Какие бывают свойства вычитания в математике

Вычита́ние (убавление) — одна из вспомогательных бинарных математических операций (арифметических действий) двух аргументов (уменьшаемого и вычитаемого), результатом которой является новое число (разность)[1], получаемое уменьшением значения первого аргумента на значение второго аргумента. На письме обычно обозначается с помощью знака «минус»: . Вычитание — операция обратная сложению.

В общем виде можно записать: , где и . То есть каждой паре элементов из множества ставится в соответствие элемент , называемый разностью и .
Вычитание возможно только, если оба аргумента принадлежат одному множеству элементов (имеют одинаковый тип).

При наличии отрицательных чисел, вычитание удобно рассматривать (и определять) как разновидность сложения — сложение с отрицательным числом[2]. К примеру, можно рассматривать как сложение: .

На множестве вещественных чисел область значений функции сложения графически имеет вид плоскости проходящей через начало координат и наклоненной к осям на 45° угловых градусов.

У вычитания есть несколько важных свойств (например для ):

Антикоммутативность:
Неассоциативность:
Дистрибутивность:
Вычитание (нулевого элемента) даёт число равное исходному:

В качестве примера, на картинке справа запись обозначает пять яблок вычесть два яблока, что в результате дает три яблока. Заметим, что нельзя вычесть например из 5 яблок 2 груши. Помимо счета яблок, вычитание также может представлять разность других физических и абстрактных величин, таких как: отрицательные числа, дробные числа, векторы, функции, и другие.

Формы записи и терминология[править | править код]

Вычитание записывается с использованием символа «минус»: «» между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте символ «минус» является бинарным оператором. Результат записывается с использованием знака равенства «», например:

 ;
(«шесть минус три равно три») ;
(«шестьдесят четыре минус тридцать пять равно двадцать девять») .

На письме символ «минус» очень похож на другие письменные символы «дефис», «тире» и другие. Следует внимательнее разбирать выражение, чтобы не возникло ошибочного истолкования символа.

Свойства[править | править код]

Операция вычитание на числовых множествах имеет следующие основные свойства:

• Вычитание антикоммутативно — от перемены мест аргументов разность изменяется:

Антикоммутативность:

• Вычитание антиассоциативно — при последовательном выполнении вычитания трёх или более чисел последовательность выполнения операций имеет значение, результат изменится:

Антиассоциативность:

• Вычитание дистрибутивно, это — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве, также известно, как распределительный закон[4] .

Дистрибутивность:

• Относительно вычитания в множестве существует единственный нейтральный элемент, вычитание из числа нулевого (или нейтрального элемента) даёт число равное исходному:

Нулевой элемент:

• Вычитание нуля идемпотентно — повторное применение операции к объекту даёт тот же результат, что и одинарное:

Идемпотентность: ;

• Вычитание противоположного элемента даёт удвоенное число:

Результат вычитания не всегда является определённым для множества натуральных чисел : чтобы получить натуральное число в результате вычитания, уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Невозможно в рамках натуральных чисел вычесть из меньшего числа большее.

Операция вычитания чисел определённых на множествах даёт число (разность) принадлежащее этому же множеству, следовательно операция вычитание относится к замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из данного множества чисел), то есть множества чисел образуют кольца относительно операции вычитания.

Выполнение вычитания[править | править код]

Операцию вычитания можно представить, как некий «черный ящик» с уменьшаемым и вычитаемым на входе и одним выходом — разностью:

При практическом решении задачи вычитания двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: «простое вычитание», заём, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы вычитания, например для чисел, дробей, векторов и др. На множестве натуральных чисел в настоящее время используется алгоритм поразрядного вычитания. При этом следует рассматривать вычитание как процедуру (в отличие от операции).

Как видим, процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при вычитании больших чисел может занять продолжительное время.

