слагаемое — статический момент площади этой фигуры относительно центральной оси (следовательно, он равен нулю), а третье слагаемое после интегрирования может быть представлено в виде произведения a2 A, т. е. в результате получим формулу:
Ix1 = Ix + а2 А — теорема доказана.
На основании теоремы можно сделать вывод, что из ряда параллельных осей осевой момент инерции плоской фигуры будет наименьшим относительно центральной оси.
***
Главные оси и главные моменты инерции
Представим себе плоскую фигуру, моменты инерции которой относительно осей координат Ixи Iy, а полярный момент инерции относительно начала координат равен Iρ. Как было установлено ранее,
Ix + Iy = Iρ.
Если оси координат поворачивать в своей плоскости вокруг начала координат, то полярный момент инерции останется неизменным, а осевые моменты будут изменяться, при этом их сумма останется величиной постоянной. Поскольку сумма переменных величин постоянна, то одна из них уменьшается, а другая увеличивается, и наоборот.
Следовательно, при определенном положении осей один из осевых моментов достигнет максимального значения, а другой — минимального.
Оси, относительно которых моменты инерции имеют минимальное и максимальное значения, называют главными осями инерции.
Момент инерции относительно главной оси называется главным моментом инерции.
Если главная ось проходит через центр тяжести фигуры, она называется главной центральной осью, а момент инерции относительно такой оси — главным центральным моментом инерции.
Можно сделать вывод, что если фигура симметрична относительно какой-нибудь оси, то эта ось всегда будет одной из главных центральных осей инерции этой фигуры.
***
Центробежный момент инерции
Центробежным моментом инерции плоской фигуры называют взятую по всей площади сумму произведений элементарных площадок на расстояние до двух взаимно перпендикулярных осей:
Ixy = Σ xy dA,
где x, y — расстояния от площадки dA до осей x и y.
Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю.
Центробежный момент инерции входит в формулы для определения положения главных осей несимметричных сечений.
В таблицах стандартных профилей содержится характеристика, которая называется радиусом инерции сечения, вычисляемая по формулам:
ix = √ (Ix / A), iy = √ (Iy / A), (здесь и далее знак «√» — знак корня)
где Ix, Iy — осевые моменты инерции сечения относительно центральных осей; А — площадь сечения.
Эта геометрическая характеристика используется при изучении внецентрального растяжения или сжатия, а также продольного изгиба.
***
Материалы раздела «Сопротивление материалов»:
- Основные понятия и определения
- Растяжение и сжатие
- Смятие. Контактные напряжения
- Деформация сдвига (среза)
- Деформация кручения
- Деформация изгиба
Растяжение и сжатие
Правильные ответы на вопросы Теста № 2
№ вопроса | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Правильный вариант ответа | 2 | 3 | 2 | 1 | 1 | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 |
При решении задач сопротивления материалов разрушению и деформированию, сохранения или потери начальной формы равновесия стержней, как правило, используются следующие геометрические характеристики поперечных сечений, описываемые интегралами
где Sx, Sy – статические моменты площади поперечного сечения (могут быть положительными, отрицательными или равными нулю), Jx, Jy– осевые моменты инерции сечения (положительны, не могут равняться нулю), Jxy – центробежный момент инерции сечения (может быть положительным, отрицательным или равным нулю), Jρ– полярный момент инерции сечения (положителен), не равен нулю), dA – элемент площади сечения, х, у – координаты элемента площади.
Размерность статических моментов площади- длина в третьей степени, моментов инерции — длина в четвертой степени.
Для сечения, состоящего из отдельных частей или разделенного на отдельные части (фигуры)
Оси, относительно которых статические моменты площади равны нулю, называются центральными осями. Согласно сути теоремы о моменте равнодействующей (теоретическая механика)
Sx=Ayc, Sy=Axc,
где хс, ус – координаты центра тяжести сечения.
Таким образом, применительно к составному сечению
Это формулы для определения координат центра тяжести составного сечения.
Зависимости между геометрическими характеристиками относительно параллельных осей (ОХ||О′Х′, ОУ||О′У′)
где a, b –расстояния между, соответственно, осями Х и Х/ и осями Y и Y/
Если оси Х и У являются центральными, то формулы «перехода» от центральных осей
В случае поворота координатных осей Х и У на угол α зависимости между моментами инерции формулы «перехода» от центральных осей
Из этих формул вытекает замечательное следствие, которое часто используется в качестве контроля, проверки:
Сумма осевых моментов инерции относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей не меняется при повороте осей.
