Какие есть свойства действий
Сочетай, перемещай, свойства действий
узнавай
Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.
Свойства сложения
Переместительный закон сложения
Сумма не изменяется от перестановки слагаемых .
Пример:
3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:
a+b=b+a
a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.
Сочетательный закон сложения
Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .
Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.
Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:
a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа
Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …
Свойство сложения разности чисел
Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.
Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.
Свойство вычитания разности из числа
Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.
Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.
Свойства умножения
Переместительный закон умножения
Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …
Сочетательный закон умножения
Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .
Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.
Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.
Умножение числа на произведение чисел
Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.
Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.
Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.
Умножение числа на сумму чисел
Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.
Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …
В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.
Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …
Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.
Распределительный закон умножения для разности чисел
Распределительный закон можно применять и к разности.
Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;
7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.
Вообще:
(а — b)с = ас — bc,
а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.
Свойства деления
Деление суммы на число
Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:
Например:
(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)
Деление разности на число
Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:
(20-8)/5= 20/5 — 8/5
Вообще:
(a-b)/c = (a/c) -(b/c)
Деление произведения на число
Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:
(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:
(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.
Деление числа на произведение
Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:
120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.
Вообще:
а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.
Укажем еще следующее свойство деления:
Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3
Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b
Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.
Комментирование и размещение ссылок запрещено.
Тема:Свойства действий над числами
Цели урока: вспомнить и повторить свойства действий над числами. В течение урока развивать у учащихся навык записывать свойства при помощи буквенных равенств. знать; уметь
Ход урока:
1. Организационный момент. (2 мин.)
Сложение
a, b — числа, над которыми выполняется сложение, с — результат сложения
3. Новый материал. (12 мин.)
Сложение многозначных чисел производится поразрядно.
Пример: 9067542 + 34981 = 9102523
Законы сложения.
1) переместительный: a + b = b + a;
Пример. 310 + 1454 = 1454 + 310. Каким бы мы способом не складывали результат будет равен 1764.
2) сочетательный: (a + b) + c = a + (b + c);
Пример: (329 + 85) + 120 = 329 + (85 + 120) = 329 + 205 =534;
3) закон сложения числа с нулём: а + 0 = а.
Вычитание
a (уменьшаемое) — b (вычитаемое) = c (разность)
Пример: 42397 — 17963 = 24434
Свойства действий вычитания:
1) закон вычитания из суммы числа:
(a + b) — c = (a — c) + b, если а > c или a = c;
2) закон вычитания из числа суммы:
a — (b + c) = (a — b) — c;
3) закон вычитания из числа числа:
а — а = 0
4) закон вычитания из числа нуля:
а — 0 = а
5) закон вычитания из суммы суммы:
(a + b) — (c + d) = ;
Задача как пример действий сложения и вычитания
Вычислите удобным способом:
1) (4981 — 2992) — 808;
2) (3975 + 5729) — (5729 + 975).
Решение
Применяем 2-й и 5-й законы вычитания:
1) (4981- 2992) — 808 = 4981 — (2992 + 808) = 4981 — 3800 = 1181;
2) (3975 + 5729) — (5729 + 975) = (3975 — 975) + (5729 — 5720)= 3000 + 0 = 3000
Умножение
Умножить число а на число b (b>1)- значит найти сумму b слагаемых (каждое слагаемое равно а).
a x b= а + а + … + а
Если b = 1, то а x 1 = a.
a (первый множитель) x b (второй множитель) = c (произведение)
Например: 57 + 57 + 57 + 34 + 34 = 57 х 3 + 34 х 2 = 171 + 68 + 239
Законы умножения
1) переместительный: a x b = b x a;
Пример. 15 х 110 = 110 х 15.
2) сочетательный: (a x b) x c = a x (b x c);
Пример: (9 х 30) х 10= 9 х (30 х 10) = 9 х 300= 2700;
(65 х 25) х 44 = (25 х 65) х 44 = 25 х (65 X 44)=25 х 2860 = 71500.
3) умножение на ноль:0 x a = 0;
Пример: 0 х 10 = 0.
4) распределительный закон умножения относительно действия сложения (вычитания):
a x (b + c) = a x b + a x c;
Задачи как пример действия умножения
Задача 1. Вычислить удобным способом:
1) (37 х 125) х 8;
2) 49 х 84 + 49 х 83 — 49 х 67.
Решение
1) (37 х 125) х 8 = 37 х (125 х 8) = 37 х 1000 = 37000;
2) 49 х 84 + 49 х 83 — 49 х 67 = 49 х (84 + 83 — 67) = 49 х 100 = 4900.
