Какие свойства фигур сохраняются при параллельном проектировании
§ 12.Параллельное проектирование и его свойства.
Ортогональное проектирование
В начале учебника на плоскости изображены некоторые фигуры, расположенные в пространстве. Эти изображения строились с целью придать наглядность тому, о чём шла речь в соответствующей теореме или задаче.
Однако изображения пространственных фигур на плоскости строятся по определённым правилам и в школьном курсе геометрии обычно осуществляются с помощью метода параллельного проектирования, сущность которого состоит в следующем.
В пространстве выбирается произвольная плоскость π, которую называют плоскостью проекций или плоскостью изображения, и прямая l, пересекающая эту плоскость (рис. 71, а).
Пусть M′ — произвольная точка пространства. Через эту точку проведём прямую p, параллельную l. Точка M пересечения прямой p с плоскостью π называется параллельной проекцией точки M′ на плоскость π в направлении прямой l. Если M′ — точка плоскости π, то M совпадает с M′.
При этом часто пользуются обозначением: M = П
(M′).
Рис. 71
Прямую l и все прямые пространства, параллельные ей, называют проектирующими прямыми; они определяют направление проектирования. Всякая плоскость пространства, параллельная проектирующей прямой, называется проектирующей плоскостью.
Фигура, которую проектируют или изображают, называется оригиналом. Для построения проекции фигуры достаточно построить проекции всех точек этой фигуры или проекции точек фигуры, её определяющих. На рисунке 71, б треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника A′B′C′ на плоскость π в направлении прямой l.
Замечание. Наряду с параллельным проектированием рассматривается также центральное проектирование фигур на плоскость. В этом случае проектирующие прямые проходят через одну точку — центр проектирования, произвольно выбранную вне плоскости проекций (рис. 71, в).
Параллельное и центральное проектирование можно наблюдать в реальном пространстве: тень, которую отбрасывает предмет в солнечный день, является параллельной проекцией этого предмета, так как солнечные лучи можно считать приближённо параллельными вследствие большого удаления Солнца от Земли. А изображение на экране кинотеатра фигуры, заснятой на киноплёнку, является центральной проекцией этой фигуры.
На рисунках 72, 73, 74 изображены в параллельной проекции соответственно квадрат, треугольник и каркас тетраэдра. По этим рисункам можно сделать предположение, что ни величина угла, ни длина отрезка при параллельном проектировании, вообще говоря, не сохраняются.
Рассмотрим некоторые свойства параллельного проектирования.
1. Все точки проектирующей прямой проектируются в одну точку — точку пересечения этой прямой с плоскостью проекций (рис. 75).
В дальнейшем мы будем рассматривать проекции прямых, не параллельных проектирующим прямым.
2. Проекция прямой есть прямая. Действительно, все прямые, проектирующие точки данной прямой m′ (рис. 76), принадлежат некоторой проектирующей плоскости, которая пересекает плоскость проекций по некоторой прямой m — параллельной проекции прямой m′.
Причём, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную этой прямой (т. 6) (мы проводим прямые, параллельные прямой l), то каждая точка прямой m′ проектируется в единственную точку своей проекции — прямой m, и наоборот, каждая точка прямой m является проекцией единственной точки прямой m′.
Из доказательства этого свойства следует: три точки, лежащие на одной прямой, проектируются в три точки, также лежащие на одной прямой.
Также говорят, что три коллинеарные точки проектируются в три коллинеарные точки.
Рис. 75
Рис. 76
3. Две параллельные прямые проектируются либо в две параллельные прямые, либо в одну и ту же прямую. Действительно, если прямые a′ и b′ лежат в одной проектирующей плоскости, то они проектируются в одну и ту же прямую, а именно, в прямую, по которой эта проектирующая плоскость пересекает плоскость проекций.
Пусть теперь прямые a′ и b′ параллельны (рис. 77) и не лежат в одной проектирующей плоскости.
Обозначим через α и β плоскости, образованные прямыми, проектирующими точки прямых соответственно a′ и b′. Прямые a и b, по которым плоскости α и β пересекают плоскость проекции, не могут пересекаться, так как если бы эти прямые имели общую точку M, то и прямые a′ и b′ по свойству 2 имели бы общую точку M′, что невозможно в силу параллельности прямых a′ и b′. А так как прямые a и b лежат в одной плоскости (плоскости проекций) и не имеют общей точки, то они параллельны, т. е. параллельными проекциями параллельных прямых, не лежащих в одной проектирующей плоскости, являются параллельные прямые.