Главные оси и главные моменты инерции
В любой точке плоскости существуют такие две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции имеют экстремальные значения (максимальное и минимальное). Такие оси называются главными, а осевые моменты инерции относительно этих осей –главными моментами инерции.
Если главные оси проходят к тому же и через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями, а осевые моменты инерции – главными центральными моментами инерции.
Практическое значение имеют именно эти главные центральные оси (обозначим их U и V) и главные центральные моменты инерции относительно их, поскольку они входят во все расчетные формулы сопротивления материалов.
Положение главных осей находится из выражения
где 
— угол между главными и исходными осями.
Этому условию удовлетворяют сразу два значения угла, отличающихся на 90˚, значит формула определяет положение сразу обеих главных центральных осей. Найденное из этого условия значение угла α0 откладывается между максимальной главной осью и той из центральных осей, относительно которой момент инерции больше.
Главные моменты инерции определяются следующим образом:
Геометрическими характеристиками сечения также являются:
— Радиус инерции
Радиусом инерции называют корень квадратный из отношения момента инерции к площади сечения, эта величина характеризует разброс площади по периферии сечения:
— Осевые моменты сопротивления
Осевой момент сопротивления (W) представляет собой отношение осевого момента инерции относительно оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленной точки сечения:
Все геометрические характеристики для простых фигур можно найти в рубрике
« Таблицы»- см. здесь, а для профилей проката — здесь.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В части 2 конспекта лекций содержаться основные теоретические положения и расчётные формулы по следующим темам: Геометрические характеристики плоских сечений, Кручение, Срез и смятие.
Целью конспекта лекций является оказание помощи студентам при изучении предмета, при решении и защите расчетно-графических работ по сопротивлению материалов.
К геометрическим характеристикам плоских сечений относятся:
· площадь сечения F,
· статические моменты площади Sx , Sy ,
· осевые моменты инерции Jx , Jy ,
· центробежный момент инерции Jxy,
· полярный момент инерции Jρ ,
· момент сопротивления кручению Wρ,
· момент сопротивления изгибу Wx
Статические моменты площади Sx , Sy
Статический момент площади сечения относительно данной оси равен сумме произведений элементарных площадок на расстояние до соответствующей оси.
Рис. 1
(1)
(2)
Единицы измерения Sx и Sy: [см3], [мм3]. Знак «+» или «-» зависит от расположения осей.
Свойство: Статические моменты площади сечения равны нулю (Sx=0 и Sy=0), если точка пересечения координатных осей совпадает с центром тяжести сечения. Ось, относительно которой статический момент равен, называется центральной. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения.
(3)
(4)
Где F — суммарная площадь сечения.
Пример 1:
Определить положение центра тяжести плоского сечения, состоящего из двух прямоугольников с вырезом.
Рис. 2
(5)
(6)
Отрицательная площадь вычитается.
Осевые моменты инерции Jx ; Jy
Осевой момент инерции равен сумме произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до соответствующей оси.
(7)
(8)
Единица измерения [см4], [мм4].
Знак всегда «+».
Не бывает равным 0.
Свойство: Принимает минимальное значение, когда точка пересечения координатных осей совпадает с центром тяжести сечения.
Чем дальше площадь удалена от центральной оси, тем осевой момент инерции сечения больше. Жесткость конструкции повышается.
Осевой момент инерции сечения применяют при расчетах на прочность, жесткость и устойчивость.
Полярный момент инерции сечения Jρ
Рис. 3
(9)
Взаимосвязь полярного и осевого моментов инерции:
(10)
(11)
Полярный момент инерции сечения равен сумме осевых моментов.
Свойство:
при повороте осей в любую сторону, один из осевых моментов инерции возрастает, а другой убывает (и наоборот). Сумма осевых моментов инерции остается величиной постоянной.
Центробежный момент инерции сечения Jxy
Центробежный момент инерции сечения равен сумме произведений элементарных площадок на расстояния до обеих осей
(12)
Единица измерения [см4], [мм4].
Знак «+» или «-».
, если координатные оси являются осями симметрии (пример – двутавр, прямоугольник, круг), или одна из координатных осей совпадает с осью симметрии (пример – швеллер).
