Какие арифметические действия обладают свойством дистрибутивности
Основными свойствами бинарных алгебраических операций являются:
Коммутативность (переместительность)
Свойство бинарной алгебраической операции $ circ ,$ при котором выполняется условие: $ forall x,y in mathbb{P}: $ $ (xcirc y)=(ycirc x) ,$ где $ mathbb{P} $ — некоторое рассматриваемое множество.
Ассоциативность (сочетательность)
Свойство бинарной алгебраической операции $ circ ,$ при котором выполняется условие: $ forall x,y,z in mathbb{P}: $ $ (xcirc y)circ z=ycirc (xcirc z) ,$ где $ mathbb{P} $ — некоторое рассматриваемое множество.
Дистрибутивность (распределительный закон)
Свойство согласованности некоторых двух рассматриваемых алгебраических операций $ oplus $ и $ otimes $ на одном и том же некотором рассматриваемом множестве $ mathbb{P} ,$ при котором выполняется условие левой: $ forall x,y,z in mathbb{P}: $ $ xotimes (yoplus z) $ $ =(xotimes y)oplus(xotimes z) $; и/или правой: $ (yoplus z) otimes x $ $ =(yotimes x)oplus(zotimes x) $ дистрибутивности.
Примеры
- Проверить коммутативность умножения матриц над полем вещественных чисел.
Спойлер
Пусть $ small A in mathbb{M} _{m times p} ,B in mathbb{M} _{p times n}: $ $ small C=Atimes B; C in mathbb{M} _{mtimes n} Rightarrow $ $ small c_{ij}= underset{k=1} {overset{p} {sum}}a_{ik}b_{kj} .$ Очевидно, что для выполнения операции умножения, количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй, следовательно, мы доказали, что коммутативность не выполняется для всех матриц, однако всё ещё может выполнятся для квадратных матриц. Проверим это: выполнение коммутативности для матриц будет выглядеть, как $ smallforall A,B in mathbb{M}_{n} Atimes B overset{?}{=} Btimes A,$ если рассматривать результирующую матрицу поэлементно, то это можно интерпретировать, как $ small underset{k=1} {overset{m} {sum }}a_{ik}b_{kj}overset {?}{=} underset{k=1}{ overset{m}{sum}}b_{ik}a_{kj},$ то есть в первой сумме мы перемножаем строку первой матрицы на столбец второй, а во второй строку второй матрицы на столбец первой. Ясно, что результаты таких действий будут равны тогда и только тогда, когда обе матрицы будут симметрическими (то есть будут совпадать с собой транспонированными $ small A^{T}=A$). Следовательно, коммутативность не выполняется даже для квадратных матриц.[свернуть]
- Доказать, что если ассоциативность выполняется для трёх элементов множества, то способ расстановки скобок не влияет на результат при любом количестве операндов, то есть если:
$ forall x,y,z in mathbb{P}: $ $ (xcirc y)circ z=ycirc (xcirc z) ,$ то в выражении $ a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{n-1} circ a _{n}, ,a_{i} in mathbb{P} i=overline{1,n} $ результат не зависит от того, как мы расставим скобки.Спойлер
Докажем это утверждение математической индукцией по количеству операндов.
База индукции:
Минимальное количество переменных равно трём, следовательно, из условия имеем: $ small forall ,a_{1}, a_{2}, a_{3} in mathbb{P}: $ $ small ( a_{1}circ a_{2})circ a_{3}= a_{2}circ (a_{1}circ a_{3}) .$ База индукции доказана.
Предположение индукции:
$ small forall ,n in mathbb{N}: $результат выражения $ small a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{n-1} circ a _{n} ,$ не зависит от порядка расстановки скобок.
Шаг индукции:
Пусть предположение индукции справедливо для $ small forall , n in mathbb{N} ,$ докажем, что тогда оно справедливо и для $ small n+1 .$
Пусть $ small 1leq pleq m< n+1 .$ То есть можно задать справедливое разбиение: $ small a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{n-1} circ a _{n} = $ $ small (a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{p-1} circ a _{p}) circ $ $ small (a _{p+1} circ … circ a _{m-1} circ a _{m})circ $ $ small (a _{m+1} circ … circ a _{n-1} circ a _{n} circ a _{n+1}) .$ Произведём замену:
$ small (a _{1} circ a _{2} circ … circ a _{p-1} circ a _{p}) = a $
$ small (a _{p+1} circ … circ a _{m-1} circ a _{m}) = b $
$ small (a _{m+1} circ … circ a _{n} circ a _{n+1}) = c $
По базе индукции имеем $ small (a circ b) circ c = a circ (b circ c ),$ то есть $ small [ (a _{1} circ a _{2} circ … $ $ circ a _{p-1} circ a _{p}) circ $ $ small (a _{p+1} circ … $ $ circ a _{m-1} circ a _{m}) ] circ $ $ small (a _{m+1} circ … $ $ circ a _{n-1} circ a _{n} circ a _{n+1})=$ $ small (a _{1} circ a _{2} circ … $ $ circ a _{p-1} circ a _{p}) circ $ $ small [ (a _{p+1} circ … $ $ circ a _{m-1} circ a _{m}) circ $ $ small (a _{m+1} circ … $ $ circ a _{n-1} circ a _{n} circ a _{n+1}) ].$
В силу свободы выбора $ small p, m,$ и свободы количества замен такого рода теорема доказана.[свернуть]
- Проверить дистрибутивность сложения матриц над полем вещественных чисел относительно умножения.
Спойлер
Пусть $ A in mathbb{M} _{mtimes n}; B,C in mathbb{M} _{ntimes m},$ докажем, что $ Acdot (B+C)=Acdot B+Acdot C.$ Заметим, что $ A=left | a_{ij} right |,$ $ B=left | b_{ji} right |,$ $ C=left | c_{ji} right |,$ $ i=overline{1,m},$ $ j =overline{1,n}$, тогда $ Acdot (B+C)=$ $ left | a_{ij} right |cdot (left | b_{ji} right | + left | c_{ji} right |)=$ $ left | a_{ij} right |cdot (left | b_{ji} + c_{ji} right |) = $ $ left | underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot (b_{ji} + c_{ji})right | = $ $ left | underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot b_{ji} + underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot c_{ji}right |=$ $ left | underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot b_{ji} right | + left | underset{i=1}{ overset{m}{sum}} a_{ij} cdot c_{ji}right | = $ $ Acdot B+Acdot C.$
Правая дистрибутивность доказывается аналогично.[свернуть]
Источники:
- В. В. Воеводин «Линейная алгебра» Издание 2, 1980 года, стр. 9-13
- А. И. Кострыкин «Введение в алгебру. Основы алгебры», 1994 года, стр. 155-160
- А. Г. Курош «Курс высшей алгебры» издание 9, 1968 года, стр. 147-161
- Белозеров Г.С. Конспект лекций
Таблица лучших: Основные свойства бинарных алгебраических операций.
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
Навигация по записям
Сочетай, перемещай, свойства действий
узнавай
Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.
Свойства сложения
Переместительный закон сложения
Сумма не изменяется от перестановки слагаемых .
Пример:
3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:
a+b=b+a
a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.
Сочетательный закон сложения
Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .
Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.
Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:
a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа
Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.
Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …
Свойство сложения разности чисел
Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.
Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.
Свойство вычитания разности из числа
Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.
Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.
Свойства умножения
Переместительный закон умножения
Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …
Сочетательный закон умножения
Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .
Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.
Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.
Умножение числа на произведение чисел
Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.
Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.
Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.
Умножение числа на сумму чисел
Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.
Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …
В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.
Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …
Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.
Распределительный закон умножения для разности чисел
Распределительный закон можно применять и к разности.
Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;
7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.
Вообще:
(а — b)с = ас — bc,
а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.
Свойства деления
Деление суммы на число
Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:
Например:
(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)
Деление разности на число
Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:
(20-8)/5= 20/5 — 8/5
Вообще:
(a-b)/c = (a/c) -(b/c)
Деление произведения на число
Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:
(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:
(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.
Деление числа на произведение
Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:
120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.
Вообще:
а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.
Укажем еще следующее свойство деления:
Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3
Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b
Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.
Комментирование и размещение ссылок запрещено.
Дистрибутивность (свойство дистрибутивности, распределительный закон) гласит, что произведение числа и суммы чисел равно сумме произведения числа и отдельных слагаемых. Это означает, что a(b + c) = ab + ac. Вы можете использовать это основное свойство при решении и упрощении разнообразных уравнений. Если вы хотите знать, как использовать свойство дистрибутивности при решении уравнения, следуйте этим шагам.
Используем основное свойство дистрибутивности
1
Перемножьте число (член) за скобками и числа (члены) в скобках. Умножьте число за скобками на первое слагаемое в скобках, а затем умножьте его на второе слагаемое. Если слагаемых больше чем два, умножьте число за скобками на все слагаемые в скобках.[1] Вот как это сделать:
- Например: 2(x — 3) = 10
- 2(x) — (2)(3) = 10
- 2x — 6 = 10
2
Сложите подобные члены. Прежде чем приступить к решению уравнения, необходимо сложить подобные члены. Сложите все свободные члены и члены с переменной «х». Перенесите все свободные члены на одну сторону уравнения, а члены с неизвестным – на другую.
- 2x — 6(+6) = 10 (+6)
- 2x = 16
3
Решите уравнение. Найдите «х», разделив обе части уравнения на 2.
- 2x = 16
- 2x/2 = 16/2
- x = 8
Используем свойство дистрибутивности. Более сложная задача
1
Перемножьте число за скобками и числа в скобках. Это делается так же, как в предыдущей главе, но здесь мы будем использовать свойство дистрибутивности более одного раза.
- Например: 4(x + 5) = 8 + 6(2x — 2)
- 4(x) + 4(5) = 8 + 6(2x) — 6(2)
- 4x + 20 = 8 +12x -12
2
Сложите подобные члены. Перенесите все свободные члены на одну сторону уравнения, а члены с неизвестным – на другую.
- 4x + 20 = 8 +12x -12
- 4x + 20 = 12x — 4
- 4x -12x = -4 — 20
- -8x = -24
3
Решите уравнение. Найдите «х», разделив обе части уравнения на -8.
- -8x/-8 = -24/-8
- x = 3
Дистрибутивность при отрицательных коэффициентах
1
Перемножьте число за скобками и числа в скобках. Если это число — отрицательное, то действуйте согласно правилам операций с отрицательными числами. Если вы умножаете отрицательное число на положительное, то результат отрицательный; если вы умножаете отрицательное число на другое отрицательное число, то результат будет положительным.[2]
- Например: -4(9 — 3x) = 48
- -4(9) — -4(3x) = 48
- -36 -(-12x) = 48
- -36 + 12x = 48
2
Сложите подобные члены. Перенесите все свободные члены на одну сторону уравнения, а члены с неизвестным – на другую.
- -36 + 12x = 48
- 12x = 48 — -(36)
- 12x = 84
3
Решите уравнение. Найдите «х», разделив обе части уравнения на 12.
- 12x/12 = 84/12
- x = 7
Упрощение уравнения
1
Найти наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей дробей в уравнении. Для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел просто найдите наименьшее число, которое делится на оба данных числа. Числа в знаменателях 3 и 6, и 6 — наименьшее число, которое делится на 3 и на 6.[3]
- x — 3 = x/3 + 1/6
- НОК = 6
2
Умножьте все члены уравнения на НОК. Теперь заключите в скобки все члены исходного уравнения (на каждой стороне уравнения) и поставьте НОК за скобками. Затем перемножьте НОК и слагаемые в скобках. Умножение обеих частей уравнения на одно и то же число не меняет конечного результата уравнения, но приведет к виду уравнения без дробей.
- 6(x — 3) = 6(x/3 + 1/6)
- 6(x) — 6(3) = 6(x/3) + 6(1/6)
- 6x — 18 = 2x + 1
3
Сложите подобные члены. Перенесите все свободные члены на одну сторону уравнения, а члены с неизвестным – на другую.
- 6x — 2x = 1 — (-18)
- 4x = 19
4
Решите уравнение. Найдите «х», разделив обе части уравнения на 4.
- 4x/4 = 19/4
- x = 19/4 or 16 3/4
Об этой статье
Эту страницу просматривали 5094 раза.
Была ли эта статья полезной?
«Дистрибутивность» перенаправляется сюда. Не следует путать с Distributivism .
Визуализация дистрибутивности для положительных чисел
В абстрактной алгебре и формальной логике , то распределительное свойство из бинарных операций обобщает дистрибутивный закон от булевой алгебры и элементарной алгебры . В логике высказываний , распределение относится к двум действительным правилам замены . Правила позволяют переформулировать конъюнкции и дизъюнкции в логических доказательствах .
Например, в арифметике :
2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), но 2 / (1 + 3) ≠ (2/1) + (2/3).
В левой части первого уравнения, 2 умножает сумму 1 и 3; на правой стороне, он умножает 1 и 3 индивидуально, с продуктами , добавленным впоследствии. Поскольку они дают один и тот же окончательный ответ (8), умножение на 2 называется распределить над добавлением 1 и 3. Так как можно было бы поместить любые действительные числа вместо 2, 1 и 3 выше, и до сих пор получили истинное уравнение, умножение действительных чисел распределяет более того действительных чисел.
Определение
Учитывая множество S и две бинарные операторы * и + на S , операции:
* Является левым дистрибутивна над + , если для любых элементов х , у и г из S ,
* Является дистрибутивно справа над + , если для любых элементов х , у и г из S ,
а также
* Является дистрибутивной над + , если это левый и правый дистрибутивный.
Обратите внимание на то, что когда * является коммутативной , три указанные выше условия являются логически эквивалентны .
Имея в виду
Операторы , используемые для примеров в данном разделе , являются бинарными операциями на дополнение ( ) и умножение ( ) из чисел .
Существует различие между левой дистрибутивностью и правой дистрибутивностью:
(Слева дистрибутивный)
(Дистрибутивно справа)
В любом случае, распределительное свойство можно описать словами, как:
Для того, чтобы умножить сумму (или разность ) на коэффициент, каждое слагаемое (или уменьшаемого и вычитаемого ) умножается на этот коэффициент и полученные продукты добавляются (или вычитаются).
Если операция вне скобок (в данном случае, умножение) коммутативности, то левая дистрибутивность означает правый дистрибутивности и наоборот.
Одним из примеров операции, которая является «только» правый дистрибутивный деление, которое не является коммутативной:
В этом случае левая дистрибутивность не применяется:
В дистрибутивные законы являются одними из аксиом для колец (например , кольцо целых чисел ) и полей (например , поле рациональных чисел ). Здесь умножение дистрибутивно относительно сложения, но добавление не более распределительное умножения. Примеры структур , в которых две операции взаимно связаны друг с другом с помощью распределительного закона (е. Г., Они распределяют друг над другим) являются булевыми алгебрами , таких как алгебры множеств или алгебра переключения .
Умножение суммы могут быть введены в словах следующим образом: Когда сумма умножается на сумму, умножить каждое слагаемое суммы с каждым слагаемым других сумм (отслеживающих знаков), а затем суммированием всех полученных продуктов.
Примеры
Вещественные числа
В следующих примерах, использование дистрибутивного закона на множестве действительных чисел иллюстрируются. Когда умножение упоминаются в элементарной математике, как правило , относится к такому роду умножение. С точки зрения алгебры, вещественные числа образуют поле , которое обеспечивает справедливость распределительного закона.
Первый пример (умственное и письменное умножение)
Во время умственной арифметики, распределенность часто используются бессознательно:
Таким образом, для расчета 6 ⋅ 16 в вашей голове, сначала умножаем 6 · 10 и 6 · 6 и добавить промежуточные результаты. Письменное умножение также основано на распределительный закон.
Второй пример (с переменными)
Третий пример (с двумя суммами)
Здесь дистрибутивный закон был применен в два раза, и это не имеет значения, какой кронштейн первый перемножаются.
Четвертый пример
Здесь дистрибутивный закон применяется наоборот по сравнению с предыдущими примерами. Рассматривать
Так как фактор имеет место во всех слагаемых, это может быть вынесено. То есть, из — за дистрибутивный закон Получает
Матрицы
Распределительный закон справедлив для умножения матриц . Точнее,
для всех -матрицах и -матрицах , а также
для всех -матрицах и -матрицах . Поскольку свойство коммутативности не выполняется для матричного умножения, второй закон не вытекает из первого закона. В этом случае они являются двумя различными законами.
Другие примеры
- Умножение из порядковых номеров , в отличие от этого , только левый дистрибутивный, не дистрибутивно справа.
- Перекрестное произведение является левой и правой дистрибутивности над векторным сложением , хотя и не коммутативной.
- Объединение множеств дистрибутивна над пересечением , и пересечение дистрибутивна над профсоюзом.
- Логическая дизъюнкция ( «или») дистрибутивна над логической связью ( «и»), и наоборот.
- Для действительных чисел (и для любого вполне упорядоченного множества ), максимальная работа дистрибутивна над минимальной операцией, и наоборот: макс ( , мин ( б , с )) = мин (макс ( , б ), не более ( , с )) и мин ( , макс ( б , с )) = макс (мин ( , б ), мин ( , с )) .
- Для целых чисел , то наибольший общий делитель дистрибутивна над наименьшее общее кратное , и наоборот: НОД ( , LCM ( Ь , с )) = LCM (НОД ( , б ), НОД ( , с )) и LCM ( , НОД ( Ь , с )) = НОД (LCM ( , б ), LCM ( , с )) .
- Для действительных чисел, сложение распределяет по максимальной работы, а также по сравнению с минимальной операции: + макс ( б , с ) = тах ( + Ь , + с ) и + мин ( б , с ) = мин ( + б , + с ) .
- Для биномиального умножения, распределение иногда называют методом фольг (первыми членами аса , Внешними объявлениями , Внутренним до н.э. , а последний бд ) , таких как: ( в + б ) · ( гр + д ) = ас + объявление + Ьс + бд ,
- Полином умножение аналогична таковой для двучленов: ( + б ) · ( с + d + е ) = ас + объявления + ае + Ьс + шд + быть .
- Комплексное число умножение дистрибутивно:
Логика высказываний
Верховенство замены
В стандартной истине функциональной логики, распределение в логических доказательствах используется две действительных правилами замены для расширения отдельных вхождений определенных логических связок , в какой — то формуле , в отдельные приложения этих связок через подформулы данной формулы. Правила
а также
где « », также написано ≡ , является металогическая символ , представляющий «может быть заменен в качестве доказательства с» или «является логическим эквивалентом для».
Правда функциональные связок
Дистрибутивность это свойство некоторых логических связок истины функциональной логики . Следующие логические эквивалентности показывают , что распределенность является собственностью отдельных связок. Следующая истинностная функциональная тавтология .
Распределение совокупности по совокупности
Распределение совместно над дизъюнкции
Распределение дизъюнкции над совместно
Распределение дизъюнкции над дизъюнкции
Распределение импликации
Распределение импликации над эквивалентности
Распределение дизъюнкции над эквивалентности
Двойное распределение
Дистрибутивность и округление
На практике, распределительное свойство умножения (и деления) над дополнением может показаться быть скомпрометировано или потеряли из — за ограничениями арифметической точности . Например, тождество ⅓ + ⅓ + ⅓ = (1 + 1 + 1) / 3 , как представляется , терпят неудачу , если добавление проводят в десятичной арифметики ; Однако, если много значащих цифр используются, то расчет приведет к более тесному приближению к правильным результатам. Например, если арифметическое вычисление принимает вид: 0,33333 + 0,33333 + 0,33333 = 0,99999 ≠ 1 , этот результат является более близким приближением , чем если бы меньше значащие цифры были использованы. Даже тогда , когда дробные числа могут быть представлены именно в арифметической форме, ошибки будут введены , если эти арифметические значения округлены или усечение. Например, покупая две книги, каждый по цене £ 14,99 до налогообложения в размере 17,5%, в двух отдельных сделок будет реально сэкономить £ 0,01, по сравнению с покупкой их вместе: £ 14,99 × 1,175 = £ 17,61 до ближайшего £ 0,01, что в общей сложности расходы £ 35,22, но £ 29,98 × 1,175 = £ 35,23 . Такие методы, как банковское округление могут помочь в некоторых случаях, как это может увеличить точность используемой, но в конечном счете , некоторые ошибки в расчетах неизбежны.
Дистрибутивность в кольцах
Дистрибутивность наиболее часто встречается в кольцах и дистрибутивных решеток .
Кольцо имеет две бинарные операции + и * (обычно), и одним из требований кольца является то , что * должна распределить выше +. Большинство видов чисел (пример 1) и матрицы (пример 4) образует кольцо. Решетка другой вид алгебраической структуры с двумя бинарными операциями, ∧ и ∨. Если какой- либо из этих операций (например ∧) распределяет над другими (∨), то ∨ должно также распространять через ∧, а решетка называется дистрибутивной. Смотрите также статью о дистрибутивности (теории порядка) .
Примеры 4 и 5 являются булевыми алгебрами , которые могут быть интерпретированы либо как особый вид кольца (а булево кольцо ) или специального вид распределительной решетки (а булева решетка ). Каждая интерпретация несет ответственность за различные дистрибутивные законы в булевой алгебре. Примеры 6 и 7 представляют собой распределительные решетки , которые не являются булевыми алгебрами.
Отказ одного из двух законов дистрибутивности приносит почти-кольца и вблизи полей вместо колец и разделительных колец соответственно. Операции, как правило , настроены на ближнее кольцо или ближнее поле Дистрибутива на праве , но не слева.
Кольца и распределительные решетки являются специальными видами буровых установок , некоторые обобщениями колец. Эти цифры в примере 1 , которые не образуют кольца по меньшей мере , формы буровых установок.
Near-установки являются дальнейшим обобщением буровых установок, которые остались дистрибутивными , но не дистрибутивны справа; Пример 2 является почти вышкой.
Обобщения дистрибутивности
В некоторых математических областях, обобщенные законы дистрибутивности рассматриваются. Это может включать в себя ослабление указанных выше условий или расширение для инфинитарных операций. Особенно в теории порядка один находит многочисленные важные варианты дистрибутивности, некоторые из которых включают в себя инфинитарной операции, такие как бесконечной дистрибутивности ; другие определяются в наличии только одна бинарной операции, например, согласно определениям и их отношения приведены в статье дистрибутивность (теории порядка) . Это также включает в себя понятие полностью дистрибутивной решетки .
В присутствии упорядочения связи, можно также ослабить выше равенство путем замены = либо ≤ или ≥. Естественно, это приведет к значимым понятиям только в некоторых ситуациях. Применение этого принципа является понятие суб-дистрибутивности , как описано в статье на интервальной арифметике .
В теории категорий , если ( S , μ , η ) и ( S ‘, ц ‘, η ‘) являются монады на категории С , в дистрибутивный закон S . S ‘→ S ‘. S представляет собой естественное преобразование λ : S . S ‘→ S ‘. S таким образом, что ( S ‘, λ ) является слабой картой монад S → S и ( S , λ ) является colax карты монады S ‘ → S ‘ . Это именно те данные , необходимые для определения структуры монады на S ‘. S : отображение умножения S ‘ μ . μ ‘ S 2 . S ‘ λS и блок карта п ‘ S . η . См: дистрибутивный закон между монадами .
Обобщенный дистрибутивный закон также был предложен в области теории информации .
ПОНЯТИЯ antidistributivity
Повсеместно идентичность , которая относится к инверсиям бинарной операции в любой группе , а именно ( х -у ) -1 = у -1 х -1 , которая принимается как аксиома в более общем контексте полугруппы с инволюцией , иногда называется antidistributive свойство (инверсии в качестве одноместной операции ).
В контексте почти-кольца , которое удаляет коммутативности аддитивно написанной группы и принимает только один односторонний дистрибутивности, можно говорить о (двухсторонние) распределительные элементы , но и antidistributive элементов . Последнего в обратном порядке (некоммутативном) дополнение; предполагая левое почтикольцо (то есть тот , который распределить все элементы при умножении на левой стороне ), затем antidistributive элемент изменяет порядок сложения при умножении справа: ( х + у ) = уа + ха .
При изучении логики и алгебры логики , термин antidistributive закон иногда используется для обозначения взаимного обмена между конъюнкции и дизъюнкции , когда импликация факторов над ними:
- ( ∨ б ) ⇒ гр ≡ ( ⇒ гр ) ∧ ( б ⇒ гр )
- ( ∧ б ) ⇒ гр ≡ ( ⇒ гр ) ∨ ( б ⇒ гр )
Эти два тавтологии являются прямым следствием двойственности законов Де Моргана .
Заметки
внешняя ссылка
- Демонстрация закона Распределительный для целочисленной арифметики (с вырезом в-узел )