Заметим, что плоскости α и β, проектирующие параллельные прямые a′ и b′, не лежащие в одной проектирующей плоскости, параллельны (в п. 9.1 показано, что параллельные плоскости существуют; о свойствах параллельных плоскостей речь пойдёт в следующей главе).
4. Проекции параллельных отрезков лежат либо на параллельных прямых, либо на одной прямой. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин проекций этих отрезков.
Если отрезки A′B′ и B′C′ лежат на одной прямой a′ и проектируются на отрезки соответственно AB и BC прямой a (рис. 78), то по обобщённой теореме Фалеса в плоскости, определяемой прямыми a и a′, получаем A′B′ : B′C′ = AB : BC = m : n.
Рис. 77
Рис. 78
Пусть теперь отрезки A′B′ и C′D′ расположены соответственно на данных параллельных прямых a′ и b′, не лежащих в одной проектирующей плоскости, и A′B′ : C′D′ = m : n; AB и CD, a и b — соответственно их параллельные проекции на плоскость π (рис. 79).
Так как a′ ‖ b′, то (по свойству 3) a ‖ b. Пусть E — такая точка прямой a, что четырёхугольник BCDE — параллелограмм. Тогда на прямой a′ существует (единственная!) такая точка E′, что E′E ‖ DD′ и A′B′ : B′E′ = AB : BE. А так как BC ‖ ED, то B′C′ ‖ E′D′ (по свойству 3), значит, B′C′D′E′ — параллелограмм. Поэтому A′B′ : C′D′ = A′B′ : B′E′ = AB : BE = AB : CD, т. е. A′B′ : C′D′ = AB : CD = m : n.
Из этого свойства, очень важного для теории построений изображений пространственных фигур на плоскости, следует не менее важный вывод: если отрезок A′C′ параллельно проектируется на отрезок AC и точка B′ делит отрезок A′C′ в отношении A′B′ : B′C′ = m : n, то точка B — проекция точки B′ — делит отрезок AC в том же отношении m : n, т. е. AB : BC = A′B′ : B′C′ = m : n. В частности, середина отрезка A′C′ параллельно проектируется в середину отрезка AC (m : n = 1 : 1) (рис. 80).
Пусть M — внутренняя точка отрезка AB.
Определение. Число λ, равное отношению длин отрезков AM и MB, на которые точка M делит отрезок AB, называется простым отношением трёх точек A, B и M, лежащих на одной прямой, и обозначается (AB; M), т. е. (AB; M) = λ = AM : MB.
Рис. 79
Рис. 80
Рис. 81
При этом точки A и B называются базисными, а точка M — делящей точкой.
Упорядоченность точек простого отношения необходима. Например, если AA1 — медиана треугольника ABC, M — его центроид (точка пересечения медиан треугольника), то (AA1; M) = AM : MA1 = 2 : 1, но (A1A; M) = A1M : MA = 1 : 2 (рис. 81). Поэтому, если AM ≠ MA1, то
(AA1; M) ≠ (A1A; M).
Учитывая свойство 4 параллельного проектирования, можно сделать вывод: простое отношение трёх точек, лежащих на одной прямой, при параллельном проектировании сохраняется. В этом случае также говорят, что простое отношение трёх точек, лежащих на одной прямой, — инвариант параллельного проектирования.
Свойства фигуры, сохраняющиеся при параллельном проектировании, называются аффинными свойствами этой фигуры. Например, свойства прямых быть параллельными — аффинное свойство этих прямых; инвариантность простого отношения трёх точек одной прямой — аффинное свойство таких точек.
Подробнее о параллельном проектировании и изображениях фигур на плоскости читайте в конце учебника.
Определение. Проектирование в направлении прямой, перпендикулярной плоскости проекций, называется ортогональным.
Удобно пользоваться обозначением: M = П
(M′).
Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного и обладает всеми его свойствами. Однако, если при параллельном проектировании, не являющимся ортогональным, длина проекции отрезка может быть меньше, больше или равна длине самого отрезка, то при ортогональном проектировании длина проекции отрезка не больше, чем длина самого отрезка, и длины этих отрезков связаны соотношением: П
(AB) = | AB |•cos ϕ, где ϕ — величина угла между прямой AB и плоскостью проекций α.
