Какие есть свойства математика

Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Обозначение:

y = f(x),

где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))

Способы задания функции.

аналитический способ (с помощью математической формулы);
табличный способ (с помощью таблицы);
описательный способ (с помощью словесного описания);
графический способ (с помощью графика).

Основные свойства функции.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если

– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x12 выполнено неравенство f(x1)2).

Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x12 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).

4. Экстремумы

Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х) f(Xmax).

Значение Ymax=f(Xmax) называется максимумом этой функции.

Хmax – точка максимума
Уmax – максимум

Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х) f(Xmin).

Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.

Xmin – точка минимума
Ymin – минимум

Xmin, Хmax – точки экстремума
Ymin, Уmax – экстремумы.

5. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Х1,Х2,Х3 – нули функции y = f(x).

Задачи и тесты по теме «Основные свойства функции»

Переместительное свойство умножения

От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.

Следовательно, для любых чисел a и b верно равенство:

a · b = b · a

выражающее переместительное свойство умножения.

Примеры:

6 · 7 = 7 · 6 = 42

4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24

Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.

Сочетательное свойство умножения

Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

Следовательно, для любых чисел a, b и c верно равенство:

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)

выражающее сочетательное свойство умножения.

Пример:

3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30

или

3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30

Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:

25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500

В данном случае можно было вычислить всё последовательно:

25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500

но проще и легче сначала умножить 25 на 4 и получить 100, а уже потом умножить 100 на 15.

Распределительное свойство умножения

Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

m · (a + b) = m · a + m · b

выражающее распределительное свойство умножения.

Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

(a + b) · m = a · m + b · m

Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

m · (a — b) = m · a — m · b

Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

(a — b) · m = a · m — b · m

Переход от умножения:

m · (a + b) и m · (a — b)

соответственно к сложению и вычитанию:

m · a + m · b и m · a — m · b

называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания:

m · a + m · b и m · a — m · b

к умножению:

m · (a + b) и m · (a — b)

называется вынесением общего множителя за скобки.

Источник

Какие есть свойства математика

Задачи и тесты по теме «Основные свойства функции»

Рекомендации к теме

Переместительное свойство умножения

Сочетательное свойство умножения

Распределительное свойство умножения