Какие бывают свойства чисел в математике 3 класс
В начальных классах дети изучают «Разряды и классы чисел», однако эта тема вызывает много вопросов у родителей.
В этой статье Вы сможете «освежить» свои знания и объяснить ребенку эту тему.
Числа и цифры
ЧИСЛА — это единицы счёта. С помощью чисел можно сосчитать количество предметов и определить различные величины (длину, ширину, высоту и т. д.).
Для записи чисел используются специальные знаки — ЦИФРЫ.
Цифр десять: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Натуральные числа
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА — это числа, которые используются при счёте.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …,
1 — самое маленькое число, а самого большого числа не существует.
Число 0 (нуль) обозначает отсутствие предмета. Нуль НЕ является натуральным числом.
Разряды и классы натуральных чисел
Для записи чисел используется ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ. В десятичной системе счисления пользуются единицами, десятками единиц, десятками десятков — сотнями и т. д.
Каждая новая единица счёта больше предыдущей ровно в 10 раз:
Десятичная система счисления — позиционная. В этой системе счисления значение каждой цифры в записи числа зависит от её позиции (места).
Позиция (место) цифры в записи числа называется РАЗРЯДОМ. Самый младший разряд — ЕДИНИЦЫ. Затем следуют ДЕСЯТКИ, СОТНИ, ТЫСЯЧИ и т. д.
Каждые три разряда натуральных чисел образуют КЛАСС.
Плакат «Сделай уроки сам!» 3-4 класс https://делайурокисам.рф
Основной вопрос, который родители часто задают: зачем ребенку эти знания? Ответ на этот вопрос очень простой — после изучения этого материала, дети переходят к таким темам как сложение и вычитание в столбик, где обязательно необходимо знать разряды числа, чтобы правильно вычислить примеры.
И если ребенок не освоит эту тему, тогда он не сможет правильно решать в столбик.
Складываем и вычитаем через разряды
Сложение столбиком
А) Складываем единицы: 4 + 3 = 7.
Записываем под единицами.
Б) Складываем десятки: 4 + 3 = 7.
Записываем под десятками.
В) Складываем сотни: 4 + 3 = 7.
Записываем под сотнями.
Ответ: 777
Вычитание столбиком
А) Вычитаем единицы: 9 – 3 = 6.
Записываем под единицами.
Б) Вычитаем десятки: 0 меньше,
чем 2, занимаем в сотнях (тысячах).
10 – 2 = 8. Записываем под десятками.
В) Вычитаем сотни: 9 – 4 = 5.
Записываем под сотнями.
Ответ: 586
Сквернословие у детей
Опубликовано: 02.04.2018
В статье рассказывается о причинах употребления у детей скверных слов и способах борьбы с этим.Читать далее
1 комментарий
Детская интернет-зависимость и как от нее избавиться?
Опубликовано: 03.03.2018
В статье идет речь об опасности такого заболевания, как детская интернет-зависимость, о способах предупреждения этой болезни и причинах ее возникновения.Читать далее
нет комментариев
Как помочь ребенку решить школьные проблемы?
Опубликовано: 19.03.2018
В данной статье говорится о том, как помочь ребенку решить школьные проблемы.Читать далее
нет комментариев
Куда у ребенка исчезает время на отдых?
Опубликовано: 20.04.2018
Жизнь каждого школьника — постоянный круговорот: школа, секции, репетиторы. Из-за того, что ребёнок занят и каждый час его расписан, у него не хватает времени на отдых и общение с друзьями.Читать далее
нет комментариев
Как снизить интерес ребенка к материальным ценностям?
Опубликовано: 19.04.2018
Нередко родители сталкиваются с тем, что их дети начинают усиленно просить разного рода материальные блага. И с возрастом их запросы растут.Читать далее
нет комментариев
Ïðîñòåéøåå ÷èñëî — ýòî íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Èõ èñïîëüçóþò â ïîâñåäíåâíîé æèçíè äëÿ ïîäñ÷åòà ïðåäìåòîâ, ò.å. äëÿ âû÷èñëåíèÿ èõ êîëè÷åñòâà è ïîðÿäêà.
×òî òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî: íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè íàçûâàþò ÷èñëà, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïîäñ÷åòà ïðåäìåòîâ ëèáî äëÿ óêàçûâàíèÿ ïîðÿäêîâîãî íîìåðà ëþáîãî ïðåäìåòà èç âñåõ îäíîðîäíûõ ïðåäìåòîâ.
Íàòóðàëüíûå ÷èñëà — ýòî ÷èñëà, íà÷èíàÿ ñ åäèíèöû. Îíè îáðàçóþòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïðè ñ÷¸òå. Íàïðèìåð, 1,2,3,4,5… – ïåðâûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà.
Íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî — îäèí. Íàèáîëüøåãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íå ñóùåñòâóåò. Ïðè ñ÷¸òå ÷èñëî íîëü íå èñïîëüçóþò, ïîýòîìó íîëü íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
Íàòóðàëüíûé ðÿä ÷èñåë — ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
 íàòóðàëüíîì ðÿäó êàæäîå ÷èñëî áîëüøå ïðåäûäóùåãî íà åäèíèöó.
Ñêîëüêî ÷èñåë â íàòóðàëüíîì ðÿäó? Íàòóðàëüíûé ðÿä áåñêîíå÷åí, ñàìîãî áîëüøîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íå ñóùåñòâóåò.
Ñèñòåìà ñ÷¸òà (ñ÷èñëåíèÿ), êîòîðóþ ìû èñïîëüçóåì, íàçûâàåòñÿ äåñÿòè÷íîé ïîçèöèîííîé.
Äåñÿòè÷íîé òàê êàê 10 åäèíèö âñÿêîãî ðàçðÿäà îáðàçóþò 1 åäèíèöó ñòàðøåãî ðàçðÿäà. Ïîçèöèîííîé òàê êàê çíà÷åíèå öèôðû çàâèñèò îò å¸ ìåñòà â ÷èñëå, ò.å. îò ðàçðÿäà, ãäå îíà çàïèñàíà.
Äëÿ ïîäñ÷åòà âðåìåíè â ãðàäóñíîé ìåðå óãëîâ ñóùåñòâóåò øåñòèäåñÿòåðè÷íàÿ ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ (îñíîâà ÷èñëî 60).  1 ÷àñå — 60 ìèíóò, â 1 ìèíóòå — 60 ñåêóíä; â 1 óãëîâîì ãðàäóñå — 60 ìèíóò, â 1 óãëîâîé ìèíóòå — 60 ñåêóíä.
Âñÿêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ëåãêî çàïèñàòü â âèäå ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ.
×èñëà 1, 10, 100, 1000… – ýòî ðàçðÿäíûå åäèíèöû. Ïðè èõ ïîìîùè íàòóðàëüíûå ÷èñëà çàïèñûâàþò êàê ðàçðÿäíûå ñëàãàåìûå. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî 307 898 â âèäå ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ çàïèñûâàåòñÿ òàê:
307 898 = 300 000 + 7 000 + 800 + 90 + 8
Ñàìûå óïîòðåáëÿåìûå ÷èñëà èìåþò íå áîëüøå 12 ðàçðÿäîâ. ×èñëà, êîòîðûå èìåþò áîëüøå 12 ðàçðÿäîâ, îòíîñÿòñÿ ê ãðóïïå áîëüøèõ ÷èñåë.
Êîãäà çàïèñü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ñîñòîèò èç îäíîãî çíàêà — îäíîé öèôðû, åãî íàçûâàþò îäíîçíà÷íûì ÷èñëîì.
- ÷èñëà 1, 5, 8 — îäíîçíà÷íûå ÷èñëà. Åñëè çàïèñü ÷èñëà ñîñòîèò èç 2-õ çíàêîâ — äâóõ öèôð, åãî íàçûâàþò äâóçíà÷íûì ÷èñëîì.
- ÷èñëà 14, 33, 28, 95 — äâóçíà÷íûå ÷èñëà,
- ÷èñëà 386, 555, 951 — òðåõçíà÷íûå ÷èñëà,
- ÷èñëà 1346, 5787, 9999 — ÷åòûðåõçíà÷íûå ÷èñëà è ò. ä.
Îáîçíà÷åíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë: Ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì N.
Òàáëèöà íàòóðàëüíûõ (ïðîñòûõ) ÷èñåë äî 10 000.
Êëàññû íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Âñÿêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî âîçìîæíî íàïèñàòü ïðè ïîìîùè 10-òè àðàáñêèõ öèôð:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Äëÿ ÷òåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë èõ ðàçáèâàþò, íà÷èíàÿ ñïðàâà, íà ãðóïïû ïî 3 öèôðû â êàæäîé. 3 ïåðâûå öèôðû ñïðàâà – ýòî êëàññ åäèíèö, 3 ñëåäóþùèå – ýòî êëàññ òûñÿ÷, äàëåå êëàññû ìèëëèîíîâ, ìèëëèàðäîâ è òàê äàëåå. Êàæäàÿ èç öèôð êëàññà íàçûâàåòñÿ åãî ðàçðÿäîì.
Ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Èç 2-õ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìåíüøå òî ÷èñëî, êîòîðîå ïðè ñ÷åòå íàçûâàåòñÿ ðàíåå. Íàïðèìåð, ÷èñëî 7 ìåíüøå 11 (çàïèñûâàþò òàê: 7 < 11). Êîãäà îäíî ÷èñëî áîëüøå âòîðîãî, ýòî çàïèñûâàþò òàê: 386 > 99.
Òàáëèöà ðàçðÿäîâ è êëàññîâ ÷èñåë.
Êëàññû | Ðàçðÿäû |
1-é êëàññ åäèíèöû | 1-é ðàçðÿä åäèíèöû 2-é ðàçðÿä äåñÿòêè 3-é ðàçðÿä ñîòíè |
2-é êëàññ òûñÿ÷è | 1-é ðàçðÿä åäèíèöû òûñÿ÷ 2-é ðàçðÿä äåñÿòêè òûñÿ÷ 3-é ðàçðÿä ñîòíè òûñÿ÷ |
3-é êëàññ ìèëëèîíû | 1-é ðàçðÿä åäèíèöû ìèëëèîíîâ 2-é ðàçðÿä äåñÿòêè ìèëëèîíîâ 3-é ðàçðÿä ñîòíè ìèëëèîíîâ |
4-é êëàññ ìèëëèàðäû | 1-é ðàçðÿä åäèíèöû ìèëëèàðäîâ 2-é ðàçðÿä äåñÿòêè ìèëëèàðäîâ 3-é ðàçðÿä ñîòíè ìèëëèàðäîâ |
×èñëà îò 5-ãî êëàññà è âûøå îòíîñÿòñÿ ê áîëüøèì ÷èñëàì. Åäèíèöû 5-ãî êëàññà — òðèëëèîíû, 6-ãî êëàññà — êâàäðèëëèîíû, 7-ãî êëàññà — êâèíòèëëèîíû, 8-ãî êëàññà — ñåêñòèëëèîíû, 9-ãî êëàññà — åïòèëëèîíû.
Îñíîâíûå ñâîéñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
- Êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ. a + b = b + a
- Êîììóòàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ. ab = ba
- Àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ. (a + b) + c = a + (b + c)
- Àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ.
- Äèñòðèáóòèâíîñòü óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ:
Äåéñòâèÿ íàä íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè.
1. Ñëîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ðåçóëüòàò: ñóììà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Ôîðìóëû äëÿ ñëîæåíèÿ:
à + b = b + à
(à + b) + ñ = à + (b + ñ)
à + 0 = 0 + à = à
 îñíîâíîì, ñëîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë âûïîëíÿåòñÿ «ñòîëáèêîì».
2. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë – îïåðàöèÿ, îáðàòíàÿ ñëîæåíèþ: ðàçíèöà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Åñëè â + ñ = à, òî
Åñëè à = â, òî à — b = à – à = 0
Ôîðìóëû äëÿ âû÷èòàíèÿ:
(à + b) – ñ = (à — ñ) + b
à – (b + ñ) = (à — b) – ñ
à + (b – ñ) = (à + b) – ñ
à – (b — ñ) = à – b + ñ
Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë óäîáíî ïðîèçâîäèòü «ñòîëáèêîì».
3. Óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë: ïðîèçâåäåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Ôîðìóëû äëÿ óìíîæåíèÿ:
à ∙ b = b ∙ à
à ∙ b ∙ ñ = à ∙ (b ∙ ñ)
(à + b) ∙ ñ= à ∙ ñ + b ∙ ñ
(à – b) ∙ ñ = à ∙ ñ – b ∙ ñ
à ∙ 1 = 1 ∙ à = à
à ∙ 0 = 0 ∙ à = 0
0 ∙ 0 = 0
1 ∙ 1 = 1
Óìíîæåíèå ëó÷øå âûïîëíÿòü «ñòîëáèêîì».
4. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë – îïåðàöèÿ, îáðàòíàÿ îïåðàöèè óìíîæåíèÿ.
Åñëè b ∙ ñ = à, òî
Ôîðìóëû äëÿ äåëåíèÿ:
à : 1 = a
a : a = 1, a ≠ 0
0 : a = 0, a ≠ 0
(à ∙ b) : c = (a :c) ∙ b
(à ∙ b) : c = (b :c) ∙ a
(a ∙ b) : c = a : (b ∙ c)
Äåëåíèå ëó÷øå âûïîëíÿòü â ñòîëáèê.
×èñëîâûå âûðàæåíèÿ è ÷èñëîâûå ðàâåíñòâà.
Çàïèñü, ãäå ÷èñëà ñîåäèíÿþòñÿ çíàêàìè äåéñòâèé, ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîâûì âûðàæåíèåì.
Íàïðèìåð, 10∙3+4; (60-2∙5):10.
Çàïèñè, ãäå çíàêîì ðàâåíñòâà îáúåäèíåíû 2 ÷èñëîâûõ âûðàæåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîâûìè ðàâåíñòâàìè. Ó ðàâåíñòâà åñòü ëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòè.
Ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé.
Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ÷èñåë – ýòî äåéñòâèÿ ïåðâîé ñòåïåíè, à óìíîæåíèå è äåëåíèå — ýòî äåéñòâèÿ âòîðîé ñòåïåíè.
Êîãäà ÷èñëîâîå âûðàæåíèå ñîñòîèò èç äåéñòâèé òîëüêî îäíîé ñòåïåíè, òî èõ âûïîëíÿþò ïîñëåäîâàòåëüíî ñëåâà íàïðàâî.
Êîãäà âûðàæåíèÿ ñîñòîÿò èç äåéñòâèÿ òîëüêî ïåðâîé è âòîðîé ñòåïåíè, òî ñíà÷àëà âûïîëíÿþò äåéñòâèÿ âòîðîé ñòåïåíè, à ïîòîì — äåéñòâèÿ ïåðâîé ñòåïåíè.
Êîãäà â âûðàæåíèè åñòü ñêîáêè – ñíà÷àëà âûïîëíÿþò äåéñòâèÿ â ñêîáêàõ.
Íàïðèìåð, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.
Ñêîëüêî íóëåé â ÷èñëå | |
| Óçíàòü êîëè÷åñòâî íóëåé, è ñêîëüêî äåñÿòêîâ, ñîòåí, òûñÿ÷, ìèëëèîíîâ, ìèëëèàðäîâ, òðèëëèîíîâ ñîäåðæèòñÿ â ëþáîì ÷èñëå. | |
| Ñêîëüêî íóëåé â ÷èñëå | |
Ìàòåìàòè÷åñêèå êàëüêóëÿòîðû | |
| Ìàòåìàòè÷åñêèå êàëüêóëÿòîðû: êîðíè, äðîáè, ñòåïåíè, óðàâíåíèÿ, ôèãóðû, ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ è äðóãèå êàëüêóëÿòîðû. | |
| Ìàòåìàòè÷åñêèå êàëüêóëÿòîðû | |
Êàëüêóëÿòîðû ïî àëãåáðå | |
| Ðåøåíèÿ, ïîäñêàçêè è ó÷åáíèê ëèíåéíîé àëãåáðû îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî àëãåáðå). | |
| Êàëüêóëÿòîðû ïî àëãåáðå | |
×èñëà. | |
| Ïðîñòûå, íàòóðàëüíûå, äåéñòâèòåëüíûå, ðàöèîíàëüíûå, öåëûå, âåùåñòâåííûå ÷èñëà | |
| ×èñëà. | |
Äåéñòâèÿ ñ ÷èñëàìè. | |
| Äåéñòâèÿ ñ íàòóðàëüíûìè, ìíîãîçíà÷íûìè, êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ ñ ÷èñëàìè, ïðèìåðû äåéñòâèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè, íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè | |
| Äåéñòâèÿ ñ ÷èñëàìè. | |
Ìàòåìàòèêà 4,5,6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ìàòåìàòèêè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ìàòåìàòèêà 4,5,6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
×èñëà. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. | |
| Ïîíÿòèå äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà: äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî — (âåùåñòâåííîå ÷èñëî), âñÿêîå íåîòðèöàòåëüíîå èëè îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî ëèáî íóëü. | |
| ×èñëà. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. | |
×èñëà. Ïðîñòûå ÷èñëà. | |
| Ïðîñòîå ÷èñëî ýòî öåëîå ÷èñëî (ïîëîæèòåëüíîå) èç ðàçðÿäà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë , êîòîðîå èìååò òîëüêî 2 ðàçíûõ íàòóðàëüíûõ äåëèòåëÿ. | |
| ×èñëà. Ïðîñòûå ÷èñëà. | |
Öåëûå ÷èñëà – ýòî íàòóðàëüíûå ÷èñëà, à òàêæå ïðîòèâîïîëîæíûå èì ÷èñëà è íóëü.
Öåëûå ÷èñëà — ðàñøèðåíèå ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ ïóòåì äîáàâëåíèÿ ê N 0 è îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë òèïà − n. Ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë îáîçíà÷àþò Z.
Ñóììà, ðàçíîñòü è ïðîèçâåäåíèå öåëûõ ÷èñåë äàþò ñíîâà öåëûå ÷èñëà, ò.å. öåëûå ÷èñëà ñîñòàâëÿþò êîëüöî îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ.
Öåëûå ÷èñëà íà ÷èñëîâîé îñè:
Ñêîëüêî öåëûõ ÷èñåë? Êàêîå êîëè÷åñòâî öåëûõ ÷èñåë? Ñàìîãî áîëüøîãî è ñàìîãî ìàëåíüêîãî öåëîãî ÷èñëà íåò. Ýòîò ðÿä áåñêîíå÷åí. Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå öåëîå ÷èñëî íå ñóùåñòâóåò.
Íàòóðàëüíûå ÷èñëà åùå íàçûâàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè öåëûìè ÷èñëàìè, ò.å. ôðàçà «íàòóðàëüíîå ÷èñëî» è «ïîëîæèòåëüíîå öåëîå ÷èñëî» ýòî îäíî è òî æå.
Íè îáûêíîâåííûå, íè äåñÿòè÷íûå äðîáè íå ÿâëÿþòñÿ öåëûìè ÷èñëàìè. Íî ñóùåñòâóþò äðîáè ñ öåëûìè ÷èñëàìè.
Ïðèìåðû öåëûõ ÷èñåë: -8, 111, 0, 1285642, -20051 è òàê äàëåå.
Ãîâîðÿ ïðîñòûì ÿçûêîì, öåëûå ÷èñëà — ýòî (∞… -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4…+ ∞) – ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåëûõ ÷èñåë. Òî åñòü òå, ó êîòîðûõ äðîáíàÿ ÷àñòü ({}) ðàâíà íóëþ. Îíè íå èìåþò äîëåé.
Íàòóðàëüíûå ÷èñëà — ýòî öåëûå, ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. Öåëûå ÷èñëà, ïðèìåðû: (1,2,3,4…+ ∞).
Îïåðàöèè íàä öåëûìè ÷èñëàìè.
1. Ñóììà öåëûõ ÷èñåë.
Äëÿ ñëîæåíèÿ äâóõ öåëûõ ÷èñåë ñ îäèíàêîâûìè çíàêàìè, íåîáõîäèìî ñëîæèòü ìîäóëè ýòèõ ÷èñåë è ïåðåä ñóììîé ïîñòàâèòü èòîãîâûé çíàê.
Ïðèìåð:
(+2) + (+5) = +7.
2. Âû÷èòàíèå öåëûõ ÷èñåë.
Äëÿ ñëîæåíèÿ äâóõ öåëûõ ÷èñåë ñ ðàçíûìè çíàêàìè, íåîáõîäèìî èç ìîäóëÿ ÷èñëà, êîòîðîå áîëüøå âû÷åñòü ìîäóëü ÷èñëà, êîòîðîå ìåíüøå è ïåðåä îòâåòîì ïîñòàâèòü çíàê áîëüøåãî ÷èñëà ïî ìîäóëþ.
Ïðèìåð:
(–2) + (+5) = +3.
3. Óìíîæåíèå öåëûõ ÷èñåë.
Äëÿ óìíîæåíèÿ äâóõ öåëûõ ÷èñåë, íåîáõîäèìî ïåðåìíîæèòü ìîäóëè ýòèõ ÷èñåë è ïåðåä ïðîèçâåäåíèåì ïîñòàâèòü çíàê ïëþñ (+), åñëè èñõîäíûå ÷èñëà áûëè îäíîãî çíàêà, è ìèíóñ (–) – åñëè ðàçíîãî.
Ïðèìåð:
(+2) ∙ (–3) = –6.
Êîãäà óìíîæàþòñÿ íåñêîëüêî ÷èñåë, çíàê ïðîèçâåäåíèÿ áóäåò ïîëîæèòåëüíûì, åñëè ÷èñëî íåïîëîæèòåëüíûõ ñîìíîæèòåëåé ÷¸òíîå, è îòðèöàòåëåí, åñëè íå÷¸òíîå.
Ïðèìåð:
(–2) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–3) ∙ (+4) = –360 (3 íåïîëîæèòåëüíûõ ñîìíîæèòåëÿ).
4. Äåëåíèå öåëûõ ÷èñåë.
Äëÿ äåëåíèÿ öåëûõ ÷èñåë, íåîáõîäèìî ïîäåëèòü ìîäóëü îäíîãî íà ìîäóëü äðóãîãî è ïîñòàâèòü ïåðåä ðåçóëüòàòîì çíàê «+», åñëè çíàêè ÷èñåë îäèíàêîâûå, è ìèíóñ, – åñëè ðàçíûå.
Ïðèìåð:
(–12) : (+6) = –2.
Ñâîéñòâà öåëûõ ÷èñåë.
Z íå çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî äåëåíèÿ 2-õ öåëûõ ÷èñåë (íàïðèìåð, 1/2). Íèæå ïðèâåäåííàÿ òàáëèöà ïîêàçûâàåò íåêîòîðûå îñíîâíûå ñâîéñòâà ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ äëÿ ëþáûõ öåëûõ a, b è c.
Ñâîéñòâî | ñëîæåíèå | óìíîæåíèå |
çàìêíóòîñòü | a + b — öåëîå | a × b — öåëîå |
àññîöèàòèâíîñòü | a + (b + c) = (a + b) + c | a × (b × c) = (a × b) × c |
êîììóòàòèâíîñòü | a + b = b + a | a × b = b × a |
ñóùåñòâîâàíèå íåéòðàëüíîãî ýëåìåíòà | a + 0 = a | a × 1 = a |
ñóùåñòâîâàíèå ïðîòèâîïîëîæíîãî ýëåìåíòà | a + (−a) = 0 | a ≠ ±1 ⇒ 1/a íå ÿâëÿåòñÿ öåëûì |
äèñòðèáóòèâíîñòü óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ | a × (b + c) = (a × b) + (a × c) | |
Èç òàáëèöû ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî Z — ýòî êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ.
Ñòàíäàðòíîå äåëåíèå íå ñóùåñòâóåò íà ìíîæåñòâå öåëûõ ÷èñåë, íî åñòü ò.í äåëåíèå ñ îñòàòêîì: äëÿ âñÿêèõ öåëûõ a è b, b≠0, åñòü îäèí íàáîð öåëûõ ÷èñåë q è r, ÷òî a = bq + r è 0≤r<|b|, ãäå |b| — àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà (ìîäóëü) ÷èñëà b. Çäåñü a — äåëèìîå, b — äåëèòåëü, q — ÷àñòíîå, r — îñòàòîê.
Ñêîëüêî íóëåé â ÷èñëå | |
| Óçíàòü êîëè÷åñòâî íóëåé, è ñêîëüêî äåñÿòêîâ, ñîòåí, òûñÿ÷, ìèëëèîíîâ, ìèëëèàðäîâ, òðèëëèîíîâ ñîäåðæèòñÿ â ëþáîì ÷èñëå. | |
| Ñêîëüêî íóëåé â ÷èñëå | |
Ìàòåìàòè÷åñêèå êàëüêóëÿòîðû | |
| Ìàòåìàòè÷åñêèå êàëüêóëÿòîðû: êîðíè, äðîáè, ñòåïåíè, óðàâíåíèÿ, ôèãóðû, ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ è äðóãèå êàëüêóëÿòîðû. | |
| Ìàòåìàòè÷åñêèå êàëüêóëÿòîðû | |
Êàëüêóëÿòîðû ïî àëãåáðå | |
| Ðåøåíèÿ, ïîäñêàçêè è ó÷åáíèê ëèíåéíîé àëãåáðû îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî àëãåáðå). | |
| Êàëüêóëÿòîðû ïî àëãåáðå | |
×èñëà. | |
| Ïðîñòûå, íàòóðàëüíûå, äåéñòâèòåëüíûå, ðàöèîíàëüíûå, öåëûå, âåùåñòâåííûå ÷èñëà | |
| ×èñëà. | |
Äåéñòâèÿ ñ ÷èñëàìè. | |
| Äåéñòâèÿ ñ íàòóðàëüíûìè, ìíîãîçíà÷íûìè, êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ ñ ÷èñëàìè, ïðèìåðû äåéñòâèÿ ñ îòðèöàòåëüíûìè, íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè | |
| Äåéñòâèÿ ñ ÷èñëàìè. | |
Ìàòåìàòèêà 4,5,6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ìàòåìàòèêè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ìàòåìàòèêà 4,5,6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |