Какие числа называют натуральными их свойства

Натуральные числа и их свойства

Для счёта предметов в жизни используют натуральные числа. В записи любого натурального числа используются цифры $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Последовательность натуральных чисел, каждое следующее число в котором на $1$ больше предыдущего, образует натуральный ряд, который начинается с единицы (т.к. единица- самое маленькое натуральное число) и не имеет наибольшего значения, т.е. бесконечен.

Нуль не относят к натуральным числам.

Свойства отношения следования

Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в $1891$ г. Д.Пеано:

1. Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.

2. За каждым натуральным числом следует одно и только одно число

3. Каждое натуральное число, отличное от $1$, следует за одним и только одним натуральным числом

4. Подмножество натуральных чисел, содержащее число $1$, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.

Готовые работы на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость

Если запись натурального числа состоит из одной цифры его называют однозначным (например, $2,6.9$ и т.д.), если запись состоит из двух цифр-двузначным(например,$12,18,45$) и т.д. по аналогии. Двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа называют в математике многозначными.

Свойство сложения натуральных чисел

1. Переместительное свойство: $a+b=b+a$

   Сумма не изменяется при перестановке слагаемых

2. Сочетательное свойство: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

   Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом, к полученной сумме- второе слагаемое

3. От прибавления нуля число не измениться и если прибавить к нулю какое- нибудь число, то получится прибавленное число.

Свойства вычитания

1. Свойство вычитания суммы из числа $a-(b+c) =a-b-c$ если $b+c ≤ a$

   Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности- второе слагаемое

2. Свойство вычитания числа из суммы $(a+b) -c=a+(b-c)$, если $c ≤ b$

   Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое

3. Если из числа вычесть нуль, то число не изменится

4. Если из числа вычесть его само, то получится нуль

Свойства умножения

1. Переместительное $acdot b=bcdot a$

   Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей

2. Сочетательное $acdot (bcdot c)=(acdot b)cdot c$

   Чтобы умножить число на произведение двух чисел,можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель

3. При умножении на единицу произведение не изменяется $mcdot 1=m$

4. При умножении на нуль произведение равно нулю

5. Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо

Свойства умножения относительно сложения и вычитания

1. Распределительное свойство умножения относительно сложения

   $(a+b)cdot c=ac+bc$

   Для того чтобы умножить сумму на число,можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения

   Например, $5(x+y)=5x+5y$

2. Распределительное свойство умножение относительно вычитания

   $(a-b)cdot c=ac-bc$

   Для того,чтобы умножить разность на число,множно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе

   Например, $5(x-y)=5x-5y$

Сравнение натуральных чисел

1. Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ может выполняться только одно из трех соотношений $a=b$, $a

2. Меньшим считается число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим, которое появляется позже. Нуль меньше любого натурального числа.

3. если $a

   Пример 1

   Сравнить числа $a$ и $555$, если известно, что существует некоторое число $b$, причем выполняются соотношения: $a

   Решение: На основании указанного свойства ,т.к. по условию $a

4. в любом подмножестве натуральных чисел, содержащем хотя бы одно число, есть наименьшее число

   Подмножеством в математике называют часть множества. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества

5. если $a

6. Если $c

Часто для сравнения чисел находят их разность и сравнивают ее с нулем. Если разность больше $0$, но первое число больше второго, если разность меньше $0$, то первое число меньше второго.

Округление натуральных чисел

Когда полная точность не нужна, или не возможна ,числа округляют,т.е заменяют их близкими числами с нулями на конце.

Натуральные числа округляют до десятков, сотен,тысяч и т.д

При округлеии числа до десятков его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых десятков; у такого числа в разряде единиц стоит цифра $0$

При округлеии числа до сотен его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых сотен; у такого числа в разряде десятков и единиц должна стоять цифра $0$. И т.д

Числа,до которых округляют данное называют приближенным значением числа с точностью до указанных разрядов.Например если округлять число $564$ до десятков то получим, что округлить его можно с недостатком и получить $560$, или с избытком и получить $570$.

Правило округления натуральных чисел

1. Если справа от разряда, до которого округляют число, стоит цифра $5$ или цифра,большая $5$, то к цифре этого разряда прибавляют $1$; в противном случае эту цифру оставляют без изменения

2. Все цифры, расположенные правее разряда, до которого округляют число ,заменяют нулями