Какие есть свойства функции
Salima Churakova · 30 ноября 2018
8,3 K
Люблю видеоигры, путешествия, электронику, урбанистику.
К основным свойствам функции относятся:
- Четность и нечетность функции
Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = f(x)
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image003.gif
График четной функции симметричен относительно оси 0y
Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image004.gif
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2.Периодичность
Функция f(x) называется периодической с периодом !https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image005.gif, если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image006.gif
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
- Монотонность (возрастание, убывание)
Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2).
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image011.gif
Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image013.gif
- Экстремумы
Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х)!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image014.gif f(Xmax).
Значение Ymax=f(Xmax) называется максимумом этой функции.
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image015.gif
Хmax – точка максимума
Уmax – максимум
Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х)!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image016.gif f(Xmin).
Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image017.gif
Xmin – точка минимума
Ymin – минимум
Xmin, Хmax – точки экстремума
Ymin, Уmax – экстремумы.
- Нули функции
Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image018.gif
Х1,Х2,Х3 – нули функции y = f(x).
Докажите что функция является четной -10х^3+2,5?
Эта функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция f(x) называется четной функцией, если для любого x из области определения выполняется равенство f(x) = f(-x)
Функция f(x) называется нечетной функцией, если для любого x из области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x).
f(-x) = 10x^3+2,5
-f(x) = 10x^3-2,5
f(x) ≠ f(-x)
f(-x) ≠ — f(x)
Значит, функция ни четна, ни нечетна.
Какими основными математическими навыками должны обладать все?
Давайте все-таки исключим детей и людей, которые не ставят перед собой никаких жизненных задач. Бомж и Обломов обойдутся без математических навыков. Возьмем взрослых сознательных людей, перед которыми стоят определенные жизненные задачи, и эти люди ответственно действуют в заданных жизненных рамках.
Логический вывод. Элементарная логика нужна каждому, чтобы не путать причину со следствием и не противоречить самому себе.
Анализ связей. То, чему в простейшем виде нас учит решение задач в школе: если перед тобой стоит задача, сначала нужно выделить, какие данные важны и какие между ними связи, а потом уж строить решение. Построить модель и разложить все по полочкам, помнить о том, что дано и что требуется получить.
Обнаружение закономерностей. Закономерности обнаруживаются во всякой деятельности, нужно их замечать, обобщать и использовать для прогнозирования.
Анализ графиков и диаграмм. Знание основных статистических характеристик.
Элементарные сведения по теории вероятностей. Это нужно для того, чтобы разумно оценивать риски и принимать решения в условиях неопределенности. Вот (сильно упрощенная) ситуация: можно вложиться в новостройку, купить квартиру на этапе котлована и с вероятностью ¼ потерять все, а с вероятностью ¾ получить 100% прибыли. Если у тебя хватит денег на 20 квартир, то с о-о-о-очень большой вероятностью ты останешься с большой выгодой. А если ты продаешь единственное жилье и покупаешь одну квартиру, то с немаленькой вероятностью остаешься без крыши над головой. Нельзя принимать решение, просто подражая другим.
Прикидка. Наверное, нам не нужно перемалывать огромные числа и делать серьезные вычисления с большими числами: на то есть компьютеры и калькуляторы. Но нельзя слепо им доверять: возможны ошибки и опечатки или жульничество недобросовестных подчиненных. Как проверить вычисления: быстренько сделать прикидку и посчитать приблизительно; — это инструмент проверки, который всегда у вас в руках. Сделать прикидку сложнее, чем просто сосчитать: нужно понимать, как можно упростить входные данные, чтобы результат на выходе поменялся не сильно.
Геометрические представления. Я думаю, нужны представления о геометрических фигурах, о геометрических величинах – длинах, площадях и объемах; о связях между ними. Представление о координатах, хотя бы географических.
Прочитать ещё 4 ответа
Чем функция отличается от процедуры (Pascal)?
Родилась в Нижнем Новгороде, волей судьбы оказалась в Москве. Мама двоих детей…
В любом языке программирования процедура просто выполняет последовательность операторов (принимая входные значения, или не принимая), а функция возвращает значение, которое можно присвоить переменной.
В Паскаль это выглядит так:
Описание процедуры:
procedure название (параметры);
Функция:
function название (параметры):тип возвращаемого значения;
Прочитать ещё 1 ответ
Почему в разных науках, разные по значению термины имеют одно и тоже название? Например, гипербола — график математической функции и средство художественной выразительности одновременно?
Член Малого филологического факультета НИУ ВШЭ СПб, филолог-компаративист…
У этого явления может быть две причины.
Первая причина связана с происхождением самих терминов и, шире, всех слов вообще. Довольно часто термины идут из греческого и/или латыни и за время своего развития могли изменить значение. То есть названия могут возникать от одного корня независимо друг от друга (например, в разных культурах или заимствоваться в другие языки в разное время) и теперь существовать вместе.