Задания для работы с интернет-ресурсами
1. Наберите в поисковой системе слова «Перпендикулярность прямой и плоскости», «Перпендикуляр и наклонная к плоскости», «Наклонная и её проекция на плоскость», «Теорема о трёх перпендикулярах». На изображениях куба, параллелепипеда найдите рёбра и диагонали, перпендикулярные граням и сечениям этих многогранников. Найдите видеоролики с лекциями опытных педагогов и геометров, в которых выражаются различные взгляды как на теорию, так и на решение задач по этим вопросам.
2. Наберите в поисковой системе слова «угол между наклонной и плоскостью». Поищите задачи ЕГЭ типа С-2, в которых используется нахождение угла между прямой и плоскостью, посмотрите, как они решаются, попробуйте решить их самостоятельно. Если вам удалось найти в Интернете тренинг по решению задач этой темы, то попытайтесь им воспользоваться. Однако решать такие задачи целесообразнее после изучения темы «Расстояния в пространстве». Скоро вы изучите эту тему.
3. Изображения фигур на плоскости и в живописи подчиняются определённым законам. Найдите в Интернете такие имена, как Филиппо Брунеллески (1377—1446), Леонардо да Винчи (1452—1519) и Альбрехт Дюрер (1471—1528). Вы увидите творчество этих великих художников. Однако существует направление, которое называется импоссибилизм (impossibility — невозможность) — изображение невозможных фигур, парадоксов. Представителем этого направления живописи является известный голландский художник Мауриц Эшер (1898—1972). Найдите статьи, посвящённые его творчеству, а главное, найдите сами репродукции картин, которые представляют большой интерес и с точки зрения геометрии.
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
В
стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они
изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать
пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии для этого используется
параллельное проектирование.
Пусть p — некоторая плоскость, l — пересекающая ее прямая (рис. 1).
Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем
прямую, параллельную прямой l. Точка пересечения этой прямой с
плоскостью p называется параллельной проекцией точки A на
плоскость p в направлении прямой l. Обозначим ее A‘.
Если точка A принадлежит прямой l, то параллельной проекцией A
на плоскость p считается точка пересечения прямой l с плоскостью
p.
Таким образом,
каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A‘ на
плоскость p. Это соответствие называется параллельным
проектированием на плоскость p в направлении прямой l.
Пусть Ф — некоторая
фигура в пространстве. Проекции ее точек на плоскость p образуют фигуру Ф’, которая называется параллельной проекцией
фигуры Ф на плоскость p в направлении прямой l.
Говорят также, что фигура Ф’ получена из фигуры Ф параллельным
проектированием.
Примеры параллельных проекций
дают, например, тени предметов под воздействием пучка параллельных солнечных
лучей.
Рассмотрим свойства параллельного
проектирования.
Свойство 1. Если прямая параллельна или совпадает с прямой l,
то ее проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не
параллельна и не совпадает с прямой l, то ее проекцией является прямая.
Доказательство. Ясно, что если прямая k параллельна или
совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой на
плоскость p будет точка пересечения прямой l и плоскости p. Пусть k не параллельна и не совпадает с прямой l (рис.
2). Возьмем какую-нибудь точку A на прямой k и проведем через нее
прямую a, параллельную l. Ее пересечение с плоскостью
проектирования p даст точку A‘, являющуюся проекцией точки A.
Через прямые a и k проведем плоскость a . Ее пересечением с плоскостью p будет искомая
прямая k‘, являющаяся проекцией прямой k.
Свойство 2. Проекция отрезка при
параллельном проектировании есть точка или отрезок, в зависимости от того лежит
он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l, или нет.
Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на
прямой, не параллельной и не совпадающей с прямой l. В частности, при
параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину
соответствующего отрезка.
Доказательство.Ясно, что если отрезок лежит на прямой, параллельной
или совпадающей с прямой l, то его проекцией будет точка. Пусть точки A,
B и C лежат на прямой k, не параллельной и не совпадающей с
прямой l; k’ – проекция прямой k на плоскость p в направлении прямой l;
A’, B’, C’ – проекции точек A, B и
C соответственно; a, b, c – соответствующие прямые,
проходящие через эти точки и параллельные прямой l (рис. 3). Тогда из
теоремы Фалеса планиметрии следует равенство отношений AB : BC = A’B’
: B’C’. В частности, если точка B — середина отрезка AC, то B’ — середина отрезка A’C’.
Свойство 3. Если две
параллельные прямые не параллельны прямой l, то их проекции в направлении
l могут быть или параллельными прямыми или одной прямой.
Доказательство. Пусть k1, k2
— параллельные прямые, не параллельные прямой l. Так же как и при
доказательстве первого свойства, рассмотрим плоскости a1, a2, линии пересечения
которых с плоскостью p дают проекции k1‘, k2‘ прямых k1, k2
соответственно (рис. 4). Если плоскости a1 и a2 совпадают, то проекции прямых k1 и k2 также совпадают. Если эти плоскости различны, то они параллельны между
собой, по признаку параллельности плоскостей (прямая k1 параллельна прямой k2, прямая A1A1‘ параллельна прямой A2A2‘ ). В силу свойства параллельных плоскостей, линии
пересечения этих плоскостей с плоскостью p параллельны.
При изображении
пространственных фигур на плоскости особенно важно уметь правильно изображать
плоские фигуры, поскольку они входят в поверхность основных пространственных
фигур. Например, плоские многоугольники являются гранями многогранников, круги
— основаниями цилиндров и конусов.
Теорема. Если плоская фигура F лежит в плоскости,
параллельной плоскости проектирования p, то ее проекция F’
на эту плоскость будет равна фигуре F.
Доказательство. Пусть A,B –
точки фигуры F и A’,B’ – их параллельные проекции (рис. 5). Тогда ABB’A’ –
параллелограмм. Поэтому параллельный перенос на вектор переводит точку B в B’. Поскольку точку B
фигуры F можно выбирать произвольно, то этот параллельный
перенос переводит фигуру F в фигуру F’. Значит фигуры Fи F’ равны.
Если
фигура F лежит в плоскости, не параллельной плоскости проектирования p, то ее проекция F’, вообще говоря, не равна фигуре F.
Из свойств параллельного
проектирования следует, что параллельной проекцией многоугольника является или
многоугольник с тем же числом сторон или отрезок. Причем, если в многоугольнике
какие-нибудь две стороны параллельны, то их проекции также будут параллельны.
Однако, поскольку при параллельном проектировании длины отрезков и углы, вообще
говоря, не сохраняются, то проекцией равностороннего треугольника может быть
треугольник с разной длиной сторон, проекцией прямоугольного треугольника может
быть не прямоугольный треугольник. Аналогично, хотя проекцией параллелограмма
является параллелограмм, проекцией прямоугольника может не быть прямоугольник,
проекцией ромба не обязательно является ромб, проекцией правильного
многоугольника может быть неправильный многоугольник.
Простейшим многоугольником
является треугольник. Параллельной проекцией треугольника, как следует из
свойств параллельного проектирования, является треугольник или отрезок. При
этом, если плоскость треугольника параллельна плоскости проектирования, то, как
мы выяснили, его проекцией будет треугольник, равный исходному. Докажем, что в
общем случае треугольник любой формы может служить параллельной проекцией
равностороннего треугольника.
Действительно, пусть дан
произвольный треугольник ABC в плоскости p (рис. 6).
Построим на одной из его сторон. например, AC равносторонний треугольник
AB1C так, чтобы точка B1 не принадлежала плоскости p. Обозначим через l прямую, проходящую через точки B1 и B. Тогда ясно, что треугольник ABC
является параллельной проекцией треугольника AB1C на
плоскость p в направлении прямой l.
Рассмотрим
теперь параллельную проекцию правильного шестиугольника ABCDEF с центром
в точке O (рис. 7). Выберем какой-нибудь треугольник, например, AOB.
Его проекцией может быть треугольник A’O’B’ на плоскости p (рис. 8), имеющий произвольную форму. Далее отложим O’D’=A’O’ и
O’E’=B’O’. Теперь из точек A’ и D’ проведем прямые,
параллельные прямой B’O’; из точек B’ и E’ проведем
прямые, параллельные прямой A’O’. Точки пересечения соответствующих
прямых обозначим F’ и C’. Шестиугольник A’B’C’D’E’F’ и
будет искомой проекцией правильного шестиугольника ABCDEF.
Выясним, какая фигура
является параллельной проекцией окружности. Пусть F — окружность в
пространстве, F’— ее проекция на плоскость p в направлении прямой l. Если прямая l параллельна плоскости
окружности или лежит в ней, то проекцией окружности является отрезок, равный
диаметру окружности.
Рассмотрим случай, когда
прямая l пересекает плоскость окружности (рис. 9). Пусть AB —
диаметр окружности, параллельный плоскости p и A’B’ его
проекция на эту плоскость. Тогда AB=A’B’. Возьмем какой-нибудь другой
диаметр CD и пусть C’D’ — его проекция. Обозначим отношение C’D’:CD через k.
Так как при параллельном проектировании сохраняются параллельность и отношение
длин параллельных отрезков, то для произвольной хорды C1D1,
параллельной диаметру CD, ее проекция C1‘D1‘ будет параллельна C’D’, и отношение C1‘D1‘ : C1D1 будет равно k.
Таким
образом, проекция окружности получается сжатием или растяжением окружности в
направлении какого-нибудь ее диаметра в одно и то же число раз. Такая фигура на
плоскости называется эллипсом. Например, на рисунке 10 изображен эллипс,
полученный из окружности сжатием в направлении диаметра CD в два раза.
Приведем примеры изображений
пространственных фигур на плоскости.
Изображение параллелепипеда
строится, исходя из того, что все его грани параллелограммы и, следовательно,
изображаются параллелограммами (рис. 11).
При
изображении куба плоскость изображений обычно выбирается параллельной одной из
его граней. В этом случае две грани куба, параллельные плоскости изображений
(передняя и задняя), изображаются равными квадратами. Остальные грани куба
изображаются параллелограммами (рис. 12). Аналогичным образом изображается
прямоугольный параллелепипед (рис. 13).
Для того чтобы построить
изображение призмы, достаточно построить многоугольник, изображающий ее
основание. Затем из вершин многоугольника провести прямые, параллельные
некоторой фиксированной прямой, и отложить на них равные отрезки. Соединяя
концы этих отрезков, получим многоугольник, являющийся изображением второго
основания призмы (рис. 14).
Для того чтобы построить
изображение пирамиды, достаточно построить многоугольник, изображающий ее
основание. Затем выбрать какую-нибудь точку, которая будет изображать вершину
пирамиды, и соединить ее с вершинами многоугольника (рис. 15). Полученные
отрезки будут изображать боковые ребра пирамиды.
Для
изображения цилиндра достаточно изобразить его основания в виде двух эллипсов,
получающихся друг из друга параллельным переносом, и нарисовать две образующие,
соединяющие соответствующие точки этих оснований (рис. 16).
Для изображения конуса
достаточно изобразить его основание в виде эллипса, отметить вершину и провести
через нее две образующие, являющиеся касательными к этому эллипсу (рис. 17).
Обратим внимание на тот факт,
что плоское изображение, подчиняясь определенным законам, способно передать
впечатление о трехмерном предмете. Однако при этом могут возникать иллюзии.
В живописи существует целое направление,
которое называется импоссибилизм (impossibility — невозможность) — изображение
невозможных фигур, парадоксов. Известный голландский художник М.Эшер (1898 –
1972) в гравюрах «Бельведер» (рис. 18), «Водопад» (рис.
19), «Поднимаясь и опускаясь» (рис. 20) изобразил невозможные
объекты.
Современный шведский архитектор О. Рутерсвард посвятил невозможным объектам
серию своих художественных работ. Некоторые из них представлены на рисунке 21.
Литература
1. Бескин Н.М. Изображение пространственных
фигур //Квант. – 1970. — № 12.
2. Василевский А.Б. Метод параллельных проекций.
– Минск: Народная асвета, 1985.
3. Костицын В.Н. Моделирование на уроках
геометрии. – М.: Владос, 2000.
4. Польский И.Г. Проекционный чертеж и
построения на нем. – М.: Учпедгиз, 1962.
5. Четверухин Н.Ф. Стереометрические
задачи на проекционном чертеже. – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1955.
6. Четверухин Н.Ф. Чертежи пространственных
фигур в курсе геометрии. – М.: Учпедгиз, 1946.
7. Энциклопедия элементарной геометрии. Книга
IV. Геометрия. – М.: Гос. изд. физико-математ. лит., 1963, с. 229.