Какие бывают свойства умножения и деления
- Переместительное свойство умножения
- Сочетательное свойство умножения
- Распределительное свойство умножения
Переместительное свойство умножения
От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.
Следовательно, для любых чисел a и b верно равенство:
a · b = b · a
выражающее переместительное свойство умножения.
Примеры:
6 · 7 = 7 · 6 = 42
4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24
Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.
Сочетательное свойство умножения
Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.
Следовательно, для любых чисел a, b и c верно равенство:
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
выражающее сочетательное свойство умножения.
Пример:
3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30
или
3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30
Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:
25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500
В данном случае можно было вычислить всё последовательно:
25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500
но проще и легче сначала умножить 25 на 4 и получить 100, а уже потом умножить 100 на 15.
Распределительное свойство умножения
Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:
Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
m · (a + b) = m · a + m · b
выражающее распределительное свойство умножения.
Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
(a + b) · m = a · m + b · m
Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:
Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
m · (a — b) = m · a — m · b
Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
(a — b) · m = a · m — b · m
Переход от умножения:
m · (a + b) и m · (a — b)
соответственно к сложению и вычитанию:
m · a + m · b и m · a — m · b
называется раскрытием скобок.
Переход от сложения и вычитания:
m · a + m · b и m · a — m · b
к умножению:
m · (a + b) и m · (a — b)
называется вынесением общего множителя за скобки.
Илья Маслюков · 15 ноября 2018
8,3 K
Выпускник экономического вуза, мама двоих детей, фрилансер, таролог в пути)…
Распределительное свойство умножения выглядит так:
(a+b)*c=ac+bc
(a-b)*c=ac-bc
Для того, чтобы умножить сумму на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить.
Для того, чтобы умножить разность на число, можно уменьшаемое и вычитаемое умножить на это число и из первого произведения вычесть второе.
Чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
С помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения записывают так:
a*(b+c)=a*b+a*c
либо так:
(b+c)*a=a*b+a*c
Существует ли какое-то доказательство того, почему работает закон умножения а*б=б*а (где а и б — действительные числа), или это принимается как аксиома?
На самом деле может быть и так, и так. Умножение можно определить двумя способами. 1) существует такая аксиоматика Пеано, которая сначала определяет, что такое натуральные числа и ноль и вводит для них две операции: сложения и умножения. Умножение определяется сначала для нуля a*0=0, а затем индуктивно для всех n: a*(n+1)=a*n+a. После аксиом и определений начинаются теоремы, где доказывается коммутативность a•b=b•a для натуральных чисел с нулем. Делается это методом математической индукции. Но это лишь для натуральных. Затем опреледляются целые числа (добавили отрицательных). Для них расширяется понятие сложения и умножения, и снова доказываются все теоремы, включая коммутативность умножения, но уже для целых. Это не всё. Теперь очередь рациональных чисел. Снова определение умножения и сложения и снова доказательство новой расширенной операции, что она коммутативна. Следующими приходят на очередь действительные числа как множество пополнения (фундаментальные последовательности и все такое, если нужны подробности) для рациональных. И да, снова расширение для сложения и умножения, снова доказательство коммутативности. Далее можно продолжить на комплексные. 2) Но есть и другой подход. Действительные числа определяются как непрерывное упорядоченное поле, то есть задаются аксиомы поля (Группа коммутативная по сложению, Группа коммутативная по умножению без нуля, дистрибутивность), аксиомы упорядоченности (например, что из a < b следует a + c < b + c), и аксиома непрерывности Дедекинда (что если элементы множества A целиком меньше или равны элементам множества B, то есть число, которое больше или равно любого элемента A, а также меньше или равно любого элемента B). И вот в такой системе аксиом коммутативность умножения a•b=b•a является аксиомой: без нуля все числа являются коммутативной группой по умножению, а, значит, операция умножения коммутативна из определения коммутативной группы. И да, существует теорема, которая доказывает, что такое непрерывное упорядоченное поле может быть только одно и оно совпадает с тем, что дают нам аксиомы Пеано и все последующее их обобщения до действительных чисел (более формально: они изоморфны относительно сложения, умножения и упорядоченности)
Итого, если действительные числа — это расширение натуральных-целых-рациональных, то a•b=b•a — теорема. Если действительные числа — это поле, то a•b=b•a — аксиома
P. S. Комплексные числа и в той, и в той аксиоматике определяются как расширение действительных одинаково. Заново в них определяется умножение. Но его коммутативность доказать несложно, используюя коммутативность умножения действительных чисел.
