Какие свойства деления есть
В рамках этой статьи мы изучим общие представления, связанные с делением натуральных чисел. Их принято называть свойствами процесса деления. Мы разберем основные из них, поясним их значение и подкрепим свои рассуждения примерами.
Деление двух равных натуральных чисел
Чтобы понять, как разделить одно натуральное число на другое, равное ему, нужно вернуться к пониманию смысла самого процесса деления. От того, какой смысл мы придаем делителю, зависит конечный результат. Разберем два возможных варианта.
Итак, мы имеем a предметов (a – произвольно взятое натуральное число). Распределим предметы по группам поровну, при этом число групп должно быть равно a. Очевидно, что в каждой группе при этом будет всего один предмет.
Переформулируем немного иначе: как распределить a предметов в группы по a предметов в каждой? Сколько групп получится в итоге? Конечно, всего одна.
Подведем итоги и выведем первое свойство деления натуральных чисел одинаковой величины:
Определение 1
Деление натурального числа на равное ему дает в итоге единицу. Иначе говоря, a: a=1 (a – любое натуральное число).
Разберем для наглядности два примера:
Пример 1
Если 450 разделить на 450, будет 1. Если 67 разделить на 67, получится 1.
Как видно, от конкретных цифр тут ничего не зависит, результат будет один и тот же при условии равенства делимого и делителя.
Деление натурального числа на единицу
Как и в предыдущем пункте, начнем с задач. Допустим, что у нас имеются любые предметы в количестве, равном a. Необходимо разделить их на некоторое количество частей по одному предмету в каждой. Понятно, что у нас выйдет a частей.
А если мы спросим: сколько предметов будет в группе, если в нее поместить a предметов? Ответ очевиден – a.
Таким образом, мы подходим к формулированию свойства деления натуральных чисел на 1:
Определение 2
При делении любого натурального числа на единицу получится то же самое число, то есть a:1=a.
Разберем 2 примера:
Пример 2
Если разделить 25 на 1, получится 25.
Пример 3
Если разделить 11 345 на 1, результатом будет 11 345.
Отсутствие переместительного свойства для деления натуральных чисел
В случае с умножением мы свободно можем поменять множители местами и получить тот же результат, однако на деление это правило не распространяется. Менять местами делимое и делитель можно только в случае, если они являются равными натуральными числами (это свойство мы уже рассматривали в первом пункте). То есть можно сказать, что переместительное свойство распространяется только на случай, если в делении участвуют равные натуральные числа.
В остальных случаях менять местами делимое с делителем нельзя, поскольку это приведет к искажению результата. Объясним подробнее, почему.
Разделять любые натуральные числа на другие, также произвольно взятые, мы можем не всегда. Например, если делимое меньше делителя, то такой пример решить мы не можем (как делить натуральные числа с остатком, мы разберем в отдельном материале). Иными словами, если некоторое натуральное число, равное a, мы можем разделить на b? И их значения при этом не равны, то a будет больше b, а запись b:a смысла иметь не будет. Выведем правило:
Определение 3
В общем случае переместительное свойство на деление натуральных чисел не распространяется, т.е. a: b ≠ b: a (a и b здесь – произвольно взятые натуральные числа, не равные друг другу).
Деление суммы 2-х натуральных чисел на другое натуральное число
Чтобы лучше объяснить это правило, возьмем наглядные примеры.
У нас есть группа детей, между которыми надо поровну разделить мандарины. Фрукты сложены в два пакета. Возьмем условие, что количество мандаринов таково, что можно поделить их на всех детей без остатка. Можно пересыпать мандарины в один общий пакет, а потом поделить и раздать. А можно поделить сначала фрукты из одного пакета, а потом из другого. Очевидно, что и в том, и в другом случае никто не будет в обиде и все будет разделено поровну. Следовательно, мы можем сказать:
Определение 4
Результат деления суммы 2-х натуральных чисел на другое натуральное число равен результату сложения частных от деления каждого слагаемого на то же натуральное число, т.е. (a + b): c = a: c + b: c. При этом значения всех переменных – это натуральные числа, значение a можно разделить на c, и b также можно разделить на c без остатка.
У нас получилось равенство, в правой части которого первым выполняется деление, а вторым – сложение (вспомним, как правильно выполнять арифметические действия по порядку).
Докажем справедливость получившегося равенства на примере.