«Простое вычитание» — в данном контексте обозначает операцию вычитания чисел меньше двадцати, которая может быть легко сведена к декрементированию. Является гипероператором декрементирования:

где:  — последовательность операций инкрементирования, выполненная раз;
 — последовательность операция декрементирования, выполненная раз.

Чтобы упростить и ускорить процесс вычитания используют табличный метод «простого вычитания», для этого заранее вычисляют все комбинации разностей чисел от 18 до 0 и берут готовый результат из этой таблицы [5]:

Данная процедура применима к вычитанию натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.

Вычитание чисел[править | править код]

Натуральные числа[править | править код]

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств порождённых биекциями, с помощью скобок: . Тогда арифметическая операция «вычитание» определяется следующим образом:

где  — разность множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Взаимно однозначное отображение конечного множества на отрезок можно понимать как нумерацию элементов множества . Этот процесс нумерации называют «СЧЕТОМ». Таким образом, «счет» — это установление взаимно однозначного соответствия между элементами множества и отрезком натурального ряда чисел.

Для вычитания натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм вычитания. Если даны два натуральных числа и  такие, что:

где ;  — количество цифр в числе ;  — порядковый номером разряда (позиции), ;  — основание системы счисления; множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления: , , ; тогда:

вычитая поразрядно, получаем:

Таким образом операция вычитания сводится к процедуре последовательного простого вычитания натуральных чисел , с формированием заёма при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо декрементированием (счетом).

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно пользоваться таблицей вычитания, соответствующей данному основанию системы счисления.

Пример вычитания натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, знак заёма пишется сверху, недостающие разряды дополняются нулями:

Целые числа[править | править код]

Множество целых чисел — расширение множества натуральных чисел , получаемое добавлением отрицательных чисел [6] вида . Множество целых чисел обозначается Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами.

Наличие отрицательных чисел позволяет рассматривать (и определять) «вычитание» как разновидность «сложения» — сложение с отрицательным числом. Однако рассмотрим в рамках данной статьи «вычитание», как операцию определённую на множестве целых чисел, это также относится и к следующим числовым множествам. Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на числовой прямой направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру вычитания. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:

Здесь и далее также используется алгоритм поразрядного вычитания (сложения). Например, рассмотрим выражение: ; так как у чисел и разные знаки, то выносим минус за скобки: , вычисляя далее получим ответ: .

Рациональные числа[править | править код]

Множество рациональных чисел обозначается (от англ. quotient «частное») и может быть записано в таком виде:

Для вычитания рациональных чисел в виде обыкновенных (или простых) дробей вида: , их следует преобразовать (привести) к общему (одинаковому) знаменателю. Например, взять произведение знаменателей, числители при этом умножаются на соответствующие знаменатели. Затем вычесть полученные числители, а произведение знаменателей станет общим.

Если даны два рациональных числа и такие, что: (дроби не сокращаемые), тогда:

[7]

Либо можно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Порядок действий:

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны ). В ряде простых случаев это упрощает вычисления, но в случае больших чисел расчёты значительно усложняются. Можно взять в качестве любое другое общее кратное.

Пример вычитания:

Если знаменатели обеих дробей совпадают, то:

Если знаменатели кратны какому либо числу, то преобразуем только одну дробь:

Арифметическая операция «вычитание» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.

Вещественные числа[править | править код]

Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[8] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

,

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: и , то их разностью называют число , определённое разностью последовательностей и :

;

вещественное число , удовлетворяет следующему условию:

.

Таким образом разностью двух вещественных чисел и  является такое вещественное число  которое содержится между всеми разностями вида  с одной стороны и всеми разностями вида  с другой стороны[9].

На практике для того, чтобы вычесть два числа и , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами и . За приближенное значение разности чисел берут разность указанных рациональных чисел . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают и . Сложение производится по алгоритму поразрядного сложения.

При вычитании приближённых чисел их абсолютные погрешности складываются , абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа. Относительная погрешность разности заключена между наибольшим и наименьшим значениями относительных погрешностей аргументов; на практике принимается наибольшее значение . Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример вычитания , с точностью до 3-го знака после запятой:

График[править | править код]

На множестве вещественных чисел область значений функции вычитания графически имеет вид плоскости проходящей через начало координат и наклоненной к осям на 45° угловых градусов.

Так как , то и для этих множеств область значений функции вычитания будет принадлежать этой плоскости.

Комплексные числа[править | править код]

Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом .

Комплексные числа вычитаются друг с другом путём вычитания действительных и мнимых частей[10]. Это значит, что:

Где: ,  — мнимая единица. Используя представление комплексных чисел как векторов на комплексной плоскости, можно дать вычитанию комплексных чисел следующую геометрическую интерпретацию: разностью комплексных чисел и , представленных векторами на комплексной плоскости, будет вектор, соединяющий концы уменьшаемого вектора и вычитаемого вектора и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, он является разностью векторов и соответственно разностью комплексных чисел (аналогично будет если к уменьшаемому вектору прибавить вектор обратный вычитаемому вектору).

Аналогично для комплексных чисел n-ой размерности:

Экспоненциальная запись[править | править код]

В экспоненциальной записи числа записываются в виде , где  — мантисса,  — характеристика числа,  — основание системы счисления. Для вычитания двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме, требуется, чтобы у них были одинаковые характеристики: согласно свойству дистрибутивности.

Например:

Вычитание произвольных чисел[править | править код]

При вычитании чисел принадлежащих разным множествам необходимо произвести расширение числа из множества с меньшей мощностью в сторону числа из множества с большей мощностью, либо оба числа расширить до уравнивания множеств, если существует такая возможность. Например, если нужно вычесть из рационального числа натуральное число , то воспользовавшись тем, что натуральные числа являются подмножеством рациональных, расширяем натуральное число до рационального числа и вычитаем два рациональных числа . Аналогично, пользуясь тем, что: можно вычитать числа из различных множеств между собой.

Особенности обучения вычитанию школьников[править | править код]

Практика показывает, что школьников легче научить вычислять разность чисел, чем научить их принимать решение о применимости операции вычитания в той или иной задаче. Это связано с тем, что вычитание, в отличие, например, от сложения, — некоммутативная операция, её аргументы играют разные роли, и ситуации задач на вычитание, которые должен разрешить ученик, существенно разнообразней, чем при сложении. В связи с этим детям, решившим задачу на вычитание одного вида, может быть затруднительно решить задачу на вычитание другого вида, даже с такими же числовыми данными. Педагог, работающий с ребёнком, должен убедиться, что его ученик уверенно чувствует себя и находит решение задач на вычитание следующих видов:

См. также[править | править код]

• Сумма
• Сложение
• Умножение
• Деление

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Ильин В.А. и др. Математический анализ. Начальный курс. (неопр.). — МГУ, 1985. — Т. 1. — 662 с.
• Эндертон Г. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7.
• Барсуков А.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. (неопр.). — Просвещение, 1966. — 296 с.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы, книга для учащихся. (неопр.). — Просвещение, 1988. — 416 с.
• Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение. (неопр.). — Ассоциация XXI век, 2005. — 272 с. — ISBN 5-89308-193-5.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике (неопр.). — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6.
• В.И. Игошин. КУРС ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА (рус.) : статья. — Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, 2010.
• Кононюк А.Е. Обобщенная теория моделирования. (неопр.). — Освіта України, 2012. — Т. 2. — 548 с. — ISBN 978-966-7599-50-8.
• Тире, минус и дефис, или Черты русской типографики : [арх. 24 августа 2011] // Ководство / Артемий Лебедев. — 2003. — § 97 (15 января).
• Conway, John B. Функция одной комплексной переменной = Functions of One Complex Variable I. — Springer Science, 1986. — 322 с. — ISBN 0-387-90328-3.