Какие прямые называются перпендикулярными свойство перпендикулярных прямых

Основные свойства

При рассмотрении того, какие прямые называют перпендикулярными, нужно уделить внимание свойствам. Они выглядят следующим образом:

1. Через одну точку А можно провести только одну перпендикулярную линию основному отрезку, остальные линии будут наклонными и могут скрещиваться.
2. Несколько перпендикуляров никогда не будут между собой пересекаться.

Для обозначения перпендикуляра применяется знак «⊥». В подобном случае угол составляет 90°. На чертеже пересечение обозначается своеобразным квадратом, которые рисуется от двух пересекающихся линий.

Доказательство взаимного расположения

Рассматриваемый термин получил широкое распространение, он фигурирует практически в каждой геометрической задаче. В некоторых случаях о взаимном расположении известно, в других это нужно доказать. Задача доказательства заключается в определении прямого угла между двумя прямыми или плоскостями. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности заключается в теореме:

1. Прямые взаимно перпендикулярны в случае, если направляющие векторы прямых перпендикулярны.
2. Доказательство связано с определением направления векторов, любой должен быть перпендикулярен.

Для определения расположения плоскостей или отрезков относительно друг друга следует провести геометрическое построение. Проходить отрезки должны в одной точке.

Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Рассматривая определение перпендикулярных прямых следует учитывать, что подобное свойство применимо к плоскости. Основной признак заключается в перпендикулярности отрезка к любому другому, который находится в плоскости. Перпендикулярность прямых в пространстве указывается определенным знаком.

Доказать перпендикулярность можно проведя геометрические построения. Признаки расположения плоскости и прямой под углом 90° заключаются в следующем:

1. Если прямая перпендикулярна плоскости, то в ней можно отложить другую прямую, лежащую под углом 90°.
2. В одной точке под прямым углом может пересекаться только две линии, значит, будет лежать только одна плоскость.

Отрезки могут быть также параллельными. В этом случае нет точки, в которой будут они пересекаться.

Построение перпендикуляра

Выдержать угловой коэффициент можно различным образом. В большинстве случаев для этого нужно иметь при себе циркуль. Построить перпендикуляр можно следующим образом:

1. С помощью циркуля проводится построение полуокружности с центром в точке Х. На основном отрезке в результате этого получается две точки А и В. Для отображения полуокружности применяется другой цвет, полученная линия вспомогательная, поэтому не выделяется жирным.
2. С точки А и В проводится откладывание двух полуокружностей, пересекающихся в двух местах по касательной. Данные точки (P и Q) используются для откладывания линии, которая может пересечь их и основной отрезок с ранее отложенными точками А и В.

Существенно упростить задачу можно путем применения специального чертежного инструмента, к примеру, любого прямоугольного треугольника. Он может называться угольником, основной его признак заключается в наличии двух перпендикулярных плоскостей. Построение проводится следующим образом:

1. Одна из сторон, смежная с прямым углом, прикладывается к проведенному отрезку. На этом этапе главное — правильно совместить поверхность инструмента с ранее отложенной линией. Незначительное отклонение может привести к изменению угла.
2. Проводится откладывание вертикального отрезка.

В геометрии чаще всего применяется именно второй способ. Однако первый урок позволяет начертить два взаимно перпендикулярных отрезка с высокой точностью. Недостаток применения циркуля заключается в наличии вспомогательных линий, которые стереть сложно. Написать о взаимном расположении линий можно в описательной записке.

Трехмерное пространство

В начертательной геометрии линии всегда находятся в двухмерном пространстве. В специальных программах можно начертить отрезки в трехмерном пространстве. Подобное взаимное расположение может выглядеть следующим образом:

1. Два отрезка перпендикулярны относительно друг друга в случае, если они параллельны другим взаимно перпендикулярным линиям, лежащим в одной плоскости.
2. Показать правильное взаимное расположение можно путем обозначения угла. Для этого применяются различные способы.
3. Если две линии лежат в одной плоскости, то они взаимно перпендикулярны при образовании четырех прямых углов.