Задача 2. 1 квт/ч стоит 12 руб. Электрический утюг за 1 ч работы расходует 2 квт/ч. Утюгом два дня гладили бельё: в первый день- 3 ч, во второй- 2ч. Сколько стоит электроэнергия, израсходованная за два дня? Задачу решите сами, а мы дадим только ответы: за 3 ч- 72руб; за 2ч- 48руб.
Деление
а (делимое) : b (делитель) = с (частное)
Законы деления:
1) а : 1 = а, так как а х 1 = а;
2) 0 : а =0, так как 0 х а = 0;
3) на 0 нельзя делить!
2224222 : 2222 = 1001
Закон деления суммы (разности) на число:
1) (а + b) : с = а : с + b : с, с не равно 0;
2) (а — b) : с = а : с -b : с, с не равно 0;
Пример: (4800 + 9300) : 300 = 4800 : 300 + 9300 : 300 = 16 + 31 + 47.
Закон деления произведения на число:
(а х b) :с = (а : с) х b = (b : с) х а, с не равно 0.
Пример: (125 х 27) : 25 = (125 : 25) х 27 = 5 х 27 = 135.
Свойства действий над числами
Переместительное и сочетательное свойство гласит, что в любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и произвольно объединять их в группы (от перемены мест слагаемых сумма не меняется!).
Распределительное свойство справедливо тогда, когда число умножается на сумму трех и более слагаемых.
4. Закрепление нового материала. (18 мин.)
5. Итоги урока. (3 мин.)
6. Домашнее задание. (2 мин.)
В нашей жизни есть законы, которые надо соблюдать. Соблюдение законов гарантирует стабильность и гармоничное развитие. Несоблюдение же законов приводит к печальным последствиям.
У математики есть свои законы, которые тоже следует соблюдать. Несоблюдение законов математики приводит в лучшем случае к тому, что оценка учащегося снижается, а в худшем случае приводит к тому, что падают самолёты, зависают компьютеры, улетают крыши домов от сильного ветра, снижается качество связи и тому подобные нехорошие явления.
Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства нам знакомы со школы. Но не мешает вспомнить их ещё раз, а лучше всего записать или выучить наизусть.
В данном уроке мы рассмотрим лишь малую часть законов математики. Их нам будет достаточно для дальнейшего изучения математики.
Переместительный закон сложения
Переместительный закон сложения говорит о том, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется. Действительно, прибавьте пятерку к двойке — получите семёрку. И наоборот, прибавьте двойку к пятерке — опять получите семёрку:
5 + 2 = 7
2 + 5 = 7
Если положить на одну чашу весов 10 килограмм яблок и на другую чашу так же положить 10 килограмм яблок, то весы выровнятся, и не важно, что яблоки в пакетах лежат вразброс. Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нём, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм. От перестановки мест слагаемых сумма не изменится. Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес.
Таким образом, между выражениями 5 + 2 и 2 + 5 можно поставить знак равенства. Это будет означать, что их сумма равна:
5 + 2 = 2 + 5
7 = 7
Полагаем что, вы изучили один из предыдущих уроков, который назывался выражения, поэтому мы без тени смущения запишем переместительный закон сложения с помощью переменных:
a + b = b + a
Записанный переместительный закон сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмём любых два числа. Пусть а = 2, b = 3. Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3 соответственно. Эти значения отправятся в главное выражение a + b = b + a и подставятся куда нужно. Число 2 подставится вместо а, число 3 место b
Сочетательный закон сложения
Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий. Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства их вычислений.
Рассмотрим сумму из трёх слагаемых:
2 + 3 + 5
Чтобы вычислить данное выражение, можно сначала сложить числа 2 и 3 и полученный результат сложить с числом 5. Для удобства сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, указывая тем самым, что эта сумма будет вычислена в первую очередь:
2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10
Либо можно сложить числа 3 и 5, затем полученный результат сложить с числом 2
2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10
Видно, что в обоих случаях получается один и тот же результат.
Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
10 = 10
Запишем сочетательный закон сложения с помощью переменных:
(a + b) + c = a + (b + c)
Переместительный закон умножения
Переместительный закон умножения говорит о том, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Давайте проверим так ли это. Умножим пятерку на двойку, а затем наоборот двойку на пятерку.
5 × 2 = 10
2 × 5 = 10
В обоих случаях получается один и тот же результат, поэтому между выражениями 5 × 2 и 2 × 5 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
5 × 2 = 2 × 5
10 = 10
Запишем переместительный закон умножения с помощью переменных:
a × b = b × a
Для записи законов в качестве переменных необязательно использовать именно буквы a и b. Можно использовать любые другие буквы, например c и d или x и y. Тот же переместительный закон умножения можно записать следующим образом:
x × y = y × x
Сочетательный закон умножения
Сочетательный закон умножения говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.