Пример 4
Возьмем для него подходящие натуральные числа: (18+36):6=18:6+36:6.
Теперь вычислим и узнаем, верное ли оно. Подсчитаем значение левой части: 18+36=54, и (18+36):6=54:6.
Результат мы помним из таблицы умножения (если забыли, найдите в ней нужное значение): 54:6=9.
Далее считаем правую часть: 18:6+36:6.
Вспоминаем, сколько будет 18:6=3 и 36:6=6. Значит, 18:6+36:6=3+6=9.
Получается верное равенство: (18+36):6=18:6+36:6.
Сумма натуральных чисел, которая стоит в примере в качестве делимого, может быть не только 2, но и 3 и больше. Это свойство в комбинации с сочетательным свойством сложения натуральных чисел дает нам возможность выполнять и такие подсчеты.
Пример 5
Так, (14+8+4+2):2 будет равно 14:2+8:2+4:2+2:2.
Деление разности 2-х натуральных чисел на другое натуральное число
Подобным образом можно вывести правило для разности натуральных чисел, которую мы будем делить на другое натуральное число:
Определение 5
Результат деления разности двух натуральных чисел на третье равен тому, что мы получим, отняв от частного уменьшаемого и третьего числа частное вычитаемого и третьего числа.
Т.е. (a-b): c=a: c – b: c. Значения переменных – натуральные числа, при этом a больше b или равно ему, a и b можно разделить на c.
Докажем справедливость этого правила на примере.
Пример 6
Подставим подходящие значения в равенство и вычислим: (45-25):5=45:5-25:5. 45-25=20 (о том, как находить разность натуральных чисел, мы уже писали ранее). (45-25):5=20:5.
По таблице умножения вспоминаем, что результат будет равен 4.
Считаем правую часть: 45:5-25:5. 45:5=9, а 25:5=5, в итоге 45:5-25:5=9-5=4. 4=4, выходит, что (45-25):5=45:5-25:5 – верное равенство.
Деление произведения двух натуральных чисел на другое натуральное число
Вспомним о том, какая связь существует между делением и умножением, тогда свойство деления произведения на натуральное число, равное одному из множителей, будет нам очевидно. Выведем правило:
Определение 6
Если разделить произведение двух натуральных чисел на третье, равное одному из множителей, в итоге мы получим число, равное другому множителю.
В буквенном виде это можно записать как (a·b): a=b или (a·b):b=a (значения a и b представляют собой натуральные числа).
Пример 7
Так, результат деления произведения 2 и 8 на 2 будет равен 8, а (3·7):7=3.
А как быть в случае, если делитель не равен ни одному из множителей, которые образуют делимое? Тогда здесь действует другое правило:
Определение 7
Результат деления произведения двух натуральных чисел на третье натуральное число равен тому, что получится, если разделить на это число один из множителей и результат умножить на другой множитель.
Мы получили весьма неочевидное на первый взгляд утверждение. Однако если учесть, что умножение натуральных чисел, по сути, сводится к сложению равных по значению слагаемых (см. материал об умножении натуральных чисел), то можно вывести этой свойство из другого, о котором мы говорили чуть выше.
Запишем это правило в буквенном виде (значения всех переменных – натуральные числа).
Если a мы можем разделить на c, то будет верно (a·b):c=(a:c) ·b.
Если b делится на c, то верно (a·b):c=a·(b:c).
Если и a, и b делятся на c, то можем приравнять одно равенство к другому: (a·b):c=(a:c) ·b=a·(b:c).
С учетом рассмотренного выше свойства деления произведения на другое натуральное число будут верны равенства (8·6):2= (8:2) ·6 и (8·6):2=8· (6:2).
Мы можем записать их в виде двойного равенства: (8·6):2= (8:2) ·6=8· (6:2).
Деление натурального числа на произведение 2-х других натуральных чисел
И вновь мы начнем с примера. У нас есть некоторое количество призов, обозначим его a. Их надо поровну распределить между участниками команд. Обозначим число участников буквой c, а команд – буквой b. При этом возьмём такие значения переменных, при которых запись деления будет иметь смысл. Задачу можно решить двумя разными способами. Рассмотрим оба.
1. Можно вычислить общее количество участников, умножив b на c, после чего разделить все призы на полученное число. В буквенном виде это решение можно записать как a:(b·c).
2. Можно поделить сначала призы на количество команд, а потом распределить их внутри каждой команды. Запишем это как (a:b):c.
