Какие цифры содержатся в пятеричной системе счисления

=============================================================================================================

Немного истории

Счёты — это первое простейшее устройство для вычислений. Почти с начала 19 века счёты не меняются и становятся такими, какими мы их видим сегодня, а в дальнейшем совершенствуются в основном разве что внешне, с точки зрения удобства пользования и вплоть до 70-х годов ХХ-века являлись наиболее массовым вспомогательным вычислительным устройством. Начиная с 70-х годов с ними начинают конкурировать электронные калькуляторы, счеты и в наше время ещё можно встретить, хотя уже очень редко.

Русские счеты, XVI в. с десятичной системой счисления создаются примерно в это время.Ранее считалось, что русские счеты ведут свое происхождение от китайского суаньпаня, и только лишь в начале 50-х годов прошлого столетия ленинградский ученый И.Г. Спасский убедительно показал что это русское, так как у этого прибора, во-первых, горизонтальное расположение спиц с косточками и, во-вторых, для представления чисел использована десятичная , а не пятеричная система счисления. (Помните как в сказке Конёк-горбунок царь спрашивает Ивана-дурочка: » Что в замен хотишь добра» и тот отвечает:» Два-пять шапок серебра». ) Десятичный строй счетов — довольно веское основание для того, чтобы признать временем возникновения этого прибора XVI век, когда десятичный принцип счисления был впервые применен в денежном деле России.

Широкое использование в торговле невиданного на Западе счетного инструмента отмечали в XVII—XVIII столетиях многие иностранцы. Английский капитан Перри, находившийся в России с 1698 по 1712 год и издавший по возвращению на родину книгу в которой он писал:“Для счета они (русские) пользуются изобретенным ими особым прибором с нанизанными на проволочные прутья шариками от четок или бусами, который они устраивают в ящике или небольшой раме, … Передвигая туда и сюда шарики, они справляются с делением и умножением разных сумм…”
Счёты в то время уже представляли лишь одно счетное поле, на спицах которого размещались либо 10, либо 4 косточки (спица с 4 четками — это дань “полушке”, русской денежной единице в 1/4 копейки).

Пятеричная система счисления

Число в пятеричной системе изображается пятью цифрами: 0, 1, 2, 3, 4. В этой системе цифра 4 — наибольшая (как 9 — в десятичной), единица высшего разряда не в 10, а в 5 раз больше единицы низшего.
Единица второго разряда — это пять.
Единица третьего разряда — «25», так как 5•5=25
Единица четвертого разряда — «125», так как 25•5=125
Единица пятого разряда — «625», так как 125•5=625 и т.д.
При изображении числа в пятеричной системе счисления, на первом месте справа стоят простые единицы (не свыше 4), на втором — не десятки, а пятерки, на третьем — не сотни, а «25» и т.д.

Пример:
Число 139 изобразить в пятеричной системе.
Делим 139 на 5, чтобы узнать, сколько в нем единиц первого разряда:
139:5=27, остаток 4. Значит, число простых единиц будет 4.
Далее, 27 пятёрок не могут стоять все во втором разряде, т.к. высшая цифра в пятеричной системе — 4, и больше 4 единиц ни в одном разряде быть не должно, делим 27 на 5 (27:5=5, остаток 2), значит это показывает, что во втором разряде («5») будет цифра 2.
В третьем разряде («25») — цифра 4.
Итак: 139 = 5•25 + 2•5 + 4 или в пятеричной системе 524.

Десятичная система счисления

Современная десятичная система счисления это десять цифр – от 0 до 9.

Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Десять пальцев рук – вот аппарат для счета, которым человек пользуется с доисторических времен.

Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 – углов нет, 2 – два угла и т.д.

Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

Наряду с появлением письменности, возникновение и развитие десятичной системы счисления явилось одним из важнейших достижений человечесва.

Источник

Рассмотрим два основных арифметических действия: сложение и умножение в различных
системах счисления.

Пятеричная система счисления

Сложение

Составим таблицу сложения для пятеричных цифр (будем использовать ее при
сложении чисел в «столбик»).

0	1	2	3	4
1	2	3	4	10
2	3	4	10	11
3	4	10	11	12
4	10	11	12	13

Найдем 2345 + 3125. Складывать будем поразрядно в «столбик»,
используя таблицу сложения, аналогично десятичной системе счисления.
Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно (по позициям) справа налево.

Вычитание

Используя таблицу сложения можно также и вычитать числа в пятеричной системе счисления:

0	1	2	3	4
1	2	3	4	10
2	3	4	10	11
3	4	10	11	12
4	10	11	12	13

Найдем 2035 345. Вычитать будем поразрядно в «столбик»,
используя таблицу сложения, аналогично десятичной системе счисления.
Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно (по позициям) справа налево.

