Какие из перечисленных свойств площадей является основными

Статья рассказывает о понятии площадей и их свойств.  Заключительная часть статьи включит себя математическое описание квадрируемых фигур с приведением примеров решения.

Понятие площади, свойства площади

Для вычисления площади основываются на свойствах площадей:

Определение 1

Единица измерения площади – это элементарный квадрат, имеющий сторону r.

Если рассмотреть фигуру G с ограничениями и за обозначение площади принять S(G), то при построении прямых, изобразить параллельными осям Ох и Оу, причем на расстоянии, равном rобозначению r. Заданные прямые преобразуют сетку, которая разбивает хОу на квадраты.  Буквой М обозначается фигура, которая состоящая из элементарных квадратов, которые располагаются  внутри G, причем не касаются границ, а М’– фигуру, которая состоит из квадратов и имеющая с границей G хотя бы одну общую точку, а ММ’фигуру, которая объединяет М и М’ (на рисунке изображается синей и красной областями).

Площади фигур возьмем за обозначение М и ММ’, значит S(M) и S(MM’) будут равны, исходя из количества составляющих квадратов. Рассмотрим рисунок, изображенный ниже.

Если постоянно уменьшать одну из сторон квадрата, то можно получить сетку с множеством значений площадей S(M) и S(MM)’. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Множество SM имеет ограничения, значит, имеет тонкую грань в виде a=supSM, тогда внутреннюю площадь обозначим как G. Множество SMM’ имеет ограничения снизу, значит, нижняя грань обозначается как A=infSMM’, внешнюю площадь обозначим как  G.

Фигура Gс внешней площадью равной внутренней называют квадрируемой, а число  S(G)=a=A является площадью этой фигуры. S(G)=a=A значит, что площадь квадрируемой функции является числом единственным и обладает этим свойством.

Определение 2

Площадь фигуры G называется предел последовательности значений SM’, когда r→0. Квадрируемая фигура G имеет площадь равную 0.

Квадрируемость можно ввести иным образом, то есть рассмотреть вписанные и описанные окружности, через которые произвести вычисления.

Определение 3

Фигура G считается квадрируемой, когда для любого положительного числа SM’ имеется входящая и включающая многоугольные фигуры P и Q, отсюда следует, что P⊂G⊂Q и S(Q)-S(P)<ε.

Для примера подходит круг с вписанным и описанным 2n+1 треугольниками, где nn является натуральным числом.

Квадрируемые фигуры

Рассмотрим, как необходимо изображать и задавать квадрируемые фигуры. Все встречающиеся фигуры в разделах геометрии называют квадрируемыми. Любая такая фигура имеет ограничения, то есть будем находить площади ограниченных фигур. Объединение и пересечение или разность также является квадрируемой фигурой.

Самыми распространенными видами для вычисления площадей считаются:

• Если фигура квадрируема, тогда она имеет ограничения линиями графиков y = f(x) и x = g(y). Первый рисунок, приведенный ниже,  ограничивается сверху параболой y=-18(x-4)2+9,  а снизу кривой вида y=13x·sin x+2, справа и слева прямыми, имеющими значения х=1, х=9. Второй рисунок имеет границы  в виде линий y=13(x-6)2+1, y=ln(x-1)+7, y=-ex-8+8, y=-13x+5. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

• Фигура считается квадрируемой, если имеется возможность ограничения гладкими кривыми, то есть границы задаются при помощи параметрического уравнения вида x=ϕ(t)y=ψ(t), где функции ϕ(t) и ψ(t) являются непрерывными на интервале t1; t2, не имеют пересечений и соответствуют условию ϕ'(t0)≠0ψ'(t0)≠0 при любом значении t0∈t1; t2. Для примера рассмотрим фигуру, которая ограничивается осями координат и частью астроиды вида x=3cos3ty=3sin3t , где t∈0; π2.

• Фигура считается квадрируемой, когда она ограничена замкнутыми кривыми, где начала и конец совпадают. Явным примером такой функции является лепесток фигуры, имеющий уравнение r=5cos5φ. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Итоги

Площадь – это такая функция, благодаря которой она определена как класс квадрируемых фигур со свойствами аддитивности, инвариантности и нормированности.