Очевидно, что оба способа дадут нам идентичные ответы. Поэтому оба равенства мы можем приравнять друг к другу: a:(b·c)=(a:b):c. Это и будет буквенная запись свойства деления, которое мы рассматриваем в этом пункте. Сформулируем правило:
Определение 8
Результат деления натурального числа на произведение равен числу, которое мы получим, разделив это число на один из множителей и получившееся частное разделить на другой множитель.
Пример 8
Приведем пример задачи. Докажем, что справедливо равенство 18:(2·3) = (18:2):3.
Подсчитаем левую часть: 2·3=6, а 18:(2·3) – это 18:6=3.
Считаем правую часть: (18:2):3. 18:2=9, а 9:3=3, тогда (18:2):3=3.
У нас получилось, что 18:(2·3)=(18:2):3. Это равенство иллюстрирует нам свойство деления, которое мы привели в данном пункте.
Деление нуля на натуральное число
Что такое нуль? Ранее мы условились, что он означает отсутствие чего-либо. Нуль мы не относим к натуральным числам. Получается, что, если мы разделим нуль на натуральное число, это будет равнозначно попытке разделить пустоту на части. Понятно, что в итоге мы все равно получим «ничто», на сколько бы частей мы его не делили. Выводим отсюда правило:
Определение 9
При делении нуля на любое натуральное число мы получим нуль. В буквенном виде это записывается как 0: a=0, при этом значение переменной может быть любое.
Пример 9
Так, например, 0:19=0, и 0:46869 тоже будет равно нулю.
Деление натурального числа на нуль
Это действие выполнить нельзя. Давайте выясним, почему именно.
Возьмем произвольное число a и предположим, что его можно разделить на 0 и получить в итоге некое число b. Запишем это как a:0=b. Теперь вспомним, как связано между собой умножение и деление, и выведем равенство b·0=a, которое также должно быть справедливым.
Но ранее мы уже поясняли свойство умножения натуральных чисел на ноль. Согласно ему b·0=0. Если сопоставить полученные равенства, у нас получится, что a=0, а это противоречит исходному условию (ведь нуль не является натуральным числом). Выходит, что у нас получилось противоречие, которое доказывает невозможность такого действия.
Определение 10
Делить натуральное число на нуль нельзя.
- Деление произведения на число
- Деление числа на произведение
- Деление суммы на число
- Деление разности на число
- Общие формулы свойств деления
Деление произведения на число
Произведение можно разделить на число двумя способами:
1) Чтобы разделить произведение на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение произведения (выполнить умножение) и полученный результат разделить.
Например, чтобы найти значение выражения:
(12 · 5) : 3,
можно сначала умножить 12 на 5:
12 · 5 = 60
и полученное произведение разделить на 3:
60 : 3 = 20,
значит (12 · 5) : 3 = 60 : 3 = 20.
Если один из сомножителей делится на число, на которое надо разделить произведение, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления произведения на число.
2) Чтобы разделить произведение на какое-нибудь число, можно разделить на это число один любой сомножитель, оставив другие без изменений.
Например, чтобы найти значение выражения:
(8 · 20) : 4,
можно сначала разделить любой из сомножителей (8 или 20) на 4:
8 : 4 = 2
и полученное частное умножить на другой сомножитель:
2 · 20 = 40,
значит (8 · 20) : 4 = (8 : 4) · 20 = 2 · 20 = 40.
Данное выражение можно решить ещё так:
(8 · 20) : 4 = 8 · (20 : 4) = 8 · 5 = 40.
Деление числа на произведение
Число можно разделить на произведение двумя способами:
1) Чтобы разделить какое-нибудь число на произведение, можно сначала вычислить значение произведения (выполнить умножение), а затем разделить число на полученный результат.
Например, чтобы найти значение выражения:
60 : (3 · 2),
можно сначала умножить 3 на 2:
3 · 2 = 6
и разделить 60 на полученный результат:
60 : 6 = 10,
значит 60 : (3 · 2) = 60 : 6 = 10.
Если число, которое нужно разделить на произведение, делится на каждый сомножитель, из которого состоит данное произведение, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления числа на произведение.
2) Чтобы разделить какое-нибудь число на произведение, можно разделить это число на первый сомножитель, полученное частное разделить на второй сомножитель, это частное на третий и т. д.