В жизни подобное расположение прямых встречается крайне часто. Проверить угол можно при применении специальных инструментов.

Четырехмерная система координат и лемма

Некоторые программы работают с четырехмерным пространством. Взаимное расположение плоскостей под прямым углом в этом случае имеет два смысла: они могут быть перпендикулярны в трехмерном смысле при образовании двугранного угла 90°.

Рассматриваться взаимное расположение плоскостей может и в 4-мерном смысле. Условия выглядят следующим образом:

1. Они должны пересекаться в точке.
2. Любые две линии, проведенные в плоскостях через точку пересечения также могут быть перпендикулярными.

Условия четырехмерного пространства определяют то, что через одну точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей. Определять их взаимное расположение можно несколькими различными способами.

Лемма, касающаяся перпендикулярности, связана с определением параллельности. Если одна из параллельных линий расположена под прямым углом относительно плоскости или отрезка, то вторая также перпендикулярна. Ответ на многие задачи связан с доказательством леммы:

1. Даны два параллельных отрезка а и b, а также с. Задача заключается в доказательстве b ⊥ c при условии, что a ⊥ c.
2. Через произвольную точку М проводится третий и четвертый отрезок, которые параллельны прямой а и с. Образующийся угол АМС равен 90°.
3. Параллельны b и a при условии, что третий дополнительный отрезок параллелен отрезку а. В этом случае он будет параллелен и b.

При соблюдении условий полученный угол будет являться прямым. С учетом проведенных построений можно сформулировать определение перпендикулярности параллельных отрезков.

Применение термина

Как ранее было отмечено, встречается большое количество примеров применения рассматриваемого термина. На основе теоремы и доказательства были созданы различные формулы, позволяющие определить протяженность одного из сторон геометрической фигуры.

В средних и старших классах встречается большое количество задач, связанных с определением угла и протяженности сторон построенной фигуры. В некоторых случаях проводится построение диагонали, которая делит 90° на две равные части.

В жизни взаимное перпендикулярное расположение плоскостей встречается крайне часто. Примером служат несущие элементы различных сооружений. Подобное расположение позволяет правильно распределить оказываемую нагрузку. Править наклон можно путем применения специальных измерительных инструментов.

Многие геометрические фигуры построены на основе перпендикулярного расположения отрезков. Наиболее распространен параллелограмм или квадрат, треугольник. За счет выдерживания правильного угла обеспечивается также взаимное параллельное расположение сторон.

Приведенная выше информация указывает на то, что определение угла, под которым расположены плоскости, проводится в самых различных сферах. Инженеры и строители должны с высокой точностью контролировать этот показатель.

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Урок: Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Тема урока

На этом уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости и параллельные прямые, которые перпендикулярны к плоскости.

Определения перпендикулярности прямых в пространстве

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Обозначение. .

Рис. 1.

Рассмотрим прямые а и b. Прямые могут пересекаться, скрещиваться, быть параллельными. Для того, чтобы построить угол между ними нужно выбрать точку и через нее провести прямую , параллельную прямой а, и прямую , параллельную прямойb. Прямые и  пересекаются. Угол между ними и есть угол между прямыми а и b. Если угол равен 90°, то прямые а и b перпендикулярны.

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Доказательство:

Пусть даны две параллельные прямые а и b, и прямая с,причем . Нужно доказать, что .

Возьмем произвольную точку М. Через точку М проведем прямую , параллельную прямой а и прямую , параллельную прямой c (рис. 2). Тогда угол АМС равен 90°.

Рис. 2.

Прямая b параллельна прямой а по условию, прямая  параллельна прямой а по построению. Значит, прямые  и b параллельны.

Имеем, прямые  и b параллельны, прямые с и  параллельны по построению. Значит, угол между прямыми b и с – это угол между прямыми  и, то есть угол АМС, равный 90°. Значит, прямые b и с перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Обозначение. .

Рис. 3. 