Обычно говорят, что площадь  фигуры  есть число, показывающее, из скольких единиц площади составляется фигура. Однако это не определение, а только описание того, что такое площадь. Легко понять, что прямоугольник со сторонами 3 и 5 см «составляется» из 15 квадратных сантиметров ( его легко разрезать на 15 квадратов со стороной 1 см; рис. 1.3,а)

Но сколько подобных квадратов нужно, чтобы «составить» круг радиуса 2 см (рис. 1.3, б), совершенно неясно.

Строгое математическое определение площади можно получить с помощью палетки – прозрачной пластинки с нанесенной на нее сеткой из равных квадратов. Представим, что такая палетка лежит на плоскости. Иначе говоря, плоскость разбита на квадраты со стороной, равной 1. Если фигура  полностью помещается в фигуре, составленной, например, из81 квадрата палетки, и содержит фигуру из 43 квадратов (рис. 1.4), то .

Рис. 1.4

Для большей точности измерения можно каждый квадрат палетки разбить на сто квадратов (стороны которых в 10 раз меньше, чем у квадратов первой палетки, а площадь равна 1/100). Новая, более мелкая палетка даст и более тесные границы, в которых заключена площадь фигуры , скажем, . Если каждый квадрат второй палетки снова разбить на 100 квадратов, точность измерения ещё увеличится – например, получатся границы . Так, используя набор палеток со всё более мелкой сеткой, мы будем приближаться к пределу – площади  фигуры .

Но здесь есть одна тонкость. Вначале мы получили отрезок , где , , в котором содержится искомое число . Затем этот отрезок уменьшили до , где , . Потом уменьшили ещё – до , где , , и т. д. Но пересечение системы вложенных отрезков

числовой прямой есть либо одна точка (в том случае, когда имеется только одно число , принадлежащее все рассматриваемым отрезкам (рис. 1.5), фигуру  называют квадрируемой (по Жордану), а число  — площадью фигуры .

Рис. 1.5

Второй случай, когда пересечение всех отрезков представляет собой отрезок, а не одну точку, на первый взгляд кажется просто невозможным. Ведь всякая фигура имеет какую-нибудь площадь S(F). Число S(F) и должно быть единственной общей точкой рассматриваемых отрезков. Но на самом деле это не так. Следующий пример подтверждает это.

Возьмём квадрат Q1 со стороной 1. Выбросим из него крестообразную фигуру площадью , как показано на рис. 1.6.

рис. 1.6

Остаётся фигура Q2 из четырёх равных квадратов, примыкающих к вершинам Q1. (Сторона каждого из них составляет ). Теперь в каждом из квадратов фигуры Q2 вновь построим, а затем удалим крестообразную фигуру. Её размер определим из условия , что сумма площадей четырёх таких фигур была равна  .  Получим фигуру Q3 из 16 квадратов. Из каждого из них опять выбросим крестообразную фигуру так, чтобы сумма площадей всех 16 таких «крестов» была равна . Получим фигуру Q4 из 64 квадратов и т. д.

Обозначим через F пересечение всех фигур Q1, Q2, Q3, Q4, … Другими словами, F получается, если из квадрата Q1 выбросить по очереди все «кресты». Общая площадь фигур, выбрасываемых из Q1, равна . Значит, на долю множества F остаётся площадь . Это кажется невероятным: ясно, что в фигуре F нет ни одного, пусть самого маленького, целого квадратика, и тем не менее она имеет площадь, равную .

Попробуем теперь измерить площадь фигуры F по Жордану (т. е. с помощью палеток). Какую бы мелкую палетку мы не взяли, площадь фигуры, составленной из квадратов палетки и включающей в себя F, равна нулю (поскольку в F нет ни одного целого квадрата. Таким образом, каждый из получающихся отрезков

(а потому и пересечение всех этих отрезков) содержит отрезок , т. е. их пересечение не состоит из одной точки. Значит, фигура F неквадрируема.