Прочитать ещё 4 ответа
Что такое умножение?
можно сразу привести пример …
5 + 5 + 5 = ? вот тут нужно запомнить ( правило ) : цыфры все одинаковые посчитаем сколько раз повторяются пятёрки. у нас три одинаковых пятёрки, значит пять умножаем на три раза. 5 * 3 = 15
( * знак умножения ) ( но нужно ещё знать таблицу умножения! )
((( Без знания таблицы умножения невозможно успешно здать ни ГИА ни ЕГЭ! ))) так что дети, учите!
Как выучить таблицу умножения быстро?
Превратите процесс в игру. Например не попить кофе пока не вспомните 7*8, не лягу спатьесли не расскажу всю таблицу. Так появится мотивация. Удачи!)))
Почему умножение и деление приоритетнее сложения и вычитания?
Математик, преподаватель, программист
Складывать, вычитать, умножать можно, как известно, не только числа, но и многие другие объекты – векторы, матрицы, тензоры, функции и так далее. Если какой-то объект получается из других сложением и умножением, то часто его удобно представить в виде суммы произведений: например, (a+b)x+d = ax+bx+d. Второе выражение, хоть и содержит больше букв, имеет стандартный вид, такие выражения проще складывать, умножать и вообще понимать. Многие при изучении математики встречались с такими выражениями: стандартный вид многочлена, линейные уравнения, разложение вектора по базису, степенные ряды, включая ряды Тейлора, ограничения и целевые функции в задачах линейного программирования, формула полной вероятности и тому подобное. (Важнейший случай такой суммы, в которой все произведения из двух множителей, и первые множители – числа, называется линейной комбинацией). Получается, сумма произведений настолько универсальна, что выражение без скобок «по умолчанию» читается как сумма произведений: ax+bx+d = (ax)+(bx)+d.
С другой стороны, сложение и умножение (почти любые) ассоциативны, то есть выполняются законы a+(b+c)=(a+b)+c и a(bc)=(ab)c. Это позволяет выполнять операции, учитывая приоритет, в любом порядке: наш пример, если удобно, мы можем посчитать как ax+(bx+d), а если бы приоритета не было, выражение «читалось» бы слева направо как (((ax)+b)x)+d, а справа налево как a(x+(b(x+d))), и это два разных выражения. А читать справа налево, как и переставлять члены, приходится часто.
Вычитание же – операция, обратная сложению, а деление – обратная умножению, поэтому приоритеты у них те же. Впрочем, в серьёзной математической литературе (кроме школьной) вы вряд ли встретите знак деления, вместо него скорее дробь или возведение в минус первую степень.
Сочетай, перемещай, свойства действий
узнавай
Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.
Свойства сложения
Переместительный закон сложения
Сумма не изменяется от перестановки слагаемых .
Пример:
3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:
a+b=b+a
a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.
Сочетательный закон сложения
Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .
Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.
Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:
a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа
Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …
Свойство сложения разности чисел
Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.
Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.
Свойство вычитания разности из числа
Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.
Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.
Свойства умножения
Переместительный закон умножения
Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …
Сочетательный закон умножения
Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .
Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.
Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.
Умножение числа на произведение чисел
Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.
Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.
Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.
Умножение числа на сумму чисел
Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.
Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …
В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.
Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …
Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.
Распределительный закон умножения для разности чисел
Распределительный закон можно применять и к разности.
Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;
7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.
Вообще:
(а — b)с = ас — bc,
а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.
Свойства деления
Деление суммы на число
Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:
Например:
(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)
Деление разности на число
Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:
(20-8)/5= 20/5 — 8/5
Вообще:
(a-b)/c = (a/c) -(b/c)
Деление произведения на число
Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:
(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:
(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.
Деление числа на произведение
Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:
120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.
Вообще:
а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.
Укажем еще следующее свойство деления:
Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3
Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b
Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.
Комментирование и размещение ссылок запрещено.
Умножение 5 яблок на 3, как и умножение 3 яблок на 5, даёт 15 яблок
Умноже́ние — одна из основных математических операций над двумя аргументами (множителями, сомножителями). Иногда первый аргумент называют множимым, а второй множителем; результат умножения двух аргументов называется их произведением.
Умножение имеет различный конкретный смысл и соответственно различные конкретные определения в зависимости от конкретного вида сомножителей и произведения[1].
Так, для натуральных чисел умножение определяется как многократное сложение — чтобы умножить число на число надо сложить чисел :
.