Таким образом для симметричных фигур центробежный момент инерции равен 0.
Координатные оси u и v, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются главными центральными осями инерции сечения. Главными они называются потому, что центробежный момент относительно них равен нулю, а центральными – потому, что проходят через центр тяжести сечения.
У сечений, не обладающих симметрией относительно осей x или y, например у уголка, не будет равен нулю. Для этих сечений определяют положение осей u и v с помощью вычисления угла поворота осей x и y
(13)
Центробежный момент относительно осей u и v —
Формула для определения осевых моментов инерции относительно главных центральных осей u и v:
(14)
где — осевые моменты инерции относительно центральных осей,
— центробежный момент инерции относительно центральных осей.
Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой точки:
где р — расстояние дополюса (центра поворота) (рис. 25.1).
Поскольку
получим: полярный момент инерции сечения равен сумме осевых:
Осевые моменты инерции характеризуют сопротивление сечения повороту относительно соответствующей оси.
Полярный момент инерция характеризует сопротивление сечения повороту вокруг полюса (начала координат). Единицы измерения моментов инерции: м4; см4; мм4.
Моменты инерции простейших сечений
Осевые моменты инерции прямоугольника (рис. 25.2)
Представим прямоугольник высотой h и шириной b в виде сечения, составленного из бесконечно тонких полос. Запишем площадь такой полосы: bdy = dA. Подставим в формулу осевого момента инерции относительно оси Оx:
По аналогии, если разбить прямоугольник на вертикальные полосы, рассчитать площади полос и подставить в формулу для осевого момента инерции относительно оси Оу, получим:
Очевидно, что при h > Ь сопротивление повороту относительно оси Ох больше, чем относительно Оу.
Для квадрата:
Полярный момент инерции круга
Для круга вначале вычисляют полярный момент инерции, затем — осевые. Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец (рис. 25.3).
Площадь каждого кольца можно рассчитать как площадь прямоугольника с длинной стороной, равной длине соответствующей окружности, и высотой, равной толщине кольца:
Подставим это выражение для площади в формулу для полярного момента инерции:
Получим формулу для расчета полярного момента инерции круга:
Подобным же образом можно получить формулу для расчета полярного момента инерции кольца:
где d — наружный диаметр кольца; dBH — внутренний диаметр кольца.
Если обозначить
Осевые моменты инерции круга и кольца
Используя известную связь между осевыми и полярным моментами инерции, получим:
Моменты инерции относительно параллельных осей
Оси Ох о и Ох параллельны (рис. 25.4).
При параллельном переносе прямоугольной системы осей уоОхо в новое положение уоОх значения моментов инерции Jx, Jy, Jxyзаданного сечения меняются. Задается формула перехода без вывода.
здесь Jx — момент инерции относительно оси Ох; Jxо — момент инерции относительно оси Охо; А — площадь сечения; а — расстояние между осями Ох и Ох о-
Главные оси и главные моменты инерции
Главные оси — это оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения: минимальный и максимальный.
Главные центральные моменты инерции рассчитываются относительно главных осей, проходящих через центр тяжести.
Примеры решения задач
Пример 1. Определить величину осевых моментов инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу (рис. 25.5).
Решение
1. Определим осевой момент инерции относительно оси Ох. Используем формулы для главных центральных моментов. Представим момент инерции сечения как разность моментов инерции круга и прямоугольника.
Для круга
Для прямоугольника
Для прямоугольника ось Ох не проходит через ЦТ. Момент инерции прямоугольника относительно оси Ох:
где А — площадь сечения; а — расстояние между осями Ох и Охо.
Момент инерции сечения
Пример 2. Найти главный центральный момент инерции сечения относительно оси Ох (рис. 25.6).
Решение
1. Сечение составлено из стандартных профилей, главные центральные моменты инерции которых приводятся в таблицах ГОСТ, см. Приложение 1. Для двутавра № 14 по ГОСТ 8239-89 Jox1 = 572 см4.
Для швеллера № 16 по ГОСТ 8240-89 Jox2 = 757 см4.
Площадь А2 = 18,1см2, Joy2 = 63,3см4.
2. Определяем координату центра тяжести швеллера относительно оси Ох. В заданном сечении швеллер повернут и поднят. При этом главные центральные оси поменялись местами.