Рассмотрим следующее выражение:
2 × 3 × 4
Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Сначала можно перемножить числа 2 и 3, и полученный результат умножить на 4:
Либо сначала можно перемножить числа 3 и 4, и полученный результат перемножить с числом 2
Таким образом, между выражениями (2 × 3) × 4 и 2 × (3 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
Запишем сочетательный закон умножения с помощью переменных:
a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)
Пример 2. Найти значение выражения 1 × 2 × 3 × 4
Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим его слева направо в порядке следования действий:
Распределительный закон умножения
Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число или число на сумму.
Рассмотрим следующее выражение:
(3 + 5) × 2
Мы знаем, что сначала надо выполнить действие в скобках. Выполняем:
(3 + 5) = 8
В главном выражении (3 + 5) × 2 выражение в скобках заменим на полученную восьмёрку:
8 × 2 = 16
Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое, которое в скобках, нужно умножить на 2, затем сложить полученные результаты:
Мы рассмотрели распределительный закон умножения слишком развёрнуто и подробно. В школе этот пример записали бы очень коротко. К такой записи тоже надо привыкать. Выглядит она следующим образом:
(3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16
Или ещё короче:
(3 + 5) × 2 = 6 + 10 = 16
Теперь запишем распределительный закон умножения с помощью переменных:
(a + b) × c = a × c + b × c
Давайте внимательно посмотрим на начало этого распределительного закона умножения. Начало у него выглядит так: (a + b) × c.
Если рассматривать выражение в скобках (a + b), как единое целое, то это будет множимое, а переменная с будет множителем, поскольку соединены они знаком умножения ×
Из переместительного закона умножения мы узнали, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится.
Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c × (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для выполнения такого умножения, опять же применяется распределительный закон умножения. В данном случае переменную c нужно умножить на каждое слагаемое в скобках:
c × (a + b) = c × a + c × b
Пример 2. Найти значение выражения 5 × (3 + 2)
Умножим число 5 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:
5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25
Пример 3. Найти значение выражения 6 × (5 + 2)
Умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:
6 × (5 + 2) = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42
Если в скобках располагается не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. Затем из полученного первого числа вычесть второе число. В принципе, ничего нового.
Пример 4. Найти значение выражения 5 × (6 − 2)
Умножим 5 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:
5 × (6 − 2) = 5 × 6 − 5 × 2 = 30 − 10 = 20
Пример 5. Найти значение выражения 7 × (3 − 2)
Умножим 7 на каждое число в скобках. Затем из полученного первого числа вычтем второе число:
7 × (3 − 2) = 7 × 3 − 7 × 2 = 21 − 14 = 7
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:
3 × (7 + 8)
Решение:
3 × (7 + 8) = 3 × 7 + 3 × 8 = 21 + 24 = 45
Задание 2. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:
5 × (6 + 8)
Решение:
5 × (6 + 8) = 5 × 6 + 5 × 8 = 30 + 40 = 70
Задание 3. Найдите значение выражения, используя порядок выполнения действий:
4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)
Решение:
Задание 4. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:
4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)
Решение:
4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) = 4 × 5 + 4 × 4 + 9 × 3 + 9 × 2 = 20 + 16 + 27 + 18 = 81
Задание 5. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:
16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1)
Решение:
16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1) = 16 × 2 + 16 × 7 + 5 × 4 + 5 × 1 = 32 + 112 + 20 + 5 = 169
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям
Определение
Множество действительных чисел является объединением множеств рациональных и иррациональных чисел. Буква R является обозначением рассматриваемого множества. Множество R представляется промежутком вида (-∞;+∞).
Замечание
Стоит заметить, что любое рациональное число всегда может принимать вид бесконечной десятичной периодической дроби, любое иррациональное число бесконечной десятичной непериодической дроби, исходя из вышесказанного следует вывод, что множество, включающее в себя конечные и бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби принадлежит множеству R.
Геометрическая модель действительных чисел
Координатная прямая непосредственно представляет собой геометрическую модель множества R. Следовательно, каждой точке на координатной прямой всегда можно поставить в соответствие некоторое действительное число.
Сравнение действительных чисел
Сравнение действительных чисел можно производить воспользовавшись либо геометрической моделью, либо их можно сравнивать аналитически. Рассмотрим оба способа сравнения. На координатной прямой расположено в произвольном порядке два числа. Определить, какое из них больше достаточно просто. Большее число всегда находится правее другого.