Например, чтобы найти значение выражения:
120 : (5 · 3),
можно сначала разделить 120 на 5:
120 : 5 = 24,
а теперь, полученное частное 24 разделить на 3:
24 : 3 = 8,
значит 120 : (5 · 3) = (120 : 5) : 3 = 24 : 3 = 8.
Так как от перестановки множителей произведение не изменится, то множители можно поменять местами:
120 : (3 · 5)
и разделить 120 сначала на 3, а затем полученный результат разделить на 5:
120 : (3 · 5) = (120 : 3) : 5 = 40 : 5 = 8.
Получается, что не важно на какой множитель сначала делить число, результат будет одинаковым:
120 : (5 · 3) = (120 : 5) : 3 = 24 : 3 = 8
тоже самое, что и
120 : (5 · 3) = (120 : 3) : 5 = 40 : 5 = 8.
Из данного примера можно сделать вывод, что значение частного не изменится от порядка выполнения действий.
Деление суммы на число
Сумму можно разделить на число двумя способами:
1) Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение суммы (выполнить сложение) и полученный результат разделить.
Например, чтобы найти значение выражения:
(15 + 12) : 3,
можно сначала сложить числа 15 и 12:
15 + 12 = 27
и полученную сумму разделить на 3:
27 : 3 = 9,
значит (15 + 12) : 3 = 27 : 3 = 9.
Если все слагаемые в записи суммы делятся на число, на которое надо разделить сумму, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления суммы на число.
2) Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные частные сложить.
Например, чтобы найти значение выражения:
(42 + 28 + 70) : 7,
можно каждое слагаемое разделить на число 7:
42 : 7 = 6, 28 : 7 = 4 и 70 : 7 = 10;
и полученные частные (6, 4 и 10) сложить:
6 + 4 + 10 = 20,
значит (42 + 28 + 70) : 7 = 42 : 7 + 28 : 7 + 70 : 7 = 6 + 4 + 10 = 20.
Деление разности на число
Разность можно разделить на число двумя способами:
1) Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение разности (выполнить вычитание) и полученный результат разделить.
Например, чтобы найти значение выражения:
(24 — 8) : 2,
можно сначала вычесть из 24 число 8:
24 — 8 = 16,
и полученную разность разделить на 2:
16 : 2 = 8,
значит (24 — 8) : 2 = 16 : 2 = 8.
Если и уменьшаемое и вычитаемое в записи разности делятся на число, на которое надо разделить разность, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления разности на число.
2) Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого частного вычесть второе.
Например, чтобы найти значение выражения:
(42 — 28) : 7,
можно отдельно уменьшаемое и вычитаемое разделить на число 7:
42 : 7 = 6, 28 : 7 = 4
и найти разность полученных частных:
6 — 4 = 2,
значит (42 — 28) : 7 = 42 : 7 — 28 : 7 = 6 — 4 = 2.
Общие формулы свойств деления
Все свойства деления можно представить в виде формул:
| Распределительные свойства | |
|---|---|
| (a + b) : c = a : c + b : c | |
| (a — b) : c = a : c — b : c | |
| (a · b) : c = (a : c) · b = (b : c) · a | |
| a : (b · c) = (a : b) : c = (a : c) : b | |
| Действия с единицей и нулём | |
| a : 1 = a | |
| a : a = 1 | |
| 0 : a = 0 (a ≠ 0) | |
| На нуль делить нельзя | |
Деление натуральных чисел.
Рассмотрим понятие деление на задаче:
В корзине лежало 12 яблок. Шестеро детей разобрали яблоки. У каждого ребенка получилось одинаковое количество яблок. Сколько яблок у каждого ребенка?
Решение:
Нам нужно 12 яблок поделить на шестерых детей. Запишем математически задачу 12:6.
Или по-другому можно сказать. На какое число нужно умножить число 6, чтобы получилось число 12? Запишем в виде уравнения задачу. Количество яблок нам неизвестно, поэтому обозначим их за переменную x.
x⋅6=12
Чтобы найти неизвестное x нам нужно 12:6=2
Ответ: по 2 яблока у каждого ребенка.
Рассмотрим подробно пример 12:6=2:
Число 12 называется делимым. Это число, которое делят.
Число 6 называется делителем. Это число, на которое делят.
И результат деления число 2 называют частным. Частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.
В буквенном виде деление выглядит так:
a:b=c
a – делимое,
b – делитель,
c – частное.