Вторая причина кроется в особенности нашего мышления, а именно в его метафоричности. Метафора — это перенос, в данном случае — названий терминов. Когда человек сталкивается с чем-то неизвестным, он осмысляет это в уже известных категориях. Например, когда мы учим детей считать, дети не понимают, что такое цифры и математические действия. Тогда мы объясняем им на яблоках: одно яблоко и еще одно яблоко — это два яблока. Такой перенос позволяет постоянно расширять наши знания о мире, но и накладываетопределенные ограничения, когда мы осмысляем что-то новое чере именно это старое, нам бывает сложно взглянуть на новое под другим углом.
Слово «гипербола» происходит из греческого языка и изначально дословно означает «бросать вверх». По всей видимости, математическое и филологическое значения появились независимо друг от друга. В случае средства художественной выразительности гипербола представляется сильным преувеличением, как если бы маленькую кучку мы назвали горой (взгляд резко скачет вверх). А график математической функции визуально похож на траекторию движения подбрасываемого вверх камня.
Переход слов из одной сферы жизни в другую изучают историческая семантика и историческое языкознание.
Зачем живому организму нужно сознание. Что оно делает, каковы его функции?
Функции сознания выделить сложно, но все же, если не уходить в научные дебри, то о сознании можно сказать следующее: в случаи с человеком, сознание это некий «базис», благодаря которому становятся возможными такие явления как индивидуальный опыт, разум, интеллект и тд., то есть все то, благодаря чему человек становится «человеком».
У животных же благодаря сознанию становится возможным реализация инстинктов и «осознанного» поведения.
То есть сознание это то «минимальное условие» благодаря которому человек может быть «человеком», животное может быть «животным».
Конечно, это довольно поверхностно и вольно, но тем не менее это то, что так или иначе характеризует данный феномен.
Прочитать ещё 1 ответ
Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.
Обозначение:
y = f(x),
где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))
Способы задания функции.
- аналитический способ (с помощью математической формулы);
- табличный способ (с помощью таблицы);
- описательный способ (с помощью словесного описания);
- графический способ (с помощью графика).
Основные свойства функции.
1. Четность и нечетность
Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = f(x)
График четной функции симметричен относительно оси 0y
Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2.Периодичность
Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
3. Монотонность (возрастание, убывание)
Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x12 выполнено неравенство f(x1)2).
Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x12 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).
4. Экстремумы
Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х) f(Xmax).
Значение Ymax=f(Xmax) называется максимумом этой функции.
Хmax – точка максимума
Уmax – максимум
Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х) f(Xmin).
Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.
Xmin – точка минимума
Ymin – минимум
Xmin, Хmax – точки экстремума
Ymin, Уmax – экстремумы.
5. Нули функции
Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.
Х1,Х2,Х3 – нули функции y = f(x).
Задачи и тесты по теме «Основные свойства функции»
Рекомендации к теме
Изучив эту тему, Вы должны уметь находить область определения различных функций, определять с помощью графиков промежутки монотонности функции, исследовать функции на четность и нечетность. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах.
Примеры.
1. Найти область определения функции.
a)
Решение: область определения функции находится из условия
Ответ:
б)
Решение: область определения функции находится из условий
Ответ:
2. Исследовать на четность и нечетность функцию:
a)
Решение:
| 1) |
— симметрична относительно нуля.
| 2) |
следовательно, функция f(x) – четная.
Ответ: четная.
в)
1)
D(f) = [-1; 1] – симметрична относительно нуля.
| 2) |
следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни не четная.
Salima Churakova · 30 ноября 2018
8,3 K
Люблю видеоигры, путешествия, электронику, урбанистику.
К основным свойствам функции относятся:
- Четность и нечетность функции
Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = f(x)
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image003.gif
График четной функции симметричен относительно оси 0y
Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image004.gif
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2.Периодичность
Функция f(x) называется периодической с периодом !https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image005.gif, если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image006.gif
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
- Монотонность (возрастание, убывание)
Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2).
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image011.gif
Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image013.gif
- Экстремумы
Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х)!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image014.gif f(Xmax).
Значение Ymax=f(Xmax) называется максимумом этой функции.
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image015.gif
Хmax – точка максимума
Уmax – максимум
Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х)!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image016.gif f(Xmin).
Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image017.gif
Xmin – точка минимума
Ymin – минимум
Xmin, Хmax – точки экстремума
Ymin, Уmax – экстремумы.
- Нули функции
Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.
!https://ykl-shk.azureedge.net//goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image018.gif
Х1,Х2,Х3 – нули функции y = f(x).
Докажите что функция является четной -10х^3+2,5?
Эта функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция f(x) называется четной функцией, если для любого x из области определения выполняется равенство f(x) = f(-x)
Функция f(x) называется нечетной функцией, если для любого x из области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x).
f(-x) = 10x^3+2,5
-f(x) = 10x^3-2,5
f(x) ≠ f(-x)
f(-x) ≠ — f(x)
Значит, функция ни четна, ни нечетна.
Какими основными математическими навыками должны обладать все?
Давайте все-таки исключим детей и людей, которые не ставят перед собой никаких жизненных задач. Бомж и Обломов обойдутся без математических навыков. Возьмем взрослых сознательных людей, перед которыми стоят определенные жизненные задачи, и эти люди ответственно действуют в заданных жизненных рамках.
Логический вывод. Элементарная логика нужна каждому, чтобы не путать причину со следствием и не противоречить самому себе.
Анализ связей. То, чему в простейшем виде нас учит решение задач в школе: если перед тобой стоит задача, сначала нужно выделить, какие данные важны и какие между ними связи, а потом уж строить решение. Построить модель и разложить все по полочкам, помнить о том, что дано и что требуется получить.
Обнаружение закономерностей. Закономерности обнаруживаются во всякой деятельности, нужно их замечать, обобщать и использовать для прогнозирования.
Анализ графиков и диаграмм. Знание основных статистических характеристик.
Элементарные сведения по теории вероятностей. Это нужно для того, чтобы разумно оценивать риски и принимать решения в условиях неопределенности. Вот (сильно упрощенная) ситуация: можно вложиться в новостройку, купить квартиру на этапе котлована и с вероятностью ¼ потерять все, а с вероятностью ¾ получить 100% прибыли. Если у тебя хватит денег на 20 квартир, то с о-о-о-очень большой вероятностью ты останешься с большой выгодой. А если ты продаешь единственное жилье и покупаешь одну квартиру, то с немаленькой вероятностью остаешься без крыши над головой. Нельзя принимать решение, просто подражая другим.
Прикидка. Наверное, нам не нужно перемалывать огромные числа и делать серьезные вычисления с большими числами: на то есть компьютеры и калькуляторы. Но нельзя слепо им доверять: возможны ошибки и опечатки или жульничество недобросовестных подчиненных. Как проверить вычисления: быстренько сделать прикидку и посчитать приблизительно; — это инструмент проверки, который всегда у вас в руках. Сделать прикидку сложнее, чем просто сосчитать: нужно понимать, как можно упростить входные данные, чтобы результат на выходе поменялся не сильно.
Геометрические представления. Я думаю, нужны представления о геометрических фигурах, о геометрических величинах – длинах, площадях и объемах; о связях между ними. Представление о координатах, хотя бы географических.
Прочитать ещё 4 ответа
Чем функция отличается от процедуры (Pascal)?
Родилась в Нижнем Новгороде, волей судьбы оказалась в Москве. Мама двоих детей…
В любом языке программирования процедура просто выполняет последовательность операторов (принимая входные значения, или не принимая), а функция возвращает значение, которое можно присвоить переменной.
В Паскаль это выглядит так:
Описание процедуры:
procedure название (параметры);
Функция:
function название (параметры):тип возвращаемого значения;
Прочитать ещё 1 ответ
Почему в разных науках, разные по значению термины имеют одно и тоже название? Например, гипербола — график математической функции и средство художественной выразительности одновременно?
Член Малого филологического факультета НИУ ВШЭ СПб, филолог-компаративист…
У этого явления может быть две причины.
Первая причина связана с происхождением самих терминов и, шире, всех слов вообще. Довольно часто термины идут из греческого и/или латыни и за время своего развития могли изменить значение. То есть названия могут возникать от одного корня независимо друг от друга (например, в разных культурах или заимствоваться в другие языки в разное время) и теперь существовать вместе.
Вторая причина кроется в особенности нашего мышления, а именно в его метафоричности. Метафора — это перенос, в данном случае — названий терминов. Когда человек сталкивается с чем-то неизвестным, он осмысляет это в уже известных категориях. Например, когда мы учим детей считать, дети не понимают, что такое цифры и математические действия. Тогда мы объясняем им на яблоках: одно яблоко и еще одно яблоко — это два яблока. Такой перенос позволяет постоянно расширять наши знания о мире, но и накладываетопределенные ограничения, когда мы осмысляем что-то новое чере именно это старое, нам бывает сложно взглянуть на новое под другим углом.
Слово «гипербола» происходит из греческого языка и изначально дословно означает «бросать вверх». По всей видимости, математическое и филологическое значения появились независимо друг от друга. В случае средства художественной выразительности гипербола представляется сильным преувеличением, как если бы маленькую кучку мы назвали горой (взгляд резко скачет вверх). А график математической функции визуально похож на траекторию движения подбрасываемого вверх камня.
Переход слов из одной сферы жизни в другую изучают историческая семантика и историческое языкознание.
Зачем живому организму нужно сознание. Что оно делает, каковы его функции?
Функции сознания выделить сложно, но все же, если не уходить в научные дебри, то о сознании можно сказать следующее: в случаи с человеком, сознание это некий «базис», благодаря которому становятся возможными такие явления как индивидуальный опыт, разум, интеллект и тд., то есть все то, благодаря чему человек становится «человеком».
У животных же благодаря сознанию становится возможным реализация инстинктов и «осознанного» поведения.
То есть сознание это то «минимальное условие» благодаря которому человек может быть «человеком», животное может быть «животным».
Конечно, это довольно поверхностно и вольно, но тем не менее это то, что так или иначе характеризует данный феномен.
Прочитать ещё 1 ответ