Какие есть свойства арифметических действий
Сочетай, перемещай, свойства действий
узнавай
Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.
Свойства сложения
Переместительный закон сложения
Сумма не изменяется от перестановки слагаемых .
Пример:
3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:
a+b=b+a
a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.
Сочетательный закон сложения
Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .
Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.
Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:
a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа
Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …
Свойство сложения разности чисел
Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.
Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.
Свойство вычитания разности из числа
Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.
Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.
Свойства умножения
Переместительный закон умножения
Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …
Сочетательный закон умножения
Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .
Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.
Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.
Умножение числа на произведение чисел
Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.
Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.
Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.
Умножение числа на сумму чисел
Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.
Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …
В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.
Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …
Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.
Распределительный закон умножения для разности чисел
Распределительный закон можно применять и к разности.
Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;
7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.
Вообще:
(а — b)с = ас — bc,
а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.
Свойства деления
Деление суммы на число
Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:
Например:
(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)
Деление разности на число
Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:
(20-8)/5= 20/5 — 8/5
Вообще:
(a-b)/c = (a/c) -(b/c)
Деление произведения на число
Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:
(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:
(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.
Деление числа на произведение
Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:
120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.
Вообще:
а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.
Укажем еще следующее свойство деления:
Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3
Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b
Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.
Комментирование и размещение ссылок запрещено.
На этом уроке вы повторите все, что знаете об арифметических действиях. Вам уже известны четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение, деление. Также на этом уроке мы рассмотрим все правила, связанные с ними, и способы проверки вычислений. Вы узнаете о свойствах сложения и умножения, рассмотрите особые случаи различных арифметических действий.
Повторение сложения
Сложение обозначают знаком «+». Выражение, в котором числа соединены знаком «+», называют суммой. Каждое число имеет название: первое слагаемое, второе слагаемое. Если выполнить действие сложения, то получим значение суммы.
Например, в выражении:
– это первое слагаемое, – второе слагаемое.
Значит, значение суммы равно .
Особые случаи сложения
Вспомним особые случаи сложения c числом 0:
Если одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому.
Задание 1: нахождение суммы
Найдите значение суммы:
1.
2.
Решение
Если одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому, поэтому получаем:
1.
2.
Ответ: 1. 237; 2. 541.
Свойства сложения
Повторим два свойства сложения.
Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не изменяется.
Например:
Сочетательное свойство сложения: два соседних слагаемых можно заменять их суммой.
Например:
Используя эти два свойства, слагаемые можно переставлять и группировать любыми способами.
Задание 2: вычисление значения суммы
Вычислить удобным способом:
Решение
Рассмотрим слагаемые этого выражения. Определим, есть ли такие, при сложении которых получится круглое число.
Воспользуемся переместительным свойством сложения – переставим второе и третье слагаемое.
Воспользуемся группировкой первого и второго слагаемых, третьего и четвертого слагаемых.
Ответ: 130.
Повторение вычитания
Вычитание обозначают знаком «-». Числа, соединенные знаком минус, образуют разность.
Каждое число имеет название. Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым. Число, которое вычитают, называется вычитаемым.
Если выполнить действие вычитание, то получим значение разности.
Особые случаи умножения
Если один из двух множителей равен единице, то значение произведение равно другому множителю.
Если один из множителей равен нулю, то значение произведения равно нулю.
Особые случаи вычитания
Если из числа вычесть ноль, то получится число, из которого вычитали.
Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то разность равна нулю.
Задание 3: вычисление значения разности
Вычислите удобным способом:
1.
2.
Решение
В первом выражении из числа вычитают ноль. Соответственно, получится число, из которого вычитали.
1.
Во втором выражении уменьшаемое и вычитаемое равны, соответственно, разность равна нулю.
2.
Ответ: 1. 1864; 2. 0.
Известно, что сложение и вычитание – это взаимообратные действия.
Задание 4: выполнение проверки исчислений
Выполните проверку вычислений:
1.
2.
Решение
Проверим, верно ли выполнено сложение. Известно, что если из значения суммы вычесть значение одного из слагаемых, то получится другое слагаемое. Вычтем из значения суммы первое слагаемое:
Сравним полученный результат со вторым слагаемым. Числа одинаковые. Значит, вычисления были выполнены верно.
Также можно было вычесть из значения суммы второе слагаемое.
Сравним полученный результат с первым слагаемым. Числа равны, значит, вычисления выполнены верно.
Проверим, верно ли выполнено вычитание. Известно, если к значению разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое. Прибавим к значению разности вычитаемое:
Полученный результат и уменьшаемое совпадают, то есть вычитание было выполнено верно.
Есть другой способ проверки. Если из уменьшаемого вычесть значение разности, получится вычитаемое. Проверим вычитание вторым способом.
Полученный результат совпадает с вычитаемым, значит, значение разности было найдено верно.
Ответ: 1. верно; 2. верно.
Повторение умножения
Для обозначения действия умножения используют два знака: «», «». Числа, соединенные знаком умножения, образуют произведение.
Каждое число имеет название: первый множитель, второй множитель.
Например:
При этом – это первый множитель, – второй множитель.
Также известно, что умножение заменяет сумму одинаковых слагаемых.
Первый множитель показывает, какое слагаемое повторяется. Второй множитель показывает, сколько раз повторяется это слагаемое.
Если выполнить действие умножения, получим значение произведения.
Задание 5: нахождение значения выражения
Найти значение выражений:
1.
2.
Решение
Рассмотрим первое произведение. Первый множитель равен единице, значит, произведение равно другому множителю.
Рассмотрим второе произведение. Второй множитель равен нулю, значит, значение произведения равно нулю.
Ответ: 1. 365; 2. 0.
Свойства умножения
Переместительное свойство умножения.
От перестановки множителей произведение не изменяется.
Сочетательное свойство умножения.
Два соседних множителя можно заменять их произведением.
Используя эти два свойства, множители можно переставлять и группировать любыми способами.
Распределительное свойство умножения.
При умножении суммы на число можно умножить на него каждое слагаемое в отдельности и полученные результаты сложить.
Задание 6: вычисление значения произведения
Вычислите удобным способом:
Решение
Рассмотрим внимательно множители. Определим, есть ли такие, при умножении которых получается круглое число.
Воспользуемся перестановкой множителей, а затем сгруппируем их.
Ответ: 2100.
Повторение деления
Для обозначения действия деления используют следующие знаки:
Числа, соединенные знаком деления, образуют частное. Первое число в записи – то, которое делят, – называют делимым. Второе число в записи – то, на которое делят, – называют делителем.
Если выполнить действие деления, получим значение частного.
Умножение и деление – это взаимообратные действия.
Задание 7: выполнение проверки исчислений
Выполните проверку исчислений:
1.
2.
Решение
Известно, что, если значение произведения разделить на один из множителей, получится второй множитель.
Для проверки правильности умножения разделим произведение на первый множитель.
Полученный результат совпадает со вторым множителем, значит, умножение было выполнено верно.
Также можно значение произведения разделить на второй множитель.
Полученное значение частного совпадает со значением первого множителя. Значит, умножение выполнено верно.
Проверим правильность деления умножением. Если значение частного умножить на делитель, получится делимое.
Умножим значение частного на делитель.
Сравним полученный результат с делителем. Числа совпадают, значит, деление выполнено верно.
Результат деления можно проверить и другим способом.
Если делимое разделить на значение частного, получится делитель.
Результат совпадает с делителем. Значит, деление выполнено верно.
Ответ: 1. верно; 2. верно.
Правила деления
Если ноль разделить на любое другое число, получится ноль.
На ноль делить нельзя.
Если число разделить на 1, то получится число, которое делили.
Если делимое и делитель равны, то частное равно одному.
Заключение
На этом уроке мы вспоминали следующие арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление. Также мы повторили различные свойства данных действий и особые случаи, связанные с ними.
Список литературы
- Волкова. С.И. Математика. Проверочные работы 4 класс к учебнику Моро М.И, Волкова С.И. 2011. – М.: Просвещение, 2011.
- Моро М.И. Математика. 4 класс. В 2-х ч. Часть 1. – М.: Просвещение, 2011.
- Моро М.И. Математика. 4 класс. В 2-х ч. Часть 2. – М.: Просвещение, 2011.
- Рудницкая В.Н. Тесты по математике. 4класс. К учебнику Моро М.И. 2011. – М.: Экзамен, 2011.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Mat-zadachi.ru (Источник).
- Videouroki.net (Источник).
- Festival.1september.ru (Источник).
Домашнее задание
- Учебник: Волкова. С.И. Математика. Проверочные работы 4 класс к учебнику Моро М.И, Волкова С.И. 2011. – М.: Просвещение, 2011.
- Проверочная работа № 1 Вариант 1 стр. 6.
- Учебник: Рудницкая В.Н. Тесты по математике. 4 класс. К учебнику Моро М.И. 2011. – М.: Экзамен, 2011.
- Упр. 11 стр. 9.
- Переместительное свойство умножения
- Сочетательное свойство умножения
- Распределительное свойство умножения
Переместительное свойство умножения
От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.
Следовательно, для любых чисел a и b верно равенство:
a · b = b · a
выражающее переместительное свойство умножения.
Примеры:
6 · 7 = 7 · 6 = 42
4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24
Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.
Сочетательное свойство умножения
Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.
Следовательно, для любых чисел a, b и c верно равенство:
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
выражающее сочетательное свойство умножения.
Пример:
3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30
или
3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30
Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:
25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500
В данном случае можно было вычислить всё последовательно:
25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500
но проще и легче сначала умножить 25 на 4 и получить 100, а уже потом умножить 100 на 15.
Распределительное свойство умножения
Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:
Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
m · (a + b) = m · a + m · b
выражающее распределительное свойство умножения.
Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
(a + b) · m = a · m + b · m
Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:
Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
m · (a — b) = m · a — m · b
Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
(a — b) · m = a · m — b · m
Переход от умножения:
m · (a + b) и m · (a — b)
соответственно к сложению и вычитанию:
m · a + m · b и m · a — m · b
называется раскрытием скобок.
Переход от сложения и вычитания:
m · a + m · b и m · a — m · b
к умножению:
m · (a + b) и m · (a — b)
называется вынесением общего множителя за скобки.
| № | Название свойства (правила) | Математическая запись | Формулировка свойства (правила) |
| Переместительное свойство сложения | А + В = В + А | От перестановки слагаемых значение суммы не меняется (о перестановке слагаемых) | |
| Прибавление нуля | А + 0 = А | ||
| Сочетательное свойство сложения | (А + В) + С = А + (В + С) | Если при сложении нескольких чисел сумму рядом стоящих слагаемых заменить её значением, значение общей суммы не изменится (о группировке слагаемых, о перестановке скобок) | |
| Переместительное свойство умножения | А * В = В * А | От перестановки множителей значение произведения не изменится (о перестановке множителей) | |
| Умножение единицы и на единицу, деление на единицу | 1 * А = А А * 1 = А А : 1 = А | ||
| Умножение нуля и на нуль | 0 * А = 0 А * 0 = 0 | ||
| Сочетательное свойство умножения | (А * В) * С = А * (В * С) | Если при умножении нескольких чисел произведение рядом стоящих множителей заменить его значением, значение общего произведения не изменится (о группировке множителей, о перестановке скобок) | |
| Невозможность деления на нуль | А : 0 | ||
| Распределительное свойство умножения относительно сложения | А*(В + С) = А* В + А* С (А + В)*С = А*С + В*С | Значение произведения суммы на число не изменится, если на него умножить каждое слагаемое и полученные результаты сложить | |
| Распределительное свойство умножения относительно вычитания | А* (В – С) + А*В – А*С (А – В)*С = А*С – В*С | ||
| Монотонность сложения | А = В А + С = В + С | ||
| Монотонность умножения | А = В А*С = В*С |
Приложение № 3
Программа М.И. Моро и др. УМК «Школа России», 2класс, концентр «Сотня», раздел: «Арифметические действия», тема: «Умножение и деление»
Логико–математический анализ темы урока: «Деление»
1.Определения смысла деления с позиции математики
В курсе математики существуют различные трактовки конкретного смысла действия деления. Это связано с тем, что трактовки определений смысла деления могут основываться на различных математических теориях: аксиоматической, теории множеств, теории скалярных величин. Рассмотрим эти определения:
а) при аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление определяется как операция, обратная умножению. Поэтому между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если a*b=c, то, зная произведение c и один из множителей, можно при помощи деления найти другой множитель.
Определение: Делением натуральных чисел a и b называется операция, удовлетворяющая условию: a: b=c тогда и только тогда, когда b*c=a.
б) с точки зрения теории множеств деление чисел связывается с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решаются две задачи: отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения (деление на равные части) и отыскание числа таких подмножеств (деление по содержанию).
Определение: Если a=n(A) и множество A разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:
b – число элементов в каждом подмножестве, то частное a: b – это число таких подмножеств;
b — число подмножеств, то частное a: b — это число элементов в каждом подмножестве.
в) с точки зрения теории скалярных величин деление натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице величины, более крупной.
Определение: если натуральное число a – мера величины X при единице величины E , а натуральное число b – мера новой единицы величины E1 при единице величины E , то частное a: b – это мера величины X при единице величины E1:
a: b=mE(X): mE(E1)=mE1(X)
2. Анализ методического подхода к изучению конкретного смысла деления в начальном курсе математики
В программе М.И.Моро и др. УМК «Школа России» при изучении конкретного смысла деления за основу берется теоретико – множественный подход. С точки зрения этого подхода конкретный смысл деления раскрывается как связь между операцией разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и действием деления. Изучение смысла действия деления осуществляется последовательно через анализ младшими школьниками разного рода ситуаций, связанных с выполнением операции разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества. Сначала ученикам предлагаются ситуации, связанные с выполнением операции разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества с заданным числом элементов и неизвестным количеством этих подмножеств (на примерах задач на деление по содержанию). Затем, предлагаются ситуации, связанные с выполнением операции разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества с неизвестным числом элементов и заданным количеством этих подмножеств (на примере задач на деление на равные части). В учебнике не дается явного определения смысла деления, авторы используют контекстуальный способ неявного определения (через анализ ситуаций). Такой способ определения позволяет учащимся понять, что деление – это арифметическое действие, которое связано с разбиением групп предметов поровну (на равные части). При ознакомлении со смыслом деления используется индуктивный путь познания, поэтому чтобы ученики смогли выделить и понять существенные признаки деления необходимо рассмотреть достаточное количество разнообразных ситуаций.
Психолого – дидактический анализ знания
Предмет усвоения: знание конкретного смысла деления
Существенные признаки:
Термин: деление
Родовое отношение: арифметическое действие
Видовой признак: действие, связанное с разбиением групп предметов поровну (на равные части)
Несущественные признаки:
фабула (сюжет рассматриваемых ситуаций),
числовые характеристики (число элементов множества, число элементов в каждом из равночисленных подмножеств, количество подмножеств)
Средства усвоения:
знания: конкретного смысла вычитания, конкретного смысла умножения;
умения: практически выполнять операцию разбиения множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и находить численность разбиения.
Этап усвоения: восприятие, осмысление
Действие, направленное на формирование знания конкретного смысла деления:
умение устанавливать связь между операцией разбиения множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и действием деления.
Дата добавления: 2015-10-19; просмотров: 2808 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов
Читайте также:
Рекомендуемый контект:
Поиск на сайте:
© 2015-2020 lektsii.org — Контакты — Последнее добавление