Способ измерения площадей с помощью палеток был предложен в XIX веке французским математиком Камилем Жорданом. Другой французский математик – Анри Лебег предложил более общее определение площади. Построенная выше фигура F неквадрируема по Жордану, но имеет площадь (равную ), по определению Лебега, или, как говорят, измерима по Лебегу. Если же фигура квадрируема по Жордану, то она обязательно измерима и по Лебегу (и имеет ту же площадь).

А какие плоские фигуры квадрируемы? Прежде всего многоугольники. Для других фигур применяют следующую теорему:

Плоская фигура F (рис. 1.7) в том и только в том случае квадрируема, если для любого положительного числа  найдутся два таких многоугольника M и N, что М содержится в F , а N содержит F, и при этом

.

Рис 1.7

Другими словами, квадрируемы фигуры, которые можно сколь угодно точно приблизить многоугольниками. Например, площадь круга находят как предел площади вписанного в него или описанного около него правильного n-угольника при .

Поскольку обе площади имеют общий предел, их разность стремится к нулю, значит, круг – квадрируемая фигура. Вообще, любая плоская выпуклая фигура квадрируема. Квадрируема и криволинейная трапеция под графиком непрерывной функции , заданной на отрезке .

Кроме приведённого выше определения площади с помощью палеток имеется ещё одно, аксиоматическое определение. Прежде чем его сформулировать рассмотрим некоторые свойства площади (будем иметь в виду только площадь по Жордану).

Обозначим через Q множество всех квадрируемых плоских фигур, тогда площадь S(F) есть числовая функция, определённая на данном множестве. Перечислим свойства, которыми она обладает.

А. Неотрицательность. Площадь любой квадрируемой фигуры F неотрицательна: . Не исключается нулевое значение площади, поскольку, например, любой отрезок представляет собой квадрируемую фигуру нулевой площади.

В. Аддитивность. Пусть F1 и F2 – две квадрируемые фигуры, у которых нет общих внутренних точек. Обозначим через F объединение этих фигур. Тогда фигура F  квадрируема и справедливо равенство . То же имеет место при объединении не двух, а большего числа фигур, попарно не имеющих общих внутренних точек.

С. Инвариантность. Если две квадрируемые фигуры F1 и F2 равны, т. е. одна получается из другой с помощью движения, то площади таких фигур равны: . Иначе говоря, площадь не изменяется при движениях.

D. Нормируемость. При определении площади фигуры задаётся некоторая единица площади – квадрат К, сторона которого равна динице длины: .

Очевидно, что площадь , определяемая с помощью палеток, действительно удовлетворяет свойствам А и D. Проверить два других свойства сложнее. Например, если фигура F1 переходит в F2 при повороте, то эти две фигуры будут по-разному расположены относительно палеток и доказательство равенства их площадей (свойство С) требует некоторых усилий. Тем не менее можно утверждать:

На множестве Q всех квадрируемых фигур существует одна и только одна функция, которая обладает свойствами A, B, C, D.

То есть всякая функция на множестве Q, удовлетворяющая всем четырём свойствам, совпадает с .

Стало быть, свойства A, B, C, D можно принять за аксиомы площади, т. е. определить площадь как функцию на множестве квадрируемых фигур Q, удовлетворяющую данным аксиомам. Это и есть аксиоматическое определение площади. Все остальные её свойства можно вывести из перечисленных аксиом. Например, формулы для вычисления площадей многоугольников вытекают именно из аксиом A, B, C, D точно так же, как формулы площади круга, эллипса и других фигур.

Заметим, что и в геометрии Лобачевского, и в сферической геометрии площадь определяется теми же аксиомами. Однако палетками пользоваться уже не приходится; за эталон площади принимают не квадрат, а иную фигуру – квадратов на плоскости Лобачевского и сфере просто нет. Интересно, что в обеих геометриях площадь многоугольника пропорциональна разности между суммой его углов и суммой углов плоского многоугольника с тем же числом сторон.