у2 = (h1/2) + d2— zo2, по ГОСТ находим h1 = 14 см; d2 = 5 мм; zo = 1,8 см.
Момент инерции сечения равен сумме моментов инерции швеллеров и двутавра относительно оси Ох. Используем формулу моментов инерции относительно параллельных осей:
В данном случае
Пример 3. Для заданного сечения (рис. 2.45) вычислить главные центральные моменты инерции.
Решение
Сечение имеет две оси симметрии, которые являются его главными центральными осями.
Разбиваем сечение на две простейшие фигуры: прямоугольник (I) и два круга (II).
Момент инерции сечения относительно оси х
где
Ось x (центральная ось сечения) не является центральной осью круга. Следовательно, момент инерции круга следует вычислять по формуле
где
Подставляя значения Jx’’, a, F» в формулу, получаем
Тогда
Ось у является центральной для прямоугольника и кругов. Следовательно,
Пример 4. Для заданного сечения (рис.2.46)определить положение главных центральных осей и вычислить главные центральные моменты инерции.
Решение
Центр тяжести лежит на оси Оу, так как она является осью симметрии сечения. Разбив сечение на два прямоугольника I (160 x 100) иII(140 x 80) и выбрав вспомогательную ось и, определим координату центра тяжести v0 по формуле
Оси Ох и Оу — главные центральные оси сечения (Оу — ось симметрии, ось Ох проходит через центр тяжести сечения и перпендикулярна к Оу).
Вычислим главные моменты инерции сечения Jx и Jy:
где
здесь
Тогда
Ось Оу является центральной осью для прямоугольников 1 и 11. Следовательно,
Для проверки правильности решения можно разбить сечение на прямоугольники другим способом и вновь произвести расчет. Совпадение результатов явится подтверждением их правильности.
Пример 5. Вычислить главные центральные моменты инерции сечения (рис. 2.47).
Решение
Сечение имеет две оси симметрии, которые и являются его главными центральными осями.
Разбиваем сечение на два прямоугольника с b * h = 140 x 8 и два прокатных швеллера. Для швеллера № 16 из таблицы ГОСТ 8240 – 72 имеем JX1 = Jx = 747 см4; Jy1 = 63,3 см9, F1 = 18,1см2, z0 = 1,8см.
Вычислим Jx и Jy:
Пример 6. Определить положение главных центральных осей и вычислить главные центральные моменты инерции заданного сечения (рис. 2.48).
Решение
Заданное сечение разбиваем на прокатные профили: швеллер I и два двутавра II. Геометрические характеристики швеллера и двутавра берем из таблиц прокатной стали ГОСТ 8240—72 и ГОСТ 8239 — 72.
Для швеллера № 20 JXl = 113 см4 (в таблице Jy); Jy1 = 1520 см4 (в таблице Jx); F1= 23,4 см2; г0 = 2,07 см.
Для двутавра №18 Jx2 = 1330 см4 (в таблице Jx); Jy2 = 94,6 см4 (в таблице Jy); F2 = 23,8 см2.
Одной из главных осей является ось симметрии Оу, другая главная ось Ох проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно к первой.
Выбираем вспомогательную ось и и определяем координату v0:
где v1 = 180 + 20,7 = 200,7 мм и v2 = 180/2 = 90 мм. Вычисляем Jx и Jу:
Контрольные вопросы и задания
1. Диаметр сплошного вала увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличатся осевые моменты инерции?
2. Осевые моменты сечения равны соответственно Jx = 2,5 мм4 и Jy = 6,5мм. Определите полярный момент сечения.
3. Осевой момент инерции кольца относительно оси Ох Jx = 4 см4. Определите величину Jp.
4. В каком случае Jx наименьшее (рис. 25.7)?
5. Какая из приведенных формул для определения Jx подойдет для сечения, изображенного на рис. 25.8?
6. Момент инерции швеллера № 10 относительно главной центральной оси JXQ = 174см4; площадь поперечного сечения 10,9 см2.
Определите осевой момент инерции относительно оси, проходящей через основание швеллера (рис. 25.9).
7. Сравнить полярные моменты инерции двух сечений, имеющих практически одинаковые площади (рис. 25.10).
8. Сравнить осевые моменты инерции относительно оси Ох прямоугольника и квадрата, имеющих одинаковые площади (рис. 25.11).