Свойство

Если , то . (пересечение а и )

Доказательство:

Напоминание. Прямая и плоскость или пересекаются в одной точке, или параллельны, или прямая лежит в плоскости.

Если прямая а параллельна плоскости (рис. 4), то в плоскости  можно провести прямую , параллельную прямой а. Получаем противоречие с определением перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая а лежит в плоскости (рис. 5), то в плоскости  можно провести прямую , параллельную прямой а. Опять получаем противоречие с определением перпендикулярности прямой и плоскости.

Значит, если прямая а перпендикулярна плоскости , то она пересекается с ней.

Рис. 4

Рис. 5

Теорема

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перепедикуляная к этой плоскости.

Доказательство.

Пусть прямая а параллельна прямой а1. Прямая а перепендикулярна плоскости. Докажем, что и прямая а1 перпендикулярна плоскости.

Прямая а перпендикулярна плоскости . Значит, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая х лежит в плоскости , значит,  (см. рис. 6).

Рис 6.

Прямая а перпендикулярна прямой х, а прямая а1 параллельна прямой а. Значит, прямая а1 перпендикулярна прямой х по лемме. Прямую х мы выбирали произвольно. Значит, прямая а1 перпендикулярна любой прямой в плоскости , то есть прямая х перпендикулярна плоскости , что и требовалось доказать.

Обратная теорема

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Доказательство.

Пусть прямая а перепендикулярна плоскости и прямая b перепендикулярна плоскости. Докажем, что прямая а параллельна прямой b.

Рисунок 7.

Предположим, что прямая b не параллельна прямой а. Через точку М прямой b проведем прямую , параллельно прямой а (рис. 8).

Прямые  и а параллельны, прямая а перпендикулярна плоскости . По теореме, прямая  также перпендикулярна плоскости .

Прямые b и  пересекаются, а значит через них проходит некоторая плоскость. Пусть эта плоскость пересекает плоскость  по прямой с. Тогда прямая  перпендикулярна прямой с, так как прямая с лежит в плоскости , а прямая  ей перпендикулярна.

Но тогда в плоскости, определенной пересекающимися прямыми b и  через точку М проходят два перпендикуляра b и   к прямой с. Получаем противоречие. Значит, прямая b параллельна прямой а, что и требовалось доказать.

Рис. 8.

Задача 1

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис. 9). Докажите, что  и , если .

Рис. 9.

Доказательство.

ABCD – прямоугольник, так как в параллелограмме ABCD угол .

Прямая В1С1 параллельна прямой ВС, а прямая ВС перпендикулярна прямой DС. Значит, по лемме, прямая DС перпендикулярна В1С1.

Прямая АВ перпендикулярна прямой ВС, а ВС параллельна прямой A1D1. Значит, по лемме, прямая АВ перпендикулярна A1D1. Задача доказана.

Рассмотрим другое доказательство факта, что .

Угол DCB равен углу между прямыми DC и В1С1. Угол DCB – прямой. Значит, прямые DС и В1С1 перпендикулярны.

Задача 2

В тетраэдре ABCD — . Докажите, что , где М и N середины ребер АВ и АС.

Рис. 10.

Доказательство.

MN – средняя линия треугольника АВС. По свойству средней линии, ВС параллельна MN.

Прямые ВС и MN параллельны, а прямые ВС и AD перпендикулярны. Значит, по лемме, прямые AD и MN перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Итоги урока

Итак, мы рассмотрели перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикулярность к плоскости параллельных прямых. На следующем уроке мы рассмотрим признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Fizma.net (Источник)

2. Хvatit.com (Источник)

3. Якласс (Источник)

4. 900igr.net Источник

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 5, 6, 7 стр. 54

2. Дайте определение перпендикулярности прямых в пространстве.

3. Равные стороны АВ и CD четырехугольника ABCD перпендикулярны некоторой плоскости. Определите вид четырехугольника.

4. Сторона треугольника перпендикулярна некоторой прямой а. Докажите, что одна из средних линий треугольника перпендикулярна прямой а.