Какие прямые называются перпендикулярными каким свойством обладают

Перпендикуля́рность — бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.).

Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ:
, предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.
Например, перпендикулярность прямых и записывают как .

На плоскости[править | править код]

Перпендикулярные прямые на плоскости[править | править код]

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

Про прямую перпендикулярную к прямой проведённую через точку вне прямой , говорят, что есть перпендикуляр опущенный из на .
Если же точка лежит на прямой , то говорят, что есть перпендикуляр к восстановленный из к (устаревший термин восставленный[1]).

В координатах[править | править код]

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями

будут перпендикулярны, если выполнено следующее условие на их угловые коэффициенты

Построение перпендикуляра[править | править код]

Построение перпендикуляра

Шаг 1: С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А и В.

Шаг 2: Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A и В соответственно, проходящими через точку P. Кроме точки P есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: Соединяем точки P и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой AB.

Координаты точки основания перпендикуляра к прямой[править | править код]

Пусть прямая задаётся точками и . На прямую опускается перпендикуляр из точки .
Тогда основание перпендикуляра можно найти следующим образом.

Если (вертикаль), то и .
Если (горизонталь), то и .

Во всех остальных случаях:

В трёхмерном пространстве[править | править код]

Перпендикулярные прямые[править | править код]

Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости. Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Перпендикулярность прямой к плоскости[править | править код]

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Признак: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Перпендикулярные плоскости[править | править код]

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
Плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна их линии пересечения[2].

В многомерных пространствах[править | править код]

Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве[править | править код]

Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.

Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.

В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).

Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно : xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).

Перпендикулярность прямой и гиперплоскости[править | править код]

Пусть задано n-мерное евклидово пространство (n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство , а прямая l с направляющим векторным пространством и гиперплоскость с направляющим векторным пространством (где , ) принадлежат пространству .

Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости , если подпространство ортогонально подпространству , то есть

Вариации и обобщения[править | править код]

См. также[править | править код]

Нормаль
Параллельность
Ортогональность
Высота
Теорема о трёх перпендикулярах

Примечания[править | править код]

Источник

Острый
угол это угол градусная мера которого
до 90 градусов.

Прямой
угол это угол градусная мера которого
90 градусов

Тупой
угол это угол градусная мера которого
больше 90 градусов.
Острый
угол — это угол меньше 90°. Тупой угол —
это угол больше 90°, но меньше 180°. Прямой
угол — это угол = 90°.

20. Какие углы называются смежными? Чему равна их сумма?

Смежные
углы
— два угла с общей вершиной, одна из
сторон которых — общая, а оставшиеся
стороны лежат на одной прямой (не
совпадая) . Сумма смежных углов равна
180°. Или

Два
угла называются смежными,
если у них одна сторона общая, а другие
стороны являются дополнительными
лучами. сумма смежных углов равна 180°.
Каждый из этих углов дополняет другой
до развернутого угла.

21. Какие углы называются вертикальными? Каким свойством они обладают?

Вертикальные
углы —
два угла, у которых стороны одного
являются продолжениями сторон другого.
Вертикальные углы равны. (Вертикальными
называются углы,
образованные пересекающимися прямыми
и не являющиеся прилегающими друг к
другу, то есть общей стороны у них нет,
но вертикальные углы имеют вершину в
одной точке. Вертикальные углы равны
между собой).

22.
Какие прямые называются перпендикулярными?

Две
пересекающиеся прямые называются
перпендикулярными
(или взаимно перпендикулярными), если
они образуют четыре прямых угла. Или
Перпендикулярные
прямые это
прямые пересекающиеся под углом 90
градусов. Или Две прямые, образующие
при пересечении прямые углы, называют
перпендикулярными.

23.
Объясните,
какой отрезок называется перпендикуляром,
проведенным из данной точки к данной
прямой. Что такое основание перпендикуляра?

Перпендикуляром
к данной прямой
называется отрезок прямой, перпендикулярной
к данной, который имеет одним из своих
концов их точку пересечения. Этот конец
отрезка называется основанием
перпендикуляра.Перпендикуляром
к данной прямой
называется отрезок прямой, перпендикулярной
к данной, который имеет одним из своих
концов их точку пересечения. Конец
отрезка, лежащий на данной прямой,
называется основанием перпендикуляра.

24.
Что такое теорема и доказательство
теоремы?

В
математике утверждение, справедливость
которого устанавливается путем
рассуждений, называется теоремой,
а само рассуждение – доказательством
теоремы.

Теорема
— такая
гипотеза, которую требуется доказать;Гипотеза
всегда требует доказательства.
Доказательство
— доводы,
подтверждающие действенность, правильность
теоремы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Вертикальные углы — два угла, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны. (Вертикальными называются углы, образованные пересекающимися прямыми и не являющиеся прилегающими друг к другу, то есть общей стороны у них нет, но вертикальные углы имеют вершину в одной точке. Вертикальные углы равны между собой).

22. Какие прямые называются перпендикулярными?Две пересекающиеся прямые называютсяперпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла. Или Перпендикулярные прямыеэто прямые пересекающиеся под углом 90 градусов. Или Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.

23. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой. Что такое основание перпендикуляра? Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Конец отрезка, лежащий на данной прямой, называется основанием перпендикуляра.

24. Что такое теорема и доказательство теоремы? В математике утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой, а само рассуждение – доказательством теоремы.

Теоре́ма — утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство (иначе говоря, вывод) . В отличие от теорем, аксиомаминазываются утверждения, которые, в рамках конкретной теории, принимаются истинными без всяких доказательств или обоснований. Доказательство— это утверждение, объясняющее теорему. Теорема —такая гипотеза, которую требуется доказать;Гипотеза всегда требует доказательства. Доказательство —доводы, подтверждающие действенность, правильность теоремы.

Докажите теорему о существовании перпендикуляра к прямой. (Рис.56 в учебнике)

Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой.

Доказательство.Пусть A – точка, не лежащая на данной прямой a (рис. 56, а). Докажем, что из точки A можно провести перпендикуляр к прямой a. Мысленно перегнем плоскость по прямой a (рис. 56, б) так, чтобы полуплоскость с границей a, содержащая точку A, наложилась на другую полуплоскость. При этом точка Aналожится на некоторую точку. Обозначим ее буквой B. Разогнем плоскость и проведем через точки A и Bпрямую.

Пусть H – точка пересечения прямых AB и a (рис. 56, в). При повторном перегибании плоскости по прямой aточка H останется на месте. Поэтому луч HA наложится на луч HB, и, следовательно, угол 1 совместится с углом 2. Таким образом, ∠1 = ∠2. Так как углы 1 и 2 – смежные, то их сумма равна 180°, поэтому каждый из них – прямой. Следовательно, отрезок AH – перпендикуляр к прямой a. Теорема доказана.

Докажите теорему о единственности перпендикуляра к прямой. (Рис.57 в учебнике)

Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, нельзя провести два перпендикуляра к этой прямой.

Доказательство.Пусть A – точка, не лежащая на данной прямой a (см. рис. 56, а). Докажем, что из точки Aнельзя провести два перпендикуляра к прямой a. Предположим, что из точки A можно провести два перпендикуляра AH и AK к прямой a (рис. 57). Мысленно перегнем плоскость по прямой a так, чтобы полуплоскость с границей a, содержащая точку A, наложилась на другую полуплоскость. При перегибании точки H и K остаются на месте, точка A накладывается на некоторую точку. Обозначим ее буквой B. При этом отрезки AH и AK накладываются на отрезки BH и BK.

Углы AHB и AKB – развернутые, так как каждый из них равен сумме двух прямых углов. Поэтому точки A, Hи B лежат на одной прямой и также точки A, K и B лежат на одной прямой.

Таким образом, мы получили, что через точки A и B проходят две прямые AH и AK. Но этого не может быть. Следовательно, наше предположение неверно, а значит, из точки A нельзя провести два перпендикуляра к прямой a. Теорема доказана.

https://mthm.ru/geometry7/perpendicular

Источник