Умножение чисел является коммутативной операцией, то есть порядок записи чисел-сомножителей не влияет на результат их умножения.
Например, умножение чисел и может быть записано как , так и (произносится также «пятью три», «трижды пять»), и результатом в любом случае является число . Проверка через сложение:
,
.
Умножение также определено для целых, рациональных, вещественных, комплексных чисел путём систематического обобщения[⇨].
Умножение других математических, физических и абстрактных величин (например, матриц, векторов, множеств, кватернионов и т. д.) не всегда является коммутативной операцией. При умножении физических величин важную роль играет их размерность[⇨].
Изучение общих свойств операции умножения входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец[1].
Формы записи и терминология[править | править код]
Умножение записывается с использованием знака умножения (∙, ×, ∗) между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте знак умножения является бинарным оператором. Знак умножения не имеет специального названия, тогда как, например, знак сложения называется «плюс».
Самый старый из используемых символов — диагональный крестик (×). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» 1631 г.
Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде приподнятой точки (∙). Этот символ он использовал в письме 1698 года.
Йоханн Ран ввёл звёздочку (∗) в качестве знака умножения, она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г.
В российских учебниках математики в основном используется знак в виде приподнятой точки (∙). Звёздочка (∗) используется, как правило, в текстах компьютерных программ.
Результат записывается с использованием знака равенства «», например:
(«шесть умножить на три равно восемнадцать» или «шестью три — восемнадцать»).
Часто в математических выражениях знак умножения опускается (не записывается), если это не вызывает неоднозначного прочтения. Например вместо пишется . Как правило, знак умножения опускают, если одним из сомножителей является однобуквенная переменная, функция или выражение в скобках: , , .
Традиционно при записи произведения нескольких сомножителей числа записывают перед переменными, а переменные перед функциями. Так, выражение будет записано как .
Свойства[править | править код]
Далее описаны основные свойства операция умножения на числовых множествах .
- Умножение коммутативно, то есть от перемены мест сомножителей произведение не меняется. Свойство также известно как переместительный закон умножения[2]:
Коммутативность:
- Умножение ассоциативно, то есть при последовательном выполнении умножения трёх или более чисел последовательность выполнения операций не имеет значения. Свойство также известно как сочетательный закон умножения[2]:
Ассоциативность:
- Умножение дистрибутивно, это свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве. Свойство также известно как распределительный закон[2]:
Дистрибутивность: Нейтральный элемент:
- Умножение на идемпотентно, то есть повторное применение операции к объекту даёт тот же результат, что и одинарное:
Идемпотентность: Нулевой элемент:
Операция умножения чисел, определённых на множествах , даёт произведение, принадлежащее этому же множеству. Следовательно, операция умножения относится к замкнутым операциям, то есть множества чисел образуют кольца относительно операции умножения.
На языке общей алгебры вышеперечисленные свойства сложения говорят о том, что являются абелевыми группами относительно операции умножения.
В математических выражениях операция умножения имеет более высокий приоритет по отношению к операциям сложения и вычитания, то есть она выполняется перед ними.
На множестве вещественных чисел область значений функции умножения графически имеет вид поверхности проходящей через начало координат и изогнутой с двух сторон в виде параболы.
Выполнение умножения[править | править код]
При практическом решении задачи умножения двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: «простое умножение», сложение, сравнение и др. Для этого разработаны различные методы умножения, например для чисел, дробей, векторов и др. На множестве натуральных чисел в настоящее время используется алгоритм поразрядного умножения. При этом следует рассматривать умножение как процедуру (в отличие от операции).
Примерный алгоритм процедуры поразрядного умножения двух чисел
Процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при умножении больших чисел может занять продолжительное время.
Пример пошагового умножения 3 ∙ 3 = 9 на числовой прямой.
«Простое умножение» в данном контексте обозначает операцию умножения одноразрядных чисел, которая может быть легко сведена к сложению. Является гипероператором сложения:
где — последовательное сложение элементов.
Чтобы упростить и ускорить процесс умножения используют табличный метод «простого умножения», для этого заранее вычисляют все комбинации произведений чисел от 0 до 9 и берут готовый результат из этой таблицы[3]:
Таблица для умножения в десятичной системе счисления
| * | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | |||||||||
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |
Данная процедура применима к умножению натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.
Умножение чисел[править | править код]
Натуральные числа[править | править код]
Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств порождённых биекциями, с помощью скобок: . Тогда арифметическая операция «умножение» определяется следующим образом:
где: прямое произведение множеств — множество , элементами которого являются упорядоченные пары для всевозможных . Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.
Взаимно однозначное отображение конечного множества на отрезок можно понимать как нумерацию элементов множества . Этот процесс нумерации называют «СЧЕТОМ». Таким образом, «счет» — это установление взаимно однозначного соответствия между элементами множества и отрезком натурального ряда чисел.
Для умножения натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм умножения. Если даны два натуральных числа и такие, что:
где ;
— количество цифр в числе ; — порядковый номером разряда (позиции), ; — основание системы счисления; множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления:,,; тогда:
умножая поразрядно, получаем промежуточных результатов:
где: — значение переноса, — функция нахождения остатка от деления, — функция нахождения неполного частного.
Затем полученные промежуточных результатов складываем:
Таким образом операция умножения сводится к процедуре последовательного простого умножения одноразрядных чисел , с формированием переноса при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо последовательным сложением. И далее к сложению.
Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно пользоваться таблицей умножения, соответствующей данному основанию системы счисления.
Пример умножения натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, перенос пишется сверху:
Целые числа[править | править код]
Множество целых чисел — расширение множества натуральных чисел , получаемое добавлением отрицательных чисел [4] вида . Множество целых чисел обозначается Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами.
Положительное и отрицательное числа на числовой прямой.
Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на числовой прямой направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру умножения. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:
Здесь и далее также используется алгоритм поразрядного умножения. Например, рассмотрим выражение: ; так как у чисел и разные знаки, то выносим минус за скобки: , вычисляя далее получим ответ: .
Рациональные числа[править | править код]
Множество рациональных чисел обозначается (от англ. quotient «частное») и может быть записано в таком виде:
Для умножения рациональных чисел в виде обыкновенных (или простых) дробей вида: , следует числители и знаменатели дробей умножить друг на друга.
Если даны два рациональных числа и такие, что: (дроби не сокращаемые), тогда[5]:
Пример умножения:
Арифметическая операция «умножение» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.
Вещественные числа[править | править код]
Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение[6] соответствующих операций над рациональными числами.
Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:
определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: и , то их произведением называют число , определённое произведением последовательностей и :
вещественное число , удовлетворяет следующему условию:
Таким образом произведением двух вещественных чисел и является такое вещественное число которое содержится между всеми произведениями вида с одной стороны и всеми произведениями вида с другой стороны[7].
На практике для того, чтобы умножить два числа и , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами и . За приближенное значение произведения чисел берут произведение указанных рациональных чисел . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают и . Умножение производится по алгоритму поразрядного умножения.
Абсолютная погрешность произведения приближённых чисел: , абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа. Относительная погрешность произведения равна сумме относительных погрешностей аргументов: . Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Пример умножения , с точностью до 3-го знака после запятой:
График[править | править код]
На множестве пар вещественных чисел график функции умножения является проходящим через начало координат гиперболическим параболоидом.
График функции с(a,b)=a*b
Комплексные числа[править | править код]
Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом .
Произведением двух комплексных чисел в алгебраической форме записи, называется комплексное число, равное:
где: , — мнимая единица.
Для того, чтобы перемножить два комплексных числа в тригонометрической форме записи, нужно перемножить их модули, а аргументы сложить:
Умножение комплексных чисел на комплексной плоскости.
где: модуль и аргумент комплексного числа.
Умножение комплексного числа в показательной форме, на комплексное число сводится к повороту вектора, соответствующего числу , на угол и изменению его длины в раз. Для произведения комплексных чисел в показательной форме верно равенство:
где: — число e.
Экспоненциальная запись[править | править код]
В экспоненциальной записи числа записываются в виде , где — мантисса, — характеристика числа, — основание системы счисления, . Для умножения двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме необходимо умножить мантиссы и характеристики:
Например:
Умножение произвольных чисел[править | править код]
При умножении чисел, принадлежащих разным множествам, например , необходимо произвести преобразование (приведение) одного из множителей к типу второго (если существует такая возможность). Для этого число из множества с меньшей мощностью «расширяется» в сторону числа из множества с большей мощностью: . В данном примере следует воспользоваться тем, что натуральные числа являются подмножеством рациональных и трактовать натуральное число как рациональное число . Исходное выражение превращается в умножение двух рациональных чисел: .
Умножение физических величин[править | править код]
Единица измерения физической величины имеет определенное наименование (размерность), например, для длины — метр (м), для времени — секунда (с), для массы — грамм (г) и так далее. Результат измерения той или иной величины представляет собой не просто число, а число с размерностью[8], например, 10 м, 145 с, 500 г. Размерность представляет собой самостоятельный объект, который равноправно участвует в операции умножения. При умножении физических величин умножаются как сами числовые значения, так и их размерности, порождая новое число с новой размерностью. Например, прямоугольник со сторонами 5 м и 3 м обладает площадью, получаемой умножением длин сторон:
5 м · 3 м = 5 · 3 м·м= 15 м·м, или 15 м².
Таким образом, умножение физических величин надо рассматривать как нахождение новой физической величины, отличающейся от величин, которые мы умножаем. Если физически возможно создание такого произведения, например, при нахождении работы, скорости или других величин, то эта величина образует множество, отличное от начальных. В этом случае композиции этих величин присваивается новое обозначение (новый термин), например: плотность, ускорение, мощность и прочее[9].
Например, если умножить скорость равномерно и прямолинейно движущегося тела, равную 5 м/с, на время, равное 3 с, то получится именованное число (физическая величина), которая называется «длина», или «расстояние» и измеряется в метрах:
5 м/с · 3 с = 15 (м/с) · с = 15 м.
Помимо размерных физических величин существуют безразмерные величины. Безразмерные величины либо просто определяют некоторое количество (измеряются «штуками», «разами» и тому подобное), либо являются отношениями физических величин одной и той же размерности, например, относительная плотность является отношением плотности тела к эталонной плотности (обычно, плотности воды). При умножении величины с размерностью на безразмерную величину результат сохраняет исходную размерность. Например, если взять 5-метровые рейки в количестве 3 штуки, то в результате умножения получим общую длину реек 15 метров:
5 м · 3 = 15 м.
Количество реек (безразмерная величина) здесь не зависит ни от способа их подсчёта, ни от единицы измерения их длины. Например, если измерить длину не в метрах, а в футах, то длина той же рейки составит 16,4 фута, а общая длина трёх реек:
16,4 фута · 3 = 49,2 фута.
Умножение последовательностей[править | править код]
Произведение элементов последовательности может быть компактно записано с помощью специального символа умножения, восходящего к заглавной букве Π (пи) греческого алфавита, как показано в примере:
Снизу записывается символ свободной переменной (в данном случае ), называемой «индексом умножения», вместе с начальным значением (в данном случае 1). Сверху записывается конечное значение (в данном случае 4) в виде числа или переменной, либо символ бесконечности , если предполагается бесконечное произведение. Такую запись можно «развернуть» в выражение, в котором последовательно подставляются значения индекса умножения от начального до конечного значения:
где m и n есть целые числа или выражения, которые вычисляются в целочисленные значения.
Если значения индекса заданы некоторым множеством, то многократное произведение может быть записано с его помощью, например
.
Такая запись означает, что переменная «пробегает» все значения, принадлежащие множеству .
См. также[править | править код]
- Бруски Женая — Люка
- Деление
- Возведение в степень
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 Умножение // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
- ↑ 1 2 3 Так это свойство обычно называется в школьных учебниках
- ↑ Истомина, 2005, с. 165.
- ↑ Выгодский, 2003.
- ↑ Гусев, 1988, с. 20.
- ↑ Поскольку на множестве вещественных чисел уже введено отношение линейного порядка, то мы можем определить топологию числовой прямой: в качестве открытых множеств возьмём всевозможные объединения интервалов вида
- ↑ Ильин, 1985, с. 46.
- ↑ Волинская Н. И. Интегрированный урок по физике и математике, Измерение физических величин и их единицы, СШ 7 г. Бреста. brestschool7.iatp.by. Дата обращения 18 апреля 2016.
- ↑ Макаров Владимир Петрович. О «размерности» физических величин. lithology.ru, Литология.РФ. Дата обращения 18 апреля 2016.
Литература[править | править код]
- Ильин В.А. и др. Математический анализ. Начальный курс. (рус.). — МГУ, 1985. — Т. 1. — 662 с.
- Эндертон Г. Элементы теории множеств = Elements of Set Theory. — Gulf Professional Publishing, 1977. — 279 с. — ISBN 0-12-238440-7.
- Барсуков А.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. (рус.). — Просвещение, 1966. — 296 с.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы, ?