Какие есть свойства неопределенного интеграла
Ранее нами была рассмотрена задача о нахождении мгновенной скорости материальной точки по заданному закону ее движения. Если (s=s(t)) — путь, пройденный точкой за время (t) от начала движения, то мгновенная скорость (v) в момент (t) равна производной функции (s(t)), то есть
$$
v=s'(t).nonumber
$$
В физике встречается обратная задача: по заданной скорости (v=v(t)) найти закон движения, то есть найти такую функцию (s(t)) производная которой равна (v(t)).
Первообразная.
Пусть функции (f(x)) и (F(x)) определены на интервале ((a,b)). Если функция (F(x)) имеет производную на интервале ((a,b)) и если для всех (xin (a,b)) выполняется равенство
$$
F'(x)=f(x),label{ref1}
$$
то функция (F(x)) называется первообразной для функции (f(x)) на интервале ((a,b)).
Замечание 1.
Понятие первообразной можно ввести и для других промежутков (полуинтервала — конечного или бесконечного, отрезка).
Дадим определение первообразной на отрезке. Если функции (f(x)) и (F(x)) определены на отрезке ([a,b]), причем функция (F) дифференцируема на интервале ((a,b)), непрерывна на отрезке ([a,b]) и для всех (xin (a,b)) выполняется равенство eqref{ref1}, то функцию (F(x)) назовем первообразной для функции (f(x)) на отрезке ([a,b]).
Замечание 2.
Если (F(x)) — первообразная для функции (f(x)) на интервале ((a,b)), то функция (F(x)+C) при любом значении (C=operatorname{const}) также является первообразной для (f(x)).
Справедливо и обратное утверждение.
Теорема.
Если (F_1(x)) и (F_2(x)) — две первообразные для функции (f(x)) на интервале ((a,b)), то для всех (xin (a,b)) выполняется равенство
$$
F_2(x)=F_1(x)+C,label{ref2}
$$
где (C) — постоянная.
Доказательство.
(circ) Обозначим (Phi(x)=F_2(x)-F_1(x)). По определению первообразной в силу условий теоремы для всех (xin (a,b)) выполняются равенства
$$
F_1′(x)=f(x),quad F_2′(x)=f(x),nonumber
$$
откуда следует, что функция (Phi(x)) дифференцируема на интервале ((a,b)) и для всех (xin(a,b)) имеет место равенство
$$
Phi'(x)=0.nonumber
$$
Согласно первому следствию из теоремы Лагранжа (Phi(x)=C=operatorname{const}) для всех (xin (a,b)) или (F_2(x)-F_1(x)=C), то есть справедливо равенство eqref{ref2}. (bullet)
Таким образом, для данной функции (f(x)) ее первообразная (F(x)) определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Для того чтобы из совокупности первообразных выделить какую-либо первообразную (F_1(x)), достаточно указать точку (M_0(x_0,y_0)), принадлежащую графику функции (y=F(x)).
Пример 1.
Для функции (f(x)=displaystyle frac{1}{x^2}) найти такую первообразную (F_1(x)), график которой проходит через точку ((1,2)).
Решение.
(triangle) Совокупность всех первообразных функции (displaystyle frac{1}{x^2}) описывается формулой
$$
F(x)=-frac{1}{x}+C.nonumber
$$
По условию (F_1(1)=2), то есть (2=-1+C), откуда (C=3). Следовательно, (F_1(x)=3-displaystyle frac{1}{x}). (blacktriangle)
Замечание 3.
В дальнейшем (гл. VII, § 36) будет доказано, что первообразная существует для любой функции, непрерывной на отрезке (или интервале).
Понятие неопределенного интеграла.
Определение.
Совокупность всех первообразных для функции (f(x)) на некотором промежутке (Delta) называют неопределенным интегралом от функции (f) на этом промежутке, обозначают символом (displaystyle int f(x)dx) и пишут
$$
int f(x)dx=F(x)+C.label{ref3}
$$
Здесь (F(x)) — какая-нибудь первообразная функции (f) на промежутке (Delta), (C) — произвольная постоянная. Знак (displaystyle int) называется знаком интеграла, (f) — подынтегральной функцией, (f(x)dx) — подынтегральным выражением.
Подынтегральное выражение можно записать в виде (F'(x)) или в виде (dF(x)), то есть
$$
f(x)dx=dF(x).label{ref4}
$$
Операцию нахождения неопределенного интеграла от данной функции, которая является обратной операции дифференцирования, называют интегрированием. Поэтому любую формулу для производной, то есть формулу вида (F'(x)=f(x)), можно записать в виде eqref{ref3}.
Используя таблицу производных, можно найти интегралы от некоторых элементарных функций. Например, из равенства ((sin x)’=cos x) следует, что (displaystyle intcos x dx=sin x+C).
Свойства неопределенного интеграла.
Свойство 1.
$$
dleft(int f(x)dxright)=f(x)dx.label{ref5}
$$
Доказательство.
(circ) Из равенства eqref{ref3} следует, что
$$
dleft(int f(x)dxright)=d(F(x) + C) = dF(x),nonumber
$$
так как (dC = 0). (bullet)
Согласно формуле eqref{ref5} знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла.
Свойство 2.
$$
int dF(x) = F(x) + C.label{ref6}
$$
Доказательство.
(circ) Равенство eqref{ref6} следует из равенств eqref{ref3} и eqref{ref4}. (bullet)
Соотношение eqref{ref6} показывает, что и в случае, когда знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, эти знаки также взаимно уничтожается (если отбросить постоянную (C)).
Свойство 3.
Если функции (f(x)) и (g(x)) имеют на некотором промежутке первообразные, то для любых (alphain R, betain R) таких, что (alpha^2+beta^2neq 0), функция (varphi(x) = alpha f(x)+beta g(x)) также имеет первообразную на этом промежутке, причем
$$
intleft(alpha f(x)+beta g(x)right)dx=alphaint f(x)dx+betaint g(x).label{ref7}
$$
Доказательство.
(circ) Пусть (F) и (G) — первообразные для функций (f) и (g) соответственно, тогда (Phi=alpha F + beta G) — первообразная для функции (varphi), так как ((alpha F(x)+beta G(x))’=alpha f(x)+beta g(x)). Согласно определению интеграла левая часть eqref{ref7} состоит из функций вида (Phi(x)+C), а правая часть — из функций вида (alpha F(x)+alpha C_1+beta G(x)+beta C_2=Phi(x)+alpha C_1+beta C_2). Так как (alpha^2+beta^2neq 0), то каждая функция вида (Phi(x)+C) принадлежит совокупности функций (Phi(x)+alpha C_1+beta C_2), и наоборот, то есть по заданному числу (C) можно найти (C_1) и (C_2), а по заданным (C_1) и (C_2) — число (C) такое, чтобы выполнялось равенство (C=alpha C_1+beta C_2). (bullet)
Таким образом, интегрирование обладает свойством линейности: интеграл от линейной комбинации функций равен соответствующей линейной комбинации интегралов от рассматриваемых функций.
Пример 2.
Найти (displaystyle int f(x)dx), если:
- (f(x)=e^x+x^2);
- (f(x)=-2sin x+displaystylefrac{3}{1+x^2}).
Решение.
- (triangle) Используя таблицу производных и свойство 3 интеграла, получаем
$$
int (e^x+x^2)dx=e^x+frac{x^3}{3}+C.nonumber
$$ - Так как ((cos x)’=sin x, operatorname{arctg}x)’=displaystyle frac{1}{1+x^2}), то
$$
int left(-2sin x+frac{3}{1+x^2}right)dx=2cos x+operatorname{arctg}x+C.quadblacktriangle
$$
Дальнейшее расширение множества функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции, можно получить, если воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции и правилом дифференцирования произведения двух функций.
