Какие есть свойства преобразования подобия вы знаете

       Главная > Учебные материалы > Математика:  Планиметрия. Страница 9       

1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.

5.Подобие прямоугольных треугольников.

6.Примеры.

  1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 

1.Преобразование подобия и его свойства

  

   Преобразованием подобия называется преобразование фигуры G в фигуру G’, у которой расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. Т.е. ОA’ = k OA. Это означает, что для любых двух точек геометрической фигуры выполняется равенство A’B’ = k AB. (Рис.1) Число k называется коэффициентом подобия.

   Если взять произвольную точку, например точку О. И отложить отрезок OB’ = k OB, то такое преобразование фигуры G в фигуру G’ называется гомотетией. А число k называется коэффициентом гомотетии. Таким образом, гомотетия есть преобразование подобия.

Свойства преобразования подобия

   Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки и при этом углы между прямыми сохраняются.

 

Рис.1 Преобразование подобия и его свойства.

           

2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам

       

   Две фигуры называются подобными, если преобразованием подобия они переходят друг в друга. (Рис.2)

   Если две фигуры подобны третьей, то они подобны друг другу.

   Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур, соответсвующие стороны пропорциональны и соответствующие углы равны.

 

Рис.2 Подобие фигур.

  

Подобие треугольников по двум углам

   Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (Рис.3)

   Докажем это утверждение. Пусть даны два треугольника ABC и A’B’C’.

   Преобразованием подобия преобразуем треугольник A’B’C’ в треугольник A»B»C» с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. Полученный треугольник A»B»C» равен треугольнику ABC по стороне и прилегающим к ней углам. Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A’B’C’ и A»B»C» подобны. А т.к. треугольники ABC и A»B»C» равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’.

 

Рис.3 Подобие треугольников по двум углам.

         

3.Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними

       

   Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

   Докажем это утверждение. (Доказательство аналогично доказательству подобия по двум углам) Пусть даны два треугольника ABC и A’B’C’.

   Преобразованием подобия преобразуем треугольник A’B’C’ в треугольник A»B»C» с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. Полученный треугольник A»B»C» равен треугольнику ABC по двум сторонам и углу между ними со сторонами kA’B’=A»B» и kA’C’=A»C». Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A’B’C’ и A»B»C» подобны. А т.к. треугольники ABC и A»B»C» равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’, т.е. kA’B’=AB, kB’C’=BC и kA’C’=AC.

 

Рис.3 Подобие треугольников.

      

4.Подобие треугольников по трем сторонам

       

   Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

   Доказательство. (Доказательство аналогично доказательству подобия по двум углам) Пусть даны два треугольника ABC и A’B’C’.

   Преобразованием подобия преобразуем треугольник A’B’C’ в треугольник A»B»C» с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. В результате получим треугольник A»B»C», который равен треугольнику ABC по трем сторонам kA’B’=A»B», kВ’C’=В»C» и kA’C’=A»C». Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A’B’C’ и A»B»C» подобны. И т.к. треугольники ABC и A»B»C» равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’.

 

Рис.4 Подобие треугольников по трем сторонам.

             

5.Подобие прямоугольных треугольников

 

    Если два прямоугольных треугольника имеют по одному равному острому углу, то такие треугольники подобны.

    Пусть дан прямоугольный треугольник ABC. Проведем высоту CD. Треугольники ABC и ADC подобны, т.к. угол А у них общий. Так же как и треугольники ADC и BDC. Следовательно:

   Т.е. катет прямоугольного треугольника равен средней геометрической гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. А высота в прямоугольном треугольнике равна средней геометрической между проекциями катетов на гипотенузу.

   Отсюда можно сделать вывод, что в любом треугольнике биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. (Свойство биссектрисы треугольника).

 

Рис.5 Подобие прямоугольных треугольников.

  

   Докажем это утверждение. Пусть дан треугольник ABC. (Рис.6) BE — биссектриса. Треугольники ABE и BCD подобны. Углы В у них равны. Треугольники ADE и DCF также подобны. Углы D у них равны, как вертикальные. Отсюда можно записать следующие соотношения для двух пар треугольников.

