Для каких значений переменных верны равенства выражающие свойства сложения
- Переместительное свойство умножения
- Сочетательное свойство умножения
- Распределительное свойство умножения
Переместительное свойство умножения
От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.
Следовательно, для любых чисел a и b верно равенство:
a · b = b · a
выражающее переместительное свойство умножения.
Примеры:
6 · 7 = 7 · 6 = 42
4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24
Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.
Сочетательное свойство умножения
Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.
Следовательно, для любых чисел a, b и c верно равенство:
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
выражающее сочетательное свойство умножения.
Пример:
3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30
или
3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30
Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:
25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500
В данном случае можно было вычислить всё последовательно:
25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500
но проще и легче сначала умножить 25 на 4 и получить 100, а уже потом умножить 100 на 15.
Распределительное свойство умножения
Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:
Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
m · (a + b) = m · a + m · b
выражающее распределительное свойство умножения.
Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
(a + b) · m = a · m + b · m
Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:
Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
m · (a — b) = m · a — m · b
Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
(a — b) · m = a · m — b · m
Переход от умножения:
m · (a + b) и m · (a — b)
соответственно к сложению и вычитанию:
m · a + m · b и m · a — m · b
называется раскрытием скобок.
Переход от сложения и вычитания:
m · a + m · b и m · a — m · b
к умножению:
m · (a + b) и m · (a — b)
называется вынесением общего множителя за скобки.
Ranina
Мастер
(1157)
12 лет назад
ну, первое:
От перестановки мест слагаемых (множителей) сумма (произведение) не меняется.
второе: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc).
третье : : c(a + b) = ca + cb.
Сергей
Знаток
(430)
12 лет назад
а*в=в*а; а+в=в+а; — переместительное
а (в+с) =ав+ас — распределительное
(a + b) + с = a + (b + c); ab)с = a(bc) — Сочетательное
СергейЗнаток (430)
12 лет назад
Прошу прощения
(a + b) + с = a + (b + c); (ab)с = a(bc) — Сочетательный
Павел Чупраков
Знаток
(254)
4 года назад
a + b = b + a (переместительный закон сложения).
(a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).
ab = ba (переместительный закон умножения).
(ab)c = a(bc) (сочетательный закон умножения).
a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).
Гала
Ученик
(210)
3 года назад
1 Переместительный закон сложения и умножения:
От перемены мест слагаемых сумма не меняется. (Значение суммы при перестановке двух слагаемых не меняется.) a + b = b + a = с
От перемены мест множителей произведение не меняется. (Значение произведения при перестановке множителей не меняется.) a x b = b x a = с
2 Сочетательное свойство сложения и умножения: Для любых чисел a, b и c верны равенства: (a + b) + c = a + (b + c) и (ab)c = a(bc)
3 Распределительное свойство умножения: Для любых чисел a, b и c верны равенства: (a + b) + c = a + (b + c) и (ab)c = a(bc)
Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует, что в любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и произвольным образом объединять их в группы.
Точно также из переместительного и сочетательного свойств умножения следует, что в любом произведении можно как угодно переставлять множители и произвольным образом объединять их в группы.
Распределительное свойство справедливо и в том случае, когда число умножается на сумму трех и более слагаемых.
Для любых чисел a, b, c и d, верно равенство: a(b + c + d) = ab + ac + ad
4 правило деления суммы на число:
Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить: (а + b) : с = а : с + b : с
5 Правило вычитания числа из суммы: 1. Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое, а из полученного результата (разности) вычесть второе слагаемое. Например: 126 — (56 + 30) = (126 — 56) — 30 = 40. В общем виде: а — (Ь + с) = (а — Ь) — с. Правило 2. Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного из слагаемых и к результату прибавить второе слагаемое. Правило 2 можно использовать при вычислении натуральных чисел только в случае, если одно из слагаемых больше вычитаемого числа. Например: (71 + 7) — 51 = (71 — 51) + 7 = 20 + 7 = 27, но нельзя (71 + 7) — 51 = (7 — 51) + 71,так как разность (7 — 51) — ненатуральное число. В общем виде: (а + Ь) — с = (а — с) + Ь.
6 правило вычитание суммы из числа
а-(х+у) = а-х-у. Если перед скобкой стоит знак «-«, то знаки в скобке меняются на противоположный
Данил Ларионов
Ученик
(124)
2 года назад
a + b = b + a (переместительный закон сложения).
(a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).
ab = ba (переместительный закон умножения).
(ab)c = a(bc) (сочетательный закон умножения).
a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).
Елисей Ивкин
Ученик
(123)
2 года назад
От перестановки мест слагаемых (множителей) сумма (произведение) не меняется.
второе: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc).
третье : : c(a + b) = ca + cb.
Андрей Тульский
Ученик
(108)
2 года назад
a + b = b + a (переместительный закон сложения).
(a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).
ab = ba (переместительный закон умножения).
(ab)c = a(bc) (сочетательный закон умножения).
a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).
- Главная
- Вопросы & Ответы
- Вопрос 1163292
Гость:
1 год назад
11
1
Лучший ответ:
Гость:
при значениях а=b
наверно
1 год назад
Ваш ответ (не менее 20 символов):
Ваше имя (не менее 2 символов):
Лучшее из галереи:
Другие вопросы:
Гость:
Напишите мне предложения со словом want
1 год назад
Смотреть ответ
38
1
Гость:
Заметка в газету.Напишите интервью с президентом либо директором школы(можно другое) (10 вопросов 10 ответов)
1 год назад
Смотреть ответ
5
1
Гость:
Решите плиз уравнения х/6=15 180/y=60
1 год назад
Смотреть ответ
21
1
Гость:
Электрический заряд 1 мкКл был перенесен из одной точки поля в другую. Какова разность потенциалов этих точек, если работа, совершенная при перемещении заряда, равна 0,6 мДж?
1 год назад
Смотреть ответ
29
1
Гость:
Решите уравнение: (x-4)(x+4)-x^2-x> 0
1 год назад
Смотреть ответ
5
1
Учебник для 7 класса
Алгебра
Найдём значения выражений 3(х + у) и Зх + Зу при х = 5, у = 4:
3(х + y) = 3(5 + 4) = 3 • 9 = 27,
3x + Зу = 3 • 5 + 3 • 4 = 15 + 12 = 27.
Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х + у) и 3x + 3у равны.
Рассмотрим теперь выражения 2х + у и 2ху. При х = 1, у = 2 они принимают равные значения:
2х + у = 2 • 1 + 2 = 4,
2ху = 2 • 1 • 2 = 4.
Однако можно указать такие значения х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, если х = 3, у = 4, то
2х + у = 2 • 3 + 4 = 10,
2ху = 2 • 3 • 4 = 24.
Определение. Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Выражения 3(х + у) и Зх + Зу являются тождественно равными, а выражения 2х + у и 2ху не являются тождественно равными.
Равенство
3(x + у) = Зх + Зу
верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами.
Определение.Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством*.
Тождествами считают и верные числовые равенства.
С примерами тождеств вы уже встречались. Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами:
а + b = b + а, (а + b) + с = а + (b + с),
ab = ba, (аb)с = а(bс),
а(b + с) = аЬ + ас.
Можно привести и другие примеры тождеств:
а + 0 = а, а + (-а) = 0, а — b = а + (-b),
а • 1 = а, а • (-b) = -ab, (-а)(-b) = аЬ.
Чтобы найти значение выражения ху — хz при заданных значениях х, у и z, надо выполнить три действия. Например, при х = 2,3, у = 0,8, z = 0,2 получаем
ху — хz = 2,3 • 0,8 — 2,3 • 0,2 = 1,84 — 0,46 = 1,38.
Этот результат можно получить, выполнив лишь два действия, если воспользоваться выражением х(у — z), тождественно равным выражению ху — хz:
х(у — z) = 2,3 (0,8 — 0,2) = 2,3 • 0,6 = 1,38.
Мы упростили вычисления, заменив выражение ху — хz тождественно равным выражением х(у — z).
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным, преобразова нием или просто преобразованием выражения.
Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.
Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач.
Некоторые тождественные преобразования вам уже приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:
чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;
если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки;
если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.
Пример 1. Приведём подобные слагаемые в сумме
5х + 2х — Зх.
Решение: Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых:
5х + 2х — Зх = (5 + 2 — 3)х = 4х.
Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.
Пример 2. Раскроем скобки в выражении
2а + (b — 3с).
Решение: Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс»:
2а + (b — Зс) = 2а + b — Зс.
Проведённое преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.
Пример 3. Раскроем скобки в выражении а — (4b — с).
Решение: Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус»:
а — (4b — с) = а — 4b + с.
Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения. Покажем это. Представим в данном выражении второе слагаемое -(4b — с) в виде произведения (-1)(4b — с):
а — (4Ь — с) = а + (-1)(4b — с).
Применив указанные свойства действий, получим
а — (4b — с) = а + (-1)(4b — с) = а + (-4b + с) = а — 4b + с.
Упражнения
- Какие свойства действий позволяют утверждать, что тождественно равны выражения:
- Являются ли тождественно равными выражения:
- Являются ли тождественно равными выражения:
- Какие свойства действий позволяют утверждать, что данное равенство является тождеством:
- Какое из данных равенств не является тождеством?
- Упростите выражение, используя переместительное и сочетательное свойства умножения:
- Упростите выражение:
- Преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:
- Замените выражение тождественно равным, используя распределительное свойство умножения:
- Среди выражений 2(b — а), -2 (а — b), -2а — 2b, -2а + 2b найдите те, которые тождественно равны выражению 2b — 2а.
- Приведите подобные слагаемые:
- Приведите подобные слагаемые:
- Приведите подобные слагаемые:
- Раскройте скобки:
- Запишите без скобок выражение:
- Упростите выражение:
- Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
- Упростите выражение и найдите его значение:
- Упростите выражение:
- Докажите, что при любом а значение выражения 3(а + 2) — 3a равно 6.
- Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
- Упростите выражение и найдите его значение:
- Составьте выражение но условию задачи и упростите его:
а) У Игоря 3 альбома с марками. В первом альбоме а марок, во втором — на 15 марок больше, чем в нервом, а в третьем — втрое больше, чем во втором. Сколько марок в трёх альбомах?
б) Пётр приобрёл 8 билетов лотереи «Надежда» и 6 билетов лотереи «Удача». Билет лотереи «Удача» стоил а р., а лотереи «Надежда» был на 10% дороже. Найдите стоимость покупки.
- Сравните значения выражений, не вычисляя их:
Ответ запишите в виде неравенства.
- Техническое перевооружение цеха позволило выпускать в сутки 180 станков вместо 160. На сколько процентов повысился выпуск станков в сутки?
- Отметьте на координатной прямой точки, соответствующие числам:
Контрольные вопросы и задания
- Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения.
- Какие выражения называются тождественно равными? Приведите пример тождественно равных выражений.
- Какое равенство называется тождеством? Приведите пример тождества.
*В дальнейшем понятия «тождественно равные выражения» и «тождество» будут уточнены.
Свойства действий над числами
Основные свойства сложения и умножения чисел.
Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не меняется. Для любых чисел a и b верно равенство
a+b=b+a
Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. Для любых чисел a, b и c верно равенство
(a+b)+c=a+(b+c)
Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей значение произведения не изменяется. Для любых чисел а, b и c верно равенство
ab=ba
Сочетательное свойство умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.
Для любых чисел а, b и c верно равенство
(ab)c=a(bc)
Распределительное свойство: чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и сложить полученные результаты. Для любых чисел a, b и c верно равенство
a(b+c)=ab+ac.
Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует: в любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и произвольным образом объединять их в группы.
Пример 1 Вычислим сумму 1,23+13,5+4,27.
Для этого удобно объединить первое слагаемое с третьим. Получим:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Из переместительного и сочетательного свойств умножения следует: в любом произведении можно как угодно переставлять множители и произвольным образом объединять их в группы.
Пример 2 Найдём значение произведения 1,8·0,25·64·0,5.
Объединив первый множитель с четвёртым, а второй с третьим, будем иметь:
1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.
Распределительное свойство справедливо и в том случае, когда число умножается на сумму трёх и более слагаемых.
Например, для любых чисел a, b, c и d верно равенство
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
Мы знаем, что вычитание можно заменить сложением, прибавив к уменьшаемому число, противоположное вычитаемому:
a-b=a+(-b).
Это позволяет числовое выражение вида a-b считать суммой чисел a и -b, числовое выражение вида a+b-c-d считать суммой чисел a, b, -c, -d и т. п. Рассмотренные свойства действий справедливы и для таких сумм.
Пример 3 Найдём значение выражения 3,27-6,5-2,5+1,73.
Это выражение является суммой чисел 3,27, -6,5, -2,5 и 1,73. Применив свойства сложения, получим: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) =-4.
Пример 4 Вычислим произведение 36·().
Множитель можно рассматривать как сумму чисел и -. Используя распределительное свойство умножения, получим:
36()=36·-36·=9-10=-1.
Тождества
Определение. Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Определение. Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.
Найдём значения выражений 3(x+y) и 3x+3y при x=5, y=4:
3(x+y)=3(5+4)=3·9=27,
3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.
Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных соответственные значения выражений 3(x+y) и 3x+3y равны.
Рассмотрим теперь выражения 2x+y и 2xy. При x=1, y=2 они принимают равные значения:
2x+y=2·1+2=4;
2xy=2·1·2=4.
Однако можно указать такие значения x и y, при которых значения этих выражений не равны. Например, если x=3, y=4, то
2x+y=2·3+4=10,
2xy=2·3·4=24.
Выражения 3(x+y) и 3x+3y являются тождественно равными, а выражения 2x+y и 2xy не являются тождественно равными.
Равенство 3(x+y)=x+3y, верное при любых значениях x и y, является тождеством.
Тождествами считают и верные числовые равенства.
Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Можно привести и другие примеры тождеств:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
Тождественные преобразования выражений
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.
Чтобы найти значение выражения xy-xz при заданных значениях x, y, z, надо выполнить три действия. Например, при x=2,3, y=0,8, z=0,2 получаем:
xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.
Этот результат можно получить, выполнив лишь два действия, если воспользоваться выражением x(y-z), тождественно равным выражению xy-xz:
xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.
Мы упростили вычисления, заменив выражение xy-xz тождественно равным выражением x(y-z).
Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач. Некоторые тождественные преобразования уже приходилось выполнять, например, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:
чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;
если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки;
если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.
Пример 1 Приведём подобные слагаемые в сумме 5x+2x-3x.
Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.
Пример 2 Раскроем скобки в выражении 2a+(b-3c).
Применив правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс»:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Проведённое преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.
Пример 3 Раскроем скобки в выражении a-(4b-c).
Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус»:
a-(4b-c)=a-4b+c.
Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения. Покажем это. Представим в данном выражении второе слагаемое -(4b-c) в виде произведения (-1)(4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
Применив указанные свойства действий, получим:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.