Метод замены переменного (метод подстановки).
Пусть функция (t=varphi(x)) определена и дифференцируема на промежутке (Delta) и пусть (Delta_i=varphi(Delta)) — множество значений функции (varphi) на (Delta).
Если функция (U(t)) определена и дифференцируема на (Delta_i), причем
$$
U'(t)=u(t),label{ref8}
$$
то на промежутке (Delta) определена и дифференцируема сложная функция (F(x)=U(varphi(x))) и
$$
F'(x)=left[U(varphi(x))right]’=U'(varphi(x))varphi'(x)=u(varphi(x))varphi'(x).label{ref9}
$$
Из равенств eqref{ref8} и eqref{ref9} следует, что если (U(t)) — первообразная для функции (u(t)), то (U(varphi(x))) — первообразная для функции (u(varphi(x))varphi'(x)). Это означает, что если
$$
int u(t) dt = U(t) + C,label{ref10}
$$
то
$$
int u(varphi(x))varphi'(x)dx=U(varphi(x)) + C,label{ref11}
$$
или
$$
int u(varphi(x))dvarphi(x)= U(varphi(x)) + C.label{ref12}
$$
Формулу eqref{ref12} (или формулу eqref{ref11}) называют формулой интегрирования заменой переменного. Она получается из формулы eqref{ref10}, если вместо (t) подставить дифференцируемую функцию (varphi(x)).
Замечание 4.
Формула eqref{ref12} дает возможность найти интеграл (displaystyle f(x)dx), если функция (f(x)) представляется в виде (f(x) = u(varphi(x))varphi'(x)) и если известна первообразная функции (u(t)), то есть известен интеграл eqref{ref10}.
Отметим важные частные случаи формулы eqref{ref12}.
- Пусть (F(x)) — первообразная функции (f(x)), то есть
$$
int f(x) dx = F(x) + C.nonumber
$$Тогда
$$
int f(ax+b)dx=frac{1}{a}F(ax+b)+C,quad aneq 0.label{ref13}
$$
Здесь (varphi(x)=ax+b), (f(ax+b)=displaystyle frac{1}{a}f(ax+b)d(ax+b)). - Используя равенство
$$
int frac{dt}{t}=operatorname{ln}|t|+C,nonumber
$$
получаем
$$
int frac{dvarphi (x)}{varphi (x)}=int frac{varphi'(x)dx}{varphi (x)}=operatorname{ln}|varphi(x)|+C,quad если varphi(x)neq 0.label{ref14}
$$ - Так как
$$
int t^{alpha}dt=frac{t^{alpha+1}}{alpha+1}+C,quad alphaneq -1,quad t > 0,nonumber
$$
, то
$$
int (varphi(x))^{alpha}varphi'(x)dx=int (varphi(x))^{alpha}dvarphi(x)=frac{(varphi(x))^{{alpha}+1}}{alpha+1}+C,label{ref15}
$$
где (varphi(x) > 0, alphaneq -1).
Приведем примеры применения формул eqref{ref13}-eqref{ref15}.
Пример 3.
$$
int (2x + 3)^6 dx = frac{1}{2}int (2x + 3)^6d(2x + 3)=frac{(2x+3)^7}{14}+C.nonumber
$$
Пример 4.
$$
intfrac{dx}{(x+a)^k}=left{begin{array}{lc}operatorname{ln}vert x+avert+C,&k=1,\displaystylefrac{(x+a)^{-k+1}}{1-k}+C,&kneq1.end{array}right.nonumber
$$
Пример 5.
$$
intfrac{xdx}{x^2+alpha}=frac12intfrac{d(x^2+alpha)}{x^2+alpha}=frac12operatorname{ln}vert x^2+alphavert+C.nonumber
$$
Пример 6.
$$
int operatorname{ctg}xdx=intfrac{d(sin x)}{sin x}=operatorname{ln}vertsin xvert+C.nonumber
$$
Пример 7.
$$
int frac{xdx}{sqrt{x^2+alpha}}=frac{1}{2}intfrac{d(x^2+alpha)}{x^2+alpha}=sqrt{x^2+alpha}+C.nonumber
$$
Пример 8.
$$
int frac{dx}{x^2+a^2}=frac{1}{a}int frac{d(x/a)}{1+(x/a)^2}=frac{1}{a}operatorname{arctg}frac{x}{a}+C,quad aneq 0.nonumber
$$
Пример 9.
$$
int frac{dx}{sqrt{a^2-x^2}}=int frac{d(x/a)}{1-(x/a)^2}=operatorname{arcsin}frac{x}{a}+C,quad a > 0.nonumber
$$
Пример 10.
$$
int frac{dx}{x^2-a^2}=int frac{1}{2a}left(frac{1}{x-a}-frac{1}{x+a}right)dx=frac{1}{2a}operatorname{ln}left|frac{x-a}{x+a}right|+C,quad aneq 0.nonumber
$$
Пример 11.
$$
J=int frac{dx}{sqrt{x^2+alpha}},quad alphaneq 0.nonumber
$$
Решение.
(triangle) Пусть (displaystyle x+sqrt{x^2+alpha}=t=t(x)); тогда
$$
dt=t'(x)dx=left(1+frac{x}{sqrt{x^2+alpha}}right)dx=frac{t(x)}{sqrt{x^2+alpha}}dx,nonumber
$$
откуда
$$
frac{dx}{sqrt{x^2+alpha}}=frac{dt(x)}{t(x)}.nonumber
$$
Поэтому
$$
J=int frac{dt(x)}{t(x)}=operatorname{ln}|t(x)|+C=operatorname{ln}|x+sqrt{x^2+alpha}|+C,nonumber
$$
то есть
$$
int frac{dx}{sqrt{x^2+alpha}}=operatorname{ln}|x+sqrt{x^2+alpha}|+C. blacktrianglenonumber
$$
Замечание 5.
При вычислении этого интеграла использована подстановка Эйлера (displaystyle x+sqrt{x^2+alpha}=t).
Замечание 6.
Интегралы, рассмотренные в примерах 8-11, часто применяются. Эти интегралы обычно считаются табличными.
Приведем таблицу интегралов, полученную из соответствующей таблицы производных. Сюда включены интегралы, найденные в примерах 8-11.
$$
int x^{alpha}dx=frac{x^{alpha+1}}{alpha+1}+C,quad alphaneq -1.nonumber
$$
$$
int frac{dx}{x+a}=operatorname{ln}|x+a|+C.nonumber
$$
$$
int a^xdx=frac{a^x}{operatorname{ln}a}+C,quad a > 0, aneq 1.nonumber
$$
$$
int e^xdx=e^x+C.nonumber
$$
$$
int sin x dx=-cos x+C.nonumber
$$
$$
int cos x dx=sin x+C.nonumber
$$
$$
int frac{dx}{cos^2 x }=operatorname{tg}x+C.nonumber
$$
$$
int frac{dx}{sin^2 x}=-operatorname{ctg}x+C.nonumber
$$
$$
int operatorname{sh}x dx=operatorname{ch}x+C.nonumber
$$
$$
int operatorname{ch}x dx=operatorname{sh}x+C.nonumber
$$
$$
int frac{dx}{operatorname{ch}^2 x}=operatorname{th}x+C.nonumber
$$
$$
int frac{dx}{operatorname{sh}^2 x}=-operatorname{cth}x+C.nonumber
$$
$$
int frac{dx}{x^2+a^2}=frac{1}{a}operatorname{arctg}frac{x}{a}+C,quad a > 0.nonumber
$$
$$
int frac{dx}{a^2-x^2}=operatorname{arcsin}frac{x}{a}+C,quad a > 0.nonumber
$$
$$
int frac{dx}{x^2-a^2}=frac{1}{2a}operatorname{ln}left|frac{x-a}{x+a}right|+C,quad aneq 0.nonumber
$$
$$
int frac{dx}{sqrt{x^2+a}}=operatorname{ln}|x+sqrt{x^2+a}|+C.nonumber
$$
Пример 12.
$$
J=int frac{dx}{sqrt{x(1-x)}}.nonumber
$$
Решение.
(triangle) Так как
$$
x(1-x)=-(x^2-x)=frac{1}{4}-left(x^2-2xcdotfrac{1}{2}+frac{1}{4}right)=frac{1}{4}-left(x-frac{1}{2}right)^2,nonumber
$$
то, используя пример 9 при (a=1/2), получаем
$$
J=intfrac{displaystyle dleft(x-frac{1}{2}right)}{displaystylesqrt{left(frac{1}{2}right)-left(x-frac{1}{2}right)}}=operatorname{arcsin}frac{displaystyle x-frac{1}{2}}{displaystylefrac{1}{2}}+C,nonumber
$$
то есть (J=operatorname{arcsin}(2x-1)+C). (blacktriangle)
Пример 13.
$$
J=int frac{dx}{sqrt{x^2-3x+5}}.nonumber
$$
Решение.
(triangle)Так как (x^2-3x+5=displaystyle x^2-2xcdotfrac{3}{2}+frac{9}{4}+5-frac{9}{4}=left(x-frac{3}{2}right)^2+frac{11}{4}), то используя пример 11, получаем
$$
J=int frac{displaystyle dleft(x-frac{3}{2}right)}{displaystyle sqrt{left(x-frac{3}{2}right)^2+frac{11}{4}}}=displaystyleoperatorname{ln}left|x-frac{3}{2}+sqrt{x^2-3x+5}right|+C. blacktriangle
$$
Иногда бывает целесообразно при вычислении интеграла
$$
J = int f(x)dxlabel{ref16}
$$
перейти к новой переменной.
Пусть (x=varphi (t)) — строго монотонная и дифференцируемая функция. Тогда она имеет обратную функцию
$$
t=omega (x).label{ref17}
$$
Преобразуя подынтегральное выражение в интеграле eqref{ref16} с помощью подстановки (x=varphi (t)) получаем (f(x) dx = f(varphi(t))varphi'(t)dt). Обозначим (u(t)=f(varphi(t))varphi'(t)), тогда
$$
f(x) dx = u(t) dt.label{ref18}
$$
Пусть (U(t)) — первообразная для функции (u(t)), тогда
$$
int u(t) dt = U(t) + C.label{ref19}
$$
Из равенств eqref{ref16}-eqref{ref19} находим
$$
J = int f(x) dx = int u(t)dt = U(t) + C = U(omega(x)) + C.label{ref20}
$$
Формулу eqref{ref20} называют формулой интегрирования подстановкой. Согласно этой формуле для вычисления интеграла eqref{ref16} достаточно подобрать такую обратимую дифференцируемую функцию (x=varphi(t)) с помощью которой подынтегральное выражение (f(x)dx) представляется в виде (u(t) dt), причем первообразная для функции (u(t)) известна.
Пример 14.
Вычислить интеграл
$$
J =int sqrt{a^2-x^2}dx,quad a > 0.nonumber
$$
Решение.
(triangle) Подынтегральная функция определена на отрезке ([-a,a]). Положим (x =varphi(t) =a sin t); тогда (t = omega(x) =displaystyle arcsinfrac{x}{a}, sqrt{a^2-x^2} = sqrt{a^2cos^2 t} = a cos t), так как (displaystyle tinleft[-frac{pi}{2},frac{pi}{2}right], a > 0). Следовательно,
$$
J = int acos t acos t dt = frac{a^2}{2}int (1 + cos 2t) dt = frac{a^2}{2}left(t + frac{sin 2t}{2}right)+C.nonumber
$$
Так как
$$
sin t=frac{x}{a},qquad cos t=sqrt{1-frac{x^2}{a^2}}=frac{sqrt{a^2-x^2}}{a},nonumber
$$
то
$$
frac{1}{2}sin 2t=sin tcos t=frac{xsqrt{a^2-x^2}}{a^2}.nonumber
$$
Поэтому
$$
int sqrt{a^2-x^2}dx=frac{a^2}{2}arcsin frac{x}{a}+frac{xsqrt{a^2-x^2}}{2}+C. blacktrianglenonumber
$$
Метод интегрирования по частям.
Пусть функции (u(x)) и (v(x)) имеют непрерывные производные на промежутке (Delta). Тогда функция (uv) также имеет непрерывную производную на (Delta) и согласно правилу дифференцирования произведения выполняется равенство
$$
uv’=(uv)’-vu’.nonumber
$$
Интегрируя это равенство и учитывая, что
$$
int (uv)’dx=uv + C,nonumber
$$
получаем
$$
int uv’dx = uv + C — int vu’ dx.nonumber
$$
Относя произвольную постоянную (C) к интегралу (displaystyle int vu’dx), находим
$$
int uv’dx = uv-int vu’dx,label{ref21}
$$
или
$$
int udv = uv-int vdu,label{ref22}
$$
Формула eqref{ref21} или eqref{ref22} называется формулой интегрирования по частям. Она сводит вычисление интеграла (displaystyle udv) к вычислению интеграла (displaystyle vdu).
Пример 15.
$$
int xcos x dx=int x d(sin x)=xsin x-int sin xdx=xsin x-cos x+C. blacktrianglenonumber
$$
Пример 16.
Вычислить интеграл
$$
J=int sqrt{x^2+a}dx.nonumber
$$
Решение.
(triangle) Полагая (u=displaystylesqrt{x^2+a}, v=x), по формуле eqref{ref21} находим
$$
J=xsqrt{x^2+a}-int frac{x^2}{sqrt{x^2+a}}dx,nonumber
$$
где
$$
int frac{x^2}{sqrt{x^2+a}}dx=int frac{x^2+a-a}{sqrt{x^2+a}}dx=J-aint frac{dx}{sqrt{x^2+a}}.nonumber
$$
Отсюда получаем уравнение относительно (J):
$$
J=xsqrt{x^2+a}-J+aint frac{dx}{sqrt{x^2+a}}.nonumber
$$
Используя результат примера 11, находим
$$
int sqrt{x^2+a}dx=frac{x}{2}sqrt{x^2+a}+frac{a}{2}operatorname{ln}|x+sqrt{x^2+a}|+C. blacktrianglenonumber
$$
Пример 17.
Пусть
$$
J_n=int frac{dx}{(x^2+a^2)^n},quad ninmathbb{N},quad aneq 0.nonumber
$$
Выведем рекуррентную формулу для вычисления интеграла (J_n).
Решение.
(triangle) Пусть (u=(x^2+a^2)^{-n}, v=x). Тогда (u’=-2nx(x^2 + a^2)^{-n-1}, v’=1) и по формуле eqref{ref21} получаем
$$
J_n=frac{x}{(x^2+a^2)^n}+2nint frac{x^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx,nonumber
$$
где
$$
int frac{x^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx=int frac{(x^2+a^2)-a^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx=J_n-a^2J_{n+1}.nonumber
$$
Следовательно,
$$
J_n=frac{x}{(x^2+a^2)^n}+2nJ_n-2na^2J_{n+1},nonumber
$$
откуда
$$
J_{n+1}=frac{x}{2na^2(x^2+a^2)^n}+frac{2n-1}{2na^2}J_n. blacktrianglelabel{ref23}
$$
Замечание 7.
Так как
$$
J_1=int frac{dx}{x^2+a^2}=frac{1}{a}operatorname{arctg}frac{x}{a}+C,nonumber
$$
то из формулы eqref{ref23} находим
$$
J_2=int frac{dx}{(x^2+a^2)^2}=frac{x}{2a^2(x^2+a^2)}+frac{1}{2a^3}operatorname{arctg}frac{x}{a}+C.nonumber
$$
Замечание 8.
Повторное применение формулы eqref{ref21} позволяет получить обобщенную формулу интегрирования по частям
$$
int uv^{(n+1)}dx=\=uv^{(n)}-u’v^{(n-1)}+u″v^{(n-2)}+…+(-1)^n u^{(n)}v+(-1)^{n+1}int u^{(n+1)}vdxlabel{ref24}
$$
в предположении, что существуют непрерывные производные (u^{(n+1)}, v^{(n+1)}) на рассматриваемом промежутке. При (n=1) формула eqref{ref24} принимает вид
$$
int uv″dx=uv’-u’v+int u″vdx.label{ref25}
$$
Пример 18.
Вычислить интеграл
$$
J = int x^2 e^x dx.nonumber
$$
Решение.
(triangle) Полагая (u=x^2, v = e^x) и учитывая, что (u’=2x, u″ = 2, v’=v″=e^x), получаем по формуле eqref{ref25}
$$
J = x^2 e^x-2x e^x+2int e^x dx,nonumber
$$
откуда
$$
int x^2 e^x dx=(x^2-2x+2)e^x+C. blacktrianglenonumber
$$
Пример 19.
Вычислить интеграл
$$
J=int e^{alpha x}cos beta x dx,quad alphabetaneq 0.nonumber
$$
Решение.
(triangle) Положим (u= cos beta x, v=displaystylefrac{e^{alpha x}}{alpha^2}). Тогда (u’=-beta sinbeta x, u″=-beta^2cosbeta x, v’=displaystylefrac{e^{alpha x}}{alpha}, v″=e^{alpha x}). По формуле eqref{ref25} находим
$$
J =frac{e^{alpha x}}{alpha}cosbeta x+frac{beta}{alpha^2}e^{alpha x}sin beta x-frac{beta^2}{alpha^2}J + C,
$$
откуда
$$
J=frac{alpha cosbeta x+betasin beta x}{alpha^2+beta^2}e^{alpha x}+C_1. blacktrianglenonumber
$$
Неопределённый интеграл: 8 фактов, которые надо знать студенту
- Первообразная функция и неопределённый интеграл
- Геометрический смысл неопределённого интеграла
- Свойства неопределённого интеграла
- Таблица основных неопределённых интегралов
Первообразная функция и неопределённый интеграл
Факт 1. Интегрирование — действие, обратное дифференцированию, а именно, восстановление
функции по известной производной этой функции.
Восстановленная таким образом функция F(x) называется первообразной для функции f(x).
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x)
на некотором промежутке X, если для всех значений x из этого промежутка выполняется
равенство F ‘(x)=f(x), то есть данная функция f(x) является производной
от первообразной функции F(x)..
Например, функция F(x) = sin x
является первообразной для функции f(x) = cos x
на всей числовой прямой, так как при любом значении икса (sin x)’ = (cos x).
Определение 2. Неопределённым интегралом функции f(x) называется совокупность всех её первообразных. При этом употребляется запись
∫
f(x)dx
,
где знак ∫ называется знаком интеграла, функция f(x) – подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.
Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная для f(x) , то
∫
f(x)dx = F(x) +C
, (1)
где C — произвольная постоянная (константа).
Для понимания смысла множества первообразных функции как неопределённого интеграла
уместна следующая аналогия. Пусть есть дверь (традиционная деревянная дверь). Её функция — «быть дверью».
А из чего сделана дверь? Из дерева. Значит, множеством первообразных подынтегральной функции «быть
дверью», то есть её неопределённым интегралом, является функция «быть деревом + С», где С — константа,
которая в данном контексте может обозначать, например, породу дерева. Подобно тому, как дверь сделана
из дерева при помощи некоторых инструментов, производная функции «сделана» из первообразной функции
при помощи формулы, которую мы узнали, изучая производную.
Тогда таблица функций распространённых предметов и соответствующих им первообразных
(«быть дверью» — «быть деревом», «быть ложкой» — «быть металлом» и др.) аналогична таблице основных
неопределённых интегралов, которая будет приведена чуть ниже. В таблице неопределённых интегралов
перечисляются распространённые функции с указанием первообразных, из которых «сделаны» эти функции. В части
задач на нахождение неопределённого интеграла даны такие подынтегральные функции, которые без особых
услилий могут быть проинтегрированы непосредственно, то есть по таблице неопределённых интегралов. В
задачах посложнее подынтегральную функцию нужно предварительно преобразовать так, чтобы можно было
использовать табличные интегралы.
Факт 2. Восстанавливая функцию как первообразную, мы должны учитывать произвольную постоянную (константу) C, а
чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, нужно
записывать множество первообразных с произвольной константой C,
например, так: 5x³+С. Итак, произвольная постоянная (константа) входит в выражение первообразной, поскольку
первообразная может быть функцией, например, 5x³+4 или 5x³+3
и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль.
Поставим задачу интегрирования: для данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x).
Пример 1.Найти множество первообразных функции
Решение. Для данной функции первообразной является функция
так как
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если производная F(x) равна f(x), или, что одно и то же, дифференциал F(x) равен f(x) dx, т.е.
или
(2)
Следовательно, функция — первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции
и вообще
где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.
Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема (формальное изложение факта 2). Если F(x) – первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x) + C , где С – произвольная постоянная.
В следующем примере уже обращаемся к таблице интегралов, которая будет дана
в параграфе 3, после свойств неопределённого интеграла. Делаем это до ознакомления со всей таблицей, чтобы
была понятна суть вышеизложенного. А после таблицы и свойств будем пользоваться ими при интегрировании во всей полносте.
Пример 2. Найти множества первообразных функций:
1)
2)
3)
Решение. Находим множества первообразных функций, из которых «сделаны» данные функции. При упоминании
формул из таблицы интегралов пока просто примите, что там есть такие формулы, а полностью саму таблицу
неопределённых интегралов мы изучим чуть дальше.
1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим
2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3, имеем
3) Так как
то по формуле (7) при n = -1/4 найдём
Под знаком интеграла пишут не саму функцию f,
а её произведение на дифференциал dx. Это делается прежде всего
для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например,
,
;
здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна ,
но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. В первом случае эта
функция рассматривается как функция от переменной x, а во
втором — как функция от z.
Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.
Геометрический смысл неопределённого интеграла
Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной
в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.
Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной
точке кривой y=F(x) равен значению производной F'(x). Значит, нужно найти такую функцию
F(x), для которой
F'(x)=f(x). Требуемая в задаче функция F(x) является первообразной от f(x). Условию задачи удовлетворяет не одна
кривая, а семейство кривых. y=F(x) — одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена
из неё параллельным переносом вдоль оси Oy.
Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F'(x)=f(x),
то график функции y=F(x) есть интегральная кривая.
Факт 3. Неопределённый интеграл
геометрически представлен семеством всех интегральных кривых, как на рисунке ниже. Удалённость
каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой)
интегрирования C.
Свойства неопределённого интеграла
Факт 4. Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.
Факт 5. Теорема 2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f(x) равен функции f(x) с точностью до постоянного слагаемого, т.е.
(3)
Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.
Факт 6. Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла, т.е.
(4)
Факт 7. Теорема 4. Неопределённый интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций, т.е.
(5)
Таблица основных неопределённых интегралов
Факт 8. Пользусь таблицей неопределённых интегралов,
свойствами неопределённого интеграла и методами интегрирования, можно отыскать неопределённый интеграл
любой функции.
Из определения неопределённого интеграла вытекают следующие формулы, которые в дальнейшем будем называть табличными интегралами:
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
Продолжение темы «Интеграл»
Поделиться с друзьями