   Т.е. отрезки AD и DC пропорциональны сторонам AB и BC.

 

Рис.6 Подобие прямоугольных треугольников.

                

6.Пример 1

 

   Докажите, что фигура подобная окружности, есть окружность.

        

Рис.7 Задача. Докажите, что фигура подобная окружности, есть окружность.

       

   Таким образом, мы пришли к выводу, что A’B’ = k AB. А это означает, что расстояние между любыми двумя точками окружности F’ в k раз больше, чем расстояние между подобными точками в окружности F, т.е фигуру F’ можно получить преобразованием подобия или гомотетией относительно точки О. А это значит, что окружности F и F’ подобны.

            

Пример 2

  

   У треугольников АВС и А1В1С1 ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1. AB = 6, AC = 9, A1B1 = 10, B1C1 = 10. Найдите остальные стороны треугольников.

        

Рис.8 Задача. У треугольников АВС и А1В1С1…

            

Пример 3

  

   В трапеции ABCD основание АD = 32 см, а основание ВС = 8 см. Угол между диагональю АС и стороной СD равен углу ∠АВС, т.е. ∠АВС = ∠АСD. Найдите диагональ АС.

        

Рис.9 Задача. В трапеции ABCD основание АD = 32 см…

            

Пример 4

  

   В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD, BE, CF. Найдите углы треугольника DEF, если в треугольнике АВС ∠А = α, ∠В = β, ∠С = γ.

               

Рис.10 Задача. В остроугольном треугольнике АВС…

              

Пример 5

  

   В треугольник ABC вписан ромб ADEF, таким образом, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС. АВ = 12 см, АС = 4 см. Найдите сторону ромба.

        

Рис.11 Задача. В треугольник ABC вписан ромб ADEF…

                      1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12      

Содержание

         Страница 1 Страница 7   1.Основные фигуры планиметрии.

2.Аксиомы планиметрии.

3.Смежные углы.

4.Вертикальные углы.

5.Перпендикулярные прямые.

6.Признаки равенства треугольников.

  1.Движение и его свойства.

2.Симметрия относительно точки.

3.Симметрия относительно прямой.

4.Параллельный перенос и его свойства.

       Страница 2 Страница 8   1.Параллельность прямых.

2.Признаки параллельности прямых.

3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых.

4.Сумма углов треугольника.

5.Единственность перпендикуляра к прямой.

6.Высота, биссектриса и медиана треугольника.

7.Свойство медианы равнобедренного треугольника.

  1.Вектор и его абсолютная величина.

2.Сложение векторов.

3.Умножение вектора на число.

4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

5.Скалярное произведение векторов.       Страница 3 Страница 9   1.Окружность.

2.Окружность описанная около треугольника.

3.Окружность вписанная в треугольник.

4.Геометрическое место точек.

  1.Преобразование подобия и его свойства.

2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.

3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.

5.Подобие прямоугольных треугольников.       Страница 4 Страница 10   1.Параллелограмм.

2.Свойства диагоналей параллелограмма.

3.Ромб.

4.Теорема Фалеса.

5.Средняя линия треугольника.

6.Трапеция.

7.Теорема о пропорциональных отрезках.

  1.Углы, вписанные в окружность.

2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.

3.Теорема косинусов.

4.Теорема синусов.

5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.       Страница 5 Страница 11   1.Теорема Пифагора.

2.Египетский треугольник.

3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.

4.Основные тригонометрические тождества.

  1.Многоугольники. Правильные многоугольники.

2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.

3.Подобие многоугольников.

4.Длина окружности.

       Страница 6 Страница 12   1.Декартова система координат.

2.Расстояние между точками.

3.Уравнение окружности.

4.Уравнение прямой.

5.Координаты точки пересечения.

  1.Площадь прямоугольника.

2.Площадь параллелограмма.

3.Площадь треугольника.

4.Площадь круга.

5.Площадь подобных фигур.

6.Площадь трапеции.