Так что же такое деление?
Деление – это действие, обратное умножению. По произведению одного множителя мы можем найти другой множитель.
Деление проверяется умножением, то есть:
a:b=c, проверка с⋅b=a
18:9=2, проверка 2⋅9=18
Неизвестный множитель.
Рассмотрим задачу:
В каждой упаковке по 3 штуки елочных шаров. Чтобы нарядить елку нам нужно 30 шаров. Сколько нам нужно взять упаковок с елочными шарами?
Решение:
x – неизвестное количество упаковок шаров.
3 – штуки в одной упаковки шаров.
30 – всего шаров.
x⋅3=30 нам нужно столько раз взять по 3, чтобы получилось в итоге 30. x – это неизвестный множитель. То есть, чтобы найти неизвестный множитель нужно, произведение поделить на известный множитель.
х=30:3
х=10.
Ответ: 10 упаковок шаров.
Неизвестное делимое.
Рассмотрим задачу:
В каждой упаковке по 6 цветных карандашей. Всего упаковок 3 штуки. Сколько всего карандашей было, до того пока их не разложили по упаковкам?
Решение:
x – всего карандашей,
6 – карандашей в каждой упаковке,
3 – упаковки карандашей.
Запишем уравнение задачи в виде деления.
x:6=3
x – это неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое надо, частное умножить на делитель.
х=3⋅6
х=18
Ответ: 18 карандашей.
Неизвестный делитель.
Разберём задачу:
Было 15 шаров в магазине. За день в магазин пришло 5 покупателей. Покупатели купили равное количество шаров. Сколько шаров купил каждый покупатель?
Решение:
х – количество шаров, которое купил один покупатель,
5 – количество покупателей,
15 – количество шаров.
Запишем уравнение задачи в виде деления:
15:х=5
х – в данном уравнении является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, мы делимое делим на частное.
х=15:5
х=3
Ответ: по 3 шара у каждого покупателя.
Свойства деления натурального числа на единицу.
Правило деления:
Любое число, деленное на 1 результатом будет тоже самое число.
7:1=7
a:1=a
Свойства деления натурального числа на нуль.
Рассмотрим пример: 6:2=3, проверить правильно ли мы поделили можно умножением 2⋅3=6.
Если мы 3:0, то сделать проверку мы не сможем, потому что любое число умноженное на нуль будет нуль. Поэтому запись 3:0 не имеет смысла.
Правило деления:
Делить на нуль нельзя.
Свойства деления нуля на натуральное число.
0:3=0 эта запись имеет смысл. Если мы ничего поделим на три части то получим ничего.
0:a=0
Правило деления:
При делении 0 на любое натуральное число не равное нулю, результат всегда будет равен 0.
Свойство деления одинаковых чисел.
3:3=1
a:a=1
Правило деления:
При делении любого числа на себя, не равное нулю, результат будет равен 1.
Вопросы по теме “Деление”:
В записи a:b=c назовите, что здесь является частным?
Ответ: a:b и c.
Что такое частное?
Ответ: частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.
При каком значении m запись 0⋅m=5?
Ответ: при умножении на нуль в ответе всегда будет 0. Запись не имеет смысла.
Существует ли такое n, что 0⋅n=0?
Ответ: да, запись имеет смысл. При умножении любого числа на 0 будет 0, поэтому n – любое число.
Пример №1:
Найдите значение выражение: а) 0:41 б) 41:41 в) 41:1
Ответ: а) 0:41=0 б) 41:41=1 в) 41:1=41
Пример №2:
При каких значениях переменных верно равенство: а) х:6=8 б) 54:х=9
а) х – в данном примере является делимым. Чтобы найти делимое нужно частное умножить на делитель.
х – неизвестное делимое,
6 – делитель,
8 – частное.
х=8⋅6
х=48
б) 54 – делимое,
х – делитель,
9 – частное.
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое поделить на частное.
х=54:9
х=6
Задача №1:
У Саши 15 марок, а Миши 45 марок. Во сколько раз у Миши марок больше чем у Саши?
Решение:
Можно задачу решить двумя способами. Первый способ:
15+15+15=45
Нужно 3 числа 15, чтобы получить 45, следовательно, в 3 раза у Миши марок больше, чем у Саши.
Второй способ:
45:15=3
Ответ: в 3 раза у Миши марок больше, чем у Саши.