Аналитически определись какое число является большим или меньшим какого либо числа тоже возможно, для этого достаточно найти разность этих чисел и затем сравнить ее с нулем. Если полученная разность будет иметь положительный знак, то первое число (уменьшаемое разности) будет больше чем второе число (вычитаемое разности); если же разность будет иметь отрицательный знак, то первое число (уменьшаемое разности) будет меньше, чем второе число (вычитаемое разности).
Ниже рассмотрим примеры, демонстрирующие оба способа сравнения:
Пример 1
Сравнить числа frac185 и 4.
Решение
Для сравнения данных чисел найдем разность этих чисел.
frac185-4=frac185-frac205=-frac25 чтобы вычислить данную разность, надо привести данные числа к общему знаменателю, воспользовавшись правилом приведения к общему знаменателю. Проделав данную операцию, видим, что знаменатель в данном примере равен 5. После этого опираясь на правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем, вычтем из числителя первой дроби числитель второй дроби, а знаменатель оставим прежним. Обратим внимание, что разность приведенных чисел является отрицательной, значит первое число (уменьшаемое) меньше второго (вычитаемого), т. е. frac185 <4.
Пример 2
Сравнить числа frac185 и 4 с помощью координатной прямой.
Решение
Чтобы сравнить данные числа, следует определить геометрическое место точек этих чисел на координатной прямой. Т.е. сравниваемые действительные числа будут соответствовать определенным координатам на координатной прямой, а именно числам frac185 и 4 . Для начала преобразуем неправильную дробь frac185 в смешанное число т.е. выделим целую часть, следовательно, получим 3frac35.
Далее на координатной прямой отметим точки, координаты которых будут равны 3frac35 и 4. frac185 содержит в себе 3 целых, значит данное число расположено левее 4. Как уже известно, меньшее число лежит левее, исходя из этого напрашивается вывод, что frac185 <4.
Можно сделать вывод, что вне зависимости от внешнего вида сравнения действительных чисел можно реализовать все арифметические операции, а именно сложение, вычитание, умножение и деление. Однако перед выполнением действий с действительными числами следует учитывать исходные знаки данных чисел т.е. определить является каждое число положительными или отрицательными.
Сложение действительных чисел
Чтобы сложить два действительных числа с одинаковыми знаками следует сначала сложить их модули и затем перед суммой поставить их общий знак. Например:
(+8)+(+2)=+10; (-5)+(-4)=-9.
Чтобы сложить два действительных числа с разными знаками следует для начала обратить внимание на знак числа, если знак одного из чисел отрицательный, тогда это число следует вычитать из другого, если положительный – сложить с другим. Далее нужно сложить либо вычесть данные числа и поставить знак большего модуля. Например
(+2)+(-7)=-5; (+10)+(-4)=+6.
Вычитание действительных чисел
Вычитание действительных чисел можно представить в виде сложения: a-b = a + (-b), то есть, чтобы вычесть из числа а число b, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
Например: (+5)-(-7)=(+3)+(+7)=12; (+6)-(+4)=(+6)+(-4)=+2.
Умножение действительных чисел
Чтобы умножить (разделить) два действительных числа необходимо умножить (разделить) их модули. И затем перед результатом поставить знак по приведенному в таблице правилу знаков ниже.
При умножении и делении действительных чисел желательно помнить пословицу: «Друг моего друга — мой друг, враг моего врага — мой друг, друг моего врага — мой враг, враг моего друга — мой враг».
Например:
(+2)(+7) = +14 ; (-2)(+6) = -12 ;(-2)(-8) = 16 ;
Свойства арифметических действий над действительными числами (основные законы алгебры)
В алгебре существуют так называемые основные законы алгебры. Они практически всегда принимаются за истину (случаи ложности данных законов не рассматриваем) и сформулированы в виде следующих свойств-тождеств:
- a + b = b + a ;
- (a + b) + c = a + (b + c) ;
- a + 0 = a ;
- a + (-a) = 0 ;
- ab = ba ;
- (ab)c = a(bc) ;
- a(b + c) =ab + ac ;
- a·1=a ;
- a·0=0 ;
- a · 1a = 1, (a≠0).
Свойства 1 и 5 выражают переместительный закон (коммутативность) сложения и умножения соответственно;
Cвойства 2 и 6 выражают сочетательный закон (ассоциативность);
Cвойство 7 — распределительный закон (дистрибутивность) умножения относительно сложения;
Cвойства 3 и 8 указывают на наличие нейтрального элемента для сложения и умножения соответственно;
Cвойства 4 и 10 – на наличие нейтрализующего элемента соответственно.