Какие свойства действий позволяют утверждать что тождественно равны

Учебник для 7 класса

Алгебра

Найдём значения выражений 3(х + у) и Зх + Зу при х = 5, у = 4:

3(х + y) = 3(5 + 4) = 3 • 9 = 27,

3x + Зу = 3 • 5 + 3 • 4 = 15 + 12 = 27.

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х + у) и 3x + 3у равны.

Рассмотрим теперь выражения 2х + у и 2ху. При х = 1, у = 2 они принимают равные значения:

2х + у = 2 • 1 + 2 = 4,

2ху = 2 • 1 • 2 = 4.

Однако можно указать такие значения х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, если х = 3, у = 4, то

2х + у = 2 • 3 + 4 = 10,

2ху = 2 • 3 • 4 = 24.

Выражения 3(х + у) и Зх + Зу являются тождественно равными, а выражения 2х + у и 2ху не являются тождественно равными.

Равенство

3(x + у) = Зх + Зу

верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами.

Тождествами считают и верные числовые равенства.

С примерами тождеств вы уже встречались. Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами:

а + b = b + а,     (а + b) + с = а + (b + с),

ab = ba,     (аb)с = а(bс),

а(b + с) = аЬ + ас.

Можно привести и другие примеры тождеств:

а + 0 = а,     а + (-а) = 0,     а — b = а + (-b),

а • 1 = а,     а • (-b) = -ab,     (-а)(-b) = аЬ.

Чтобы найти значение выражения ху — хz при заданных значениях х, у и z, надо выполнить три действия. Например, при х = 2,3, у = 0,8, z = 0,2 получаем

ху — хz = 2,3 • 0,8 — 2,3 • 0,2 = 1,84 — 0,46 = 1,38.

Этот результат можно получить, выполнив лишь два действия, если воспользоваться выражением х(у — z), тождественно равным выражению ху — хz:

х(у — z) = 2,3 (0,8 — 0,2) = 2,3 • 0,6 = 1,38.

Мы упростили вычисления, заменив выражение ху — хz тождественно равным выражением х(у — z).

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач.

Некоторые тождественные преобразования вам уже приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:

Пример 1. Приведём подобные слагаемые в сумме

5х + 2х — Зх.

Решение: Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых:

5х + 2х — Зх = (5 + 2 — 3)х = 4х.

Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.

Пример 2. Раскроем скобки в выражении

2а + (b — 3с).

Решение: Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс»:

2а + (b — Зс) = 2а + b — Зс.

Проведённое преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.

Пример 3. Раскроем скобки в выражении а — (4b — с).

Решение: Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус»:

а — (4b — с) = а — 4b + с.

Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения. Покажем это. Представим в данном выражении второе слагаемое -(4b — с) в виде произведения (-1)(4b — с):

а — (4Ь — с) = а + (-1)(4b — с).

Применив указанные свойства действий, получим

а — (4b — с) = а + (-1)(4b — с) = а + (-4b + с) = а — 4b + с.

Упражнения

85. Какие свойства действий позволяют утверждать, что тождественно равны выражения:

    

86. Являются ли тождественно равными выражения:

    

87. Являются ли тождественно равными выражения:

    

88. Какие свойства действий позволяют утверждать, что данное равенство является тождеством:

    

89. Какое из данных равенств не является тождеством?

    

90. Упростите выражение, используя переместительное и сочетательное свойства умножения:

    

91. Упростите выражение:

    

92. Преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:

    

93. Замените выражение тождественно равным, используя распределительное свойство умножения:

    

94. Среди выражений 2(b — а), -2 (а — b), -2а — 2b, -2а + 2b найдите те, которые тождественно равны выражению 2b — 2а.
95. Приведите подобные слагаемые:

    

96. Приведите подобные слагаемые:

    

97. Приведите подобные слагаемые:

    

98. Раскройте скобки:

    

99. Запишите без скобок выражение:

    

100. Упростите выражение:

     

101. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:

     

102. Упростите выражение и найдите его значение:

     

103. Упростите выражение:

     

104. Докажите, что при любом а значение выражения 3(а + 2) — 3a равно 6.
105. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:

     

106. Упростите выражение и найдите его значение:

     

107. Составьте выражение но условию задачи и упростите его:

     а) У Игоря 3 альбома с марками. В первом альбоме а марок, во втором — на 15 марок больше, чем в нервом, а в третьем — втрое больше, чем во втором. Сколько марок в трёх альбомах?

     б) Пётр приобрёл 8 билетов лотереи «Надежда» и 6 билетов лотереи «Удача». Билет лотереи «Удача» стоил а р., а лотереи «Надежда» был на 10% дороже. Найдите стоимость покупки.

108. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

     

     Ответ запишите в виде неравенства.

109. Техническое перевооружение цеха позволило выпускать в сутки 180 станков вместо 160. На сколько процентов повысился выпуск станков в сутки?
110. Отметьте на координатной прямой точки, соответствующие числам:

     

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения.
2. Какие выражения называются тождественно равными? Приведите пример тождественно равных выражений.
3. Какое равенство называется тождеством? Приведите пример тождества.

*В дальнейшем понятия «тождественно равные выражения» и «тождество» будут уточнены.