Сложение и вычитание можно выполнять и не используя таблицу сложения.

Необходимо помнить:

при сложении чисел в пятеричной системе счисления,
единицу в старший разряд мы переносим, когда в сумме получилось не 10, а 5!
при вычитании в старшем разряде мы занимаем не 10, а 5 единиц.

Если выполнение операций сложения и вычитания поручить формальному исполнителю,
например компьютеру, тогда необходимо хранить в его памяти таблицу сложения, т.е.
5*5=25 ячеек памяти будет занято под таблицу.

Умножение

Составим таблицу умножения для пятеричной системы
счисления (цифру 0 не включаем, т.к. умножение на 0 всегда равно 0).

1	2	3	4
2	4	11	13
3	11	14	22
4	13	22	31

Найдем 135 * 245. Умножать будем в «столбик»,
используя таблицу умножения, аналогично десятичной системе счисления.
Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно (по позициям) справа налево.

Вывод:

Для выполнения арифметических операций в
пятеричной системе счисления необходимо запомнить
25 правил сложения и 16 правил для умножения. .

Столько правил необходимо было бы «запомнить» компьютеру, если бы он работал в
пятеричной системе счисления.
Сравните с «нашей» десятичной системой счисления:
10*10 = 100 правил сложения и 9*9 = 81 правило умножения!

Двоичная система счисления

Составим таблицы сложения и умножения для двоичной системы счисления.

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1

Вывод:

Для выполнения арифметических операций в
двоичной системе счисления необходимо запомнить всего
4 правила сложения и 1 правило умножения. .

Вот еще один аргумент за то, что вся информация в памяти компьютера храниться в
двоичном коде (в виде 0 и 1).

Рассмотрим примеры сложения и вычитания в двоичной системе счисления.

Необходимо помнить:

при сложении чисел в двочной системе счисления,
единицу в старший разряд мы переносим, когда в сумме получилось не 10, а 2!
при вычитании в старшем разряде мы занимаем не 10, а 2 единицы.

Троичная система счисления

Заполните самостоятельно таблицы сложения и умножения для троичной системы
счисления.

Источник

АЛГОРИТМ
ПЕРЕВОДА ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА В СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ С ОСНОВАНИЕМ р.

Пример.
Перевести десятичное число 18 в пятеричную систему (используются только
пять цифр — 0, 1, 2, 3, 4).

Составим
таблицу (как её составить — смотри здесь):

Десятичное число		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Пятеричное число		1	2	3	4	10	11	12	13	14	20	21	22	23	24	30	31	32	33

Получается, что числу 1810 соответствует число 335.

Заметим, что 105 соответствует 510. Иначе:
число 335 показывает, сколько раз основание новой системы
счисления (5) «помещается» в десятичном числе:

18 : 5 = 3 — цифра второго разряда пятеричного числа.
При делении 18 на 5 получается остаток 3 — это вторая цифра пятеричного
числа.

Проверим получившийся вывод, переведём число 2410
в пятеричную систему с помощью деления десятичного числа на новое
основание системы — 5:

Какие цифры содержатся в пятеричной системе счисления , т.е.
2410 = 445.

А теперь составим таблицу:

Десятичное число		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Пятеричное число		1	2	3	4	10	11	12	13	14	20	21	22	23	24	30	31	32	33	34	40	41	42	43	44

Переведём этим же способом число 4610 в
пятеричную систему:

Какие цифры содержатся в пятеричной системе счисления ,
т.е. 4610 = 1415.

Десятичное число		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46
Пятеричное число		1	2	3	4	10	11	12	13	14	20	21	22	23	24	30	31	32	33	34	40	41	42	43	44	100	101	102	103	104	110	111	112	113	114	120	121	122	123	124	130	131	132	133	134	140	141

Перевод в новую систему с помощью деления на
основание новой системы удобнее записывать так:

Какие цифры содержатся в пятеричной системе счисления

Здесь цифра 2 — остаток от деления числа 7710
на основание новой системы (число 5) — самая младшая цифра
пятеричного числа, цифры 0 и 3 — последовательные остатки от деления
получившихся неполных частных. Последняя получившаяся цифра 3
(частное получается равным 0) — самая старшая цифра пятеричного
числа.

Попробуем
этим же способом перевести, например, число 3910 в
шестеричную систему (используются только шесть цифр: 0, 1, 2, 3, 4,
5) и проверим этот результат с помощью таблицы:

	Десятичное число		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
	Шестеричное число		1	2	3	4	5	10	11	12	13	14	15	20	21	22	23	24	25	30	31	32	33	34	35	40	41	42	43	44	45	50	51	52	53	54	55	100	101	102	103

ПРАВИЛО
ПЕРЕВОДА ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА В p-ичное:

Чтобы
перевести десятичное число (основание системы — 10, используется
десять цифр) в систему с основанием p
надо:

последовательно делить сначала число на новую систему, а потом
получающиеся частные, пока частное не станет равным 0.

Получившиеся остатки от каждого деления выпишем последовательно,
«снизу вверх».

С КАКИМИ СИСТЕМАМИ СЧИСЛЕНИЯ БУДЕМ ИМЕТЬ ДЕЛО ЧАЩЕ ВСЕГО:

Какие цифры содержатся в пятеричной системе счисления

ПРИМЕРЫ ПЕРЕВОДА ДЕСЯТИЧНОГО
ЧИСЛА В ДВОИЧНОЕ, ВОСЬМЕРИЧНОЕ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЕ:

Какие цифры содержатся в пятеричной системе счисления

*1110 = В16
(см. таблицу выше).

Источник

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

Системы счисления бывают:

непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа);
позиционными (значение цифры зависит от позиции).

Непозиционные системы счисления

Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.

Позиционные системы счисления

Основание системы счисления —

количество различных цифр, используемых в этой системе.

Вес разряда —

отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде

pi = si,

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

Перевод в десятичную систему счисления

По определению веса разряда

pi = si,

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Тогда, обозначив цифры числа как ai, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

x = ansn + an-1sn-1 + … + a2s2 + a1s1 + a0s0 + a-1s-1 + …

Например, для системы счисления с основанием 4:

1302.24 = 1⋅43 + 3⋅42 + 0⋅41 + 2⋅40 + 2⋅4-1

Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:

1302.24 = 1⋅43 + 3⋅42 + 0⋅41 + 2⋅40 + 2⋅4-1 =

= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =

= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

пронумеровать разряды исходного числа;
записать сумму, слагаемые которой получаются как произведения очередной цифры на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда;
выполнить вычисления и записать полученный результат (указав основание новой системы счисления — 10).

Примеры:

Перевод из десятичной системы счисления

Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:

13024 = 1⋅43 + 3⋅42 + 0⋅41 + 2⋅40 = 114

Иначе это можно записать так:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 13024

Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно

(1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0

Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.

В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

Выполнить последовательное деление с остатком исходного числа и каждого полученного частного на основание новой системы счисления.
Записать вычисленные остатки, начиная с последнего (т.е. в обратном порядке)

Примеры:

Системы счисления с кратными основаниями

При работе с компьютерами широко применяют двоичную систему счисления (поскольку на ней основано представление информации в компьютере), а также восьмеричную и шестнадцатеричную, запись в которых более компактна и удобна для человека. С другой стороны, благодаря тому что 8 и 16 — степени 2, переход между записью в двоичной и одной из этих систем осуществляется без вычислений.

Достаточно заменить каждый разряд шестнадцатеричной записи четырьмя (16=24) разрядами двоичной (и наоборот) по таблице.

Примеры:

Аналогично происходит и перевод между двоичной и восьмеричной системой, только разряд восьмеричной соответствует трем разрядам двоичной (8=23)

Примеры:

Арифметические операции в позиционной системе с любым основанием производятся по одним и тем же правилам: сложение, вычитарние и умножение «в столбик», а деление — «уголком». Рассмотрим пример выполнения действий сложения и вычитания в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Сложение

Двоичная система:

В нулевом разряде: 1 + 0 = 0

В первом разряде: 1 + 1 = 2. 2 переносится в старший (2-й) разряд, обращаясь в единицу переноса. В первом разряде остается 2 — 2 = 0.

Во втором разряде: 0 + 1 + 1 (перенос) = 2; Переносим в старший разряд,

В третьем разряде: 1 + 1 + 1 (перенос) = 3; В старший разряд переносим 2, здесь остается 3 — 2 = 1.

Продолжая вычисления, получим:

100110112 + 10011102 = 111010012

Восьмеричная система:

Выполняем вычисления аналогично двоичной системе, но в старший разряд переносим 8. Получаем:

342618 + 44358 = 407168

Шестнадцатеричная система:

A39116 + 853416 = 128C516

Вычитание

Двоичная система:

В нулевом разряде: 1 — 0 = 1

В первом разряде: 1 — 1 = 0.

Во втором разряде: 0 — 1; необходимо занять единицу старшего разряда. Поскольку веса разрядов двоичной системы отличаются в 2 раза: 2 + 0 — 1 = 1

Из третьего разряда занимали единицу, там остался 0, поэтому вновь нужно занимать из старшего разряда.

Продолжая вычисления, получим:

100110112 — 10011102 = 10011012

Восьмеричная система:

Выполняем вычисления аналогично двоичной системе, но, занимая из старшего разряда, получаем 8. В результате:

342618 — 44358 = 276248

Шестнадцатеричная система:

A39116 — 853416 = 1E3D16

<продолжение следует>

Типовые задания по теме «Системы счисления»

А-1. Перевод чисел между десятичной системой счисления и системами с другими основаниями
А-2. Перевод чисел между системами счисления с основаниями 2, 8 и 16
А-3. Арифметика позиционных систем счисления

Задания представлены в формате PDF.

Источник

Системы счисления — это способы записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций. Для записи чисел используют специальные знаки, называемые цифрами. Системы счисления, в которых значение цифры зависит от ее месторасположения (позиции) в записи числа, называют позиционными.

В позиционной системе счисления места, на которых стоят цифры в числе, называют разрядами. Разряды нумеруются справа налево. Определенное количество единиц одного разряда составляют единицу следующего, соседнего слева разряда. В настоящее время общепринята позиционная система счисления, называемая десятичной, так как в ней 10 единиц одного разряда составляют единицу следующего разряда. Число 10 является основанием десятичной системы счисления.

В десятичной системе для записи чисел используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Разряды в десятичной системе счисления имеют свои названия. Например, число 7392 состоит из 7 тысяч, 3 сотен, 9 десятков и 2 единиц:

7392 = 7000 + 300 + 90 + 2 = 7 · 103 + 3 · 102 + 9 · 10 + 2.

Запишем это число в разрядную таблицу.

4 разряд Тысячи	3 разряд Сотни	2 разряд Десятки	1 разряд Единицы
7	3	9	2

Возможны и другие позиционные системы счисления. Можно считать не десятками, а, например, пятерками. Тогда 5 единиц первого разряда будут составлять одну единицу второго, а 5 единиц второго — одну единицу третьего разряда и т.д. В этом случае имеем систему счисления с основанием 5, ее называют пятеричной системой счисления.

3 разряд	2 разряд	1 разряд
1 — это 5 единиц первого разряда	1 — это 5 единиц нулевого разряда	1

Для записи чисел в пятеричной системе достаточно иметь пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4.

Возможны также двоичная, троичная, двенадцатеричная и другие системы счисления.

Чтобы не смешивать числа, записанные в различных системах, принято правее и несколько ниже последней цифры писать основание системы. Например, числа 2145, 10112, 29912 записаны соответственно в пятеричной, двоичной и двенадцатеричной системах. Это значит, что

2145 = 2 · 52 + 1 · 5 + 4,
10112 = 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 2 + 1,
29912 = 2 · 122 + 9 · 12 + 9.

Основание десятичной системы счисления обычно не записывается.

В качестве основания системы счисления можно взять любое натуральное число, большее 1. Если основание равно числу m, тогда для записи любого числа в этой системе достаточно m цифр:

0, 1, 2, 3,…, m — 1.

Если основание системы счисления больше 10, то кроме цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 вводят другие знаки. Например, в двенадцатеричной системе, для цифр «10» и «11» обычно используют буквы латинского алфавита: А, В.

Переход от одной системы счисления к другой выполняют обычно через десятичную систему счисления. Поэтому необходимо знать, как переходить от любой системы счисления к десятичной и как переходить от десятичной системы к другой системе.

Переход от любой системы к десятичной выполняется путем прямого вычисления.

Пример: записать число 3021(4) в десятичной системе счисления

Решение: 3021(4) = 3 · 43 + 2 · 4 + 1 = 192 + 8 + 1 = 201.

3021(4) =201

Переход от десятичной системы к другой выполняется путем последовательного деления числа на основание той системы счисления, в которую переводится десятичное число.

Пример: перевести число 850 в четверичную систему счисления.

Решение:

Определим, сколько четверок содержится в числе 850:
850 : 4 = 212 (ост. 2)
Значит, число состоит из 212 единиц второго разряда (212 четверок) и остались две единицы первого разряда.
Сосчитаем, сколько четверок получится из единиц второго разряда. Разделим 212 на 4:
212 : 4 = 53
Получаем 53 единицы третьего разряда. Свободных единиц второго разряда не осталось.
Сосчитаем, сколько четверок получится из единиц третьего разряда. Разделим 53 на 4:
53 : 4 = 13 (ост. 1)
Получаем 13 единиц четвертого разряда и осталась одна единица третьего разряда.
Делим теперь 13 на 4:
13 : 4 = 3 (ост. 1)
Получаем 3 единицы пятого разряда и осталась одна единица четвертого разряда.

Данное число содержит 3 единицы пятого разряда, 1 единицу четвертого разряда, 1 единицу третьего разряда, 0 единиц второго разряда и 2 единицы первого разряда. Это число запишется так: 311024.

850 = 311024.

Источник