Какие из перечисленных свойств площадей являются основными

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Геометрия
5. Единицы измерения площадей. Свойства площадей

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Отрезок

Ломаная

Четырехугольники

Прямоугольник, его периметр и площадь. Ось симметрии фигуры

Квадрат. Периметр и площадь квадрата.

Многоугольники. Правильные многоугольники. Равенство фигур.

Плоскость

Прямая

Луч

Шкалы и координаты

Прямоугольный параллелепипед. Пирамида.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Куб. Площадь поверхности куба

Куб. Объем куба

Угол. Обозначение углов

Прямой и развернутый угол

Чертежный треугольник

Измерение углов. Транспортир. Виды углов

Треугольник и его виды

Окружность и круг

Отрезок-xx

Геометрия

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 756,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 770,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 820,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 825,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1184,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1185,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Упражнение 568,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 628,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Упражнение 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Задание 138,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Статья рассказывает о понятии площадей и их свойств.  Заключительная часть статьи включит себя математическое описание квадрируемых фигур с приведением примеров решения.

Понятие площади, свойства площади

Для вычисления площади основываются на свойствах площадей:

Определение 1

Единица измерения площади – это элементарный квадрат, имеющий сторону r.

Если рассмотреть фигуру G с ограничениями и за обозначение площади принять S(G), то при построении прямых, изобразить параллельными осям Ох и Оу, причем на расстоянии, равном rобозначению r. Заданные прямые преобразуют сетку, которая разбивает хОу на квадраты.  Буквой М обозначается фигура, которая состоящая из элементарных квадратов, которые располагаются  внутри G, причем не касаются границ, а М’– фигуру, которая состоит из квадратов и имеющая с границей G хотя бы одну общую точку, а ММ’фигуру, которая объединяет М и М’ (на рисунке изображается синей и красной областями).

Площади фигур возьмем за обозначение М и ММ’, значит S(M) и S(MM’) будут равны, исходя из количества составляющих квадратов. Рассмотрим рисунок, изображенный ниже.

Если постоянно уменьшать одну из сторон квадрата, то можно получить сетку с множеством значений площадей S(M) и S(MM)’. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Множество SM имеет ограничения, значит, имеет тонкую грань в виде a=supSM, тогда внутреннюю площадь обозначим как G. Множество SMM’ имеет ограничения снизу, значит, нижняя грань обозначается как A=infSMM’, внешнюю площадь обозначим как  G.

Фигура Gс внешней площадью равной внутренней называют квадрируемой, а число  S(G)=a=A является площадью этой фигуры. S(G)=a=A значит, что площадь квадрируемой функции является числом единственным и обладает этим свойством.

Определение 2

Площадь фигуры G называется предел последовательности значений SM’, когда r→0. Квадрируемая фигура G имеет площадь равную 0.

Квадрируемость можно ввести иным образом, то есть рассмотреть вписанные и описанные окружности, через которые произвести вычисления.

Определение 3

Фигура G считается квадрируемой, когда для любого положительного числа SM’ имеется входящая и включающая многоугольные фигуры P и Q, отсюда следует, что P⊂G⊂Q и S(Q)-S(P)<ε.

Для примера подходит круг с вписанным и описанным 2n+1 треугольниками, где nn является натуральным числом.

Квадрируемые фигуры

Рассмотрим, как необходимо изображать и задавать квадрируемые фигуры. Все встречающиеся фигуры в разделах геометрии называют квадрируемыми. Любая такая фигура имеет ограничения, то есть будем находить площади ограниченных фигур. Объединение и пересечение или разность также является квадрируемой фигурой.

Самыми распространенными видами для вычисления площадей считаются:

• Если фигура квадрируема, тогда она имеет ограничения линиями графиков y = f(x) и x = g(y). Первый рисунок, приведенный ниже,  ограничивается сверху параболой y=-18(x-4)2+9,  а снизу кривой вида y=13x·sin x+2, справа и слева прямыми, имеющими значения х=1, х=9. Второй рисунок имеет границы  в виде линий y=13(x-6)2+1, y=ln(x-1)+7, y=-ex-8+8, y=-13x+5. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

• Фигура считается квадрируемой, если имеется возможность ограничения гладкими кривыми, то есть границы задаются при помощи параметрического уравнения вида x=ϕ(t)y=ψ(t), где функции ϕ(t) и ψ(t) являются непрерывными на интервале t1; t2, не имеют пересечений и соответствуют условию ϕ'(t0)≠0ψ'(t0)≠0 при любом значении t0∈t1; t2. Для примера рассмотрим фигуру, которая ограничивается осями координат и частью астроиды вида x=3cos3ty=3sin3t , где t∈0; π2.

• Фигура считается квадрируемой, когда она ограничена замкнутыми кривыми, где начала и конец совпадают. Явным примером такой функции является лепесток фигуры, имеющий уравнение r=5cos5φ. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Итоги

Площадь – это такая функция, благодаря которой она определена как класс квадрируемых фигур со свойствами аддитивности, инвариантности и нормированности.

Обычно говорят, что площадь  фигуры  есть число, показывающее, из скольких единиц площади составляется фигура. Однако это не определение, а только описание того, что такое площадь. Легко понять, что прямоугольник со сторонами 3 и 5 см «составляется» из 15 квадратных сантиметров ( его легко разрезать на 15 квадратов со стороной 1 см; рис. 1.3,а)

Но сколько подобных квадратов нужно, чтобы «составить» круг радиуса 2 см (рис. 1.3, б), совершенно неясно.

Строгое математическое определение площади можно получить с помощью палетки – прозрачной пластинки с нанесенной на нее сеткой из равных квадратов. Представим, что такая палетка лежит на плоскости. Иначе говоря, плоскость разбита на квадраты со стороной, равной 1. Если фигура  полностью помещается в фигуре, составленной, например, из81 квадрата палетки, и содержит фигуру из 43 квадратов (рис. 1.4), то .

Рис. 1.4

Для большей точности измерения можно каждый квадрат палетки разбить на сто квадратов (стороны которых в 10 раз меньше, чем у квадратов первой палетки, а площадь равна 1/100). Новая, более мелкая палетка даст и более тесные границы, в которых заключена площадь фигуры , скажем, . Если каждый квадрат второй палетки снова разбить на 100 квадратов, точность измерения ещё увеличится – например, получатся границы . Так, используя набор палеток со всё более мелкой сеткой, мы будем приближаться к пределу – площади  фигуры .

Но здесь есть одна тонкость. Вначале мы получили отрезок , где , , в котором содержится искомое число . Затем этот отрезок уменьшили до , где , . Потом уменьшили ещё – до , где , , и т. д. Но пересечение системы вложенных отрезков

числовой прямой есть либо одна точка (в том случае, когда имеется только одно число , принадлежащее все рассматриваемым отрезкам (рис. 1.5), фигуру  называют квадрируемой (по Жордану), а число  — площадью фигуры .

Рис. 1.5

Второй случай, когда пересечение всех отрезков представляет собой отрезок, а не одну точку, на первый взгляд кажется просто невозможным. Ведь всякая фигура имеет какую-нибудь площадь S(F). Число S(F) и должно быть единственной общей точкой рассматриваемых отрезков. Но на самом деле это не так. Следующий пример подтверждает это.

Возьмём квадрат Q1 со стороной 1. Выбросим из него крестообразную фигуру площадью , как показано на рис. 1.6.

рис. 1.6

Остаётся фигура Q2 из четырёх равных квадратов, примыкающих к вершинам Q1. (Сторона каждого из них составляет ). Теперь в каждом из квадратов фигуры Q2 вновь построим, а затем удалим крестообразную фигуру. Её размер определим из условия , что сумма площадей четырёх таких фигур была равна  .  Получим фигуру Q3 из 16 квадратов. Из каждого из них опять выбросим крестообразную фигуру так, чтобы сумма площадей всех 16 таких «крестов» была равна . Получим фигуру Q4 из 64 квадратов и т. д.

Обозначим через F пересечение всех фигур Q1, Q2, Q3, Q4, … Другими словами, F получается, если из квадрата Q1 выбросить по очереди все «кресты». Общая площадь фигур, выбрасываемых из Q1, равна . Значит, на долю множества F остаётся площадь . Это кажется невероятным: ясно, что в фигуре F нет ни одного, пусть самого маленького, целого квадратика, и тем не менее она имеет площадь, равную .

Попробуем теперь измерить площадь фигуры F по Жордану (т. е. с помощью палеток). Какую бы мелкую палетку мы не взяли, площадь фигуры, составленной из квадратов палетки и включающей в себя F, равна нулю (поскольку в F нет ни одного целого квадрата. Таким образом, каждый из получающихся отрезков

(а потому и пересечение всех этих отрезков) содержит отрезок , т. е. их пересечение не состоит из одной точки. Значит, фигура F неквадрируема.

Способ измерения площадей с помощью палеток был предложен в XIX веке французским математиком Камилем Жорданом. Другой французский математик – Анри Лебег предложил более общее определение площади. Построенная выше фигура F неквадрируема по Жордану, но имеет площадь (равную ), по определению Лебега, или, как говорят, измерима по Лебегу. Если же фигура квадрируема по Жордану, то она обязательно измерима и по Лебегу (и имеет ту же площадь).

А какие плоские фигуры квадрируемы? Прежде всего многоугольники. Для других фигур применяют следующую теорему:

Плоская фигура F (рис. 1.7) в том и только в том случае квадрируема, если для любого положительного числа  найдутся два таких многоугольника M и N, что М содержится в F , а N содержит F, и при этом

.

Рис 1.7

Другими словами, квадрируемы фигуры, которые можно сколь угодно точно приблизить многоугольниками. Например, площадь круга находят как предел площади вписанного в него или описанного около него правильного n-угольника при .

Поскольку обе площади имеют общий предел, их разность стремится к нулю, значит, круг – квадрируемая фигура. Вообще, любая плоская выпуклая фигура квадрируема. Квадрируема и криволинейная трапеция под графиком непрерывной функции , заданной на отрезке .

Кроме приведённого выше определения площади с помощью палеток имеется ещё одно, аксиоматическое определение. Прежде чем его сформулировать рассмотрим некоторые свойства площади (будем иметь в виду только площадь по Жордану).

Обозначим через Q множество всех квадрируемых плоских фигур, тогда площадь S(F) есть числовая функция, определённая на данном множестве. Перечислим свойства, которыми она обладает.

А. Неотрицательность. Площадь любой квадрируемой фигуры F неотрицательна: . Не исключается нулевое значение площади, поскольку, например, любой отрезок представляет собой квадрируемую фигуру нулевой площади.

В. Аддитивность. Пусть F1 и F2 – две квадрируемые фигуры, у которых нет общих внутренних точек. Обозначим через F объединение этих фигур. Тогда фигура F  квадрируема и справедливо равенство . То же имеет место при объединении не двух, а большего числа фигур, попарно не имеющих общих внутренних точек.

С. Инвариантность. Если две квадрируемые фигуры F1 и F2 равны, т. е. одна получается из другой с помощью движения, то площади таких фигур равны: . Иначе говоря, площадь не изменяется при движениях.

D. Нормируемость. При определении площади фигуры задаётся некоторая единица площади – квадрат К, сторона которого равна динице длины: .

Очевидно, что площадь , определяемая с помощью палеток, действительно удовлетворяет свойствам А и D. Проверить два других свойства сложнее. Например, если фигура F1 переходит в F2 при повороте, то эти две фигуры будут по-разному расположены относительно палеток и доказательство равенства их площадей (свойство С) требует некоторых усилий. Тем не менее можно утверждать:

На множестве Q всех квадрируемых фигур существует одна и только одна функция, которая обладает свойствами A, B, C, D.

То есть всякая функция на множестве Q, удовлетворяющая всем четырём свойствам, совпадает с .

Стало быть, свойства A, B, C, D можно принять за аксиомы площади, т. е. определить площадь как функцию на множестве квадрируемых фигур Q, удовлетворяющую данным аксиомам. Это и есть аксиоматическое определение площади. Все остальные её свойства можно вывести из перечисленных аксиом. Например, формулы для вычисления площадей многоугольников вытекают именно из аксиом A, B, C, D точно так же, как формулы площади круга, эллипса и других фигур.

Заметим, что и в геометрии Лобачевского, и в сферической геометрии площадь определяется теми же аксиомами. Однако палетками пользоваться уже не приходится; за эталон площади принимают не квадрат, а иную фигуру – квадратов на плоскости Лобачевского и сфере просто нет. Интересно, что в обеих геометриях площадь многоугольника пропорциональна разности между суммой его углов и суммой углов плоского многоугольника